книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

шем варианте — при использовании одночленной аппроксимации прогиба — необходимо решать нелинейное обыкновенное диффе­ ренциальное уравнение с переменным коэффициентом. Но даже в этом случае невозможно записать решение в аналитической форме. Лишь при линейной постановке, когда исходная задача сводится к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального

уравнения с переменным коэффициентом, решение может быть за­ писано в квадратурах. Однако и здесь только в отдельных част­ ных случаях удается определить решение через специальныефунк­ ции. Примеры тому — уравнение Матье, к которому сводится задача о параметрических колебаниях (см. главу 4) и уравнение с линейно возрастающим во времени коэффициентом, решение ко­ торого выражается через функции Бесселя. Исследование оболочки при программах динамического нагружения более общего харак­ тера даже при линейной постановке задачи неизбежно приводит к необходимости численного интегрирования.

Во всех рассмотренных задачах для этой цели использовалась стандартная программа, реализующая метод Рунге—Кутта четвер­ того порядка точности. Она имеется в математическом обеспечении ЕС ЭВМ. Эта программа, тщательно опробированная нами в ре­ шениях разнообразных задач, позволяет проводить расчеты в принципе для сколь угодно сложных непрерывных зависимостей внешних нагрузок от времени. Конкретный характер этих зависи­ мостей влияет только на величину шага интегрирования.

В качестве примера, иллюстрирующего возможности исполь­ зуемого подхода, рассмотрим результаты расчета оболочки, нагру­ женной осевыми сжимающими усилиями, изменяющимися во вре­ мени по следующим законам:

Расчет проводился в нелинейной постановке (методика 5.4) на основе одночленной аппроксимации прогиба.

Типичные зависимости w(т) приведены на рис. 5.37. Сплошные линии на рис. 5.37,а соответствуют программе нагружения (5.98); цифры у кривых указывают значение то. Штриховая линия на рис. 5.37,а соответствует (5.99) с тс=7. В той точке оболочки, к которой относятся приведенные зависимости, начальный прогиб а>°=ш|т=0« 0,9ft. На рис. 5.37,6 даны зависимости îcj(t) для не-

Рис. 5.37. Зависимости ку(т) при программах нагружения (5.98), (5.99) (а) и (5.100) (б). Цифры у кривых соответст­ вуют значениям: рис. 5.37,а — То=3, 5, 6, 7, 8; рис. 5.37,6 — Р0=2 (1), 3 (2, 4, 5), 4 (3) и т0—7 (/, 2, 3) и 4 (4, 5)

Остальные пояснения в тексте.

скольких сочетаний параметров и то в формуле (5.100). Кривые 1—4 соответствуют величине начального прогиба в рассматрива­ емой точке до°«0,9Л, а кривая 5 —пу°»0,09h. Отметим, что умень­ шение амплитудного значения начального прогиба в 10 раз при­ вело к снижению в 10 раз максимальной величины прогиба.

Приведенные результаты иллюстрируют, в частности, тотфакт, что вопрос о динамической устойчивости реальной тонкостенной конструкции вряд ли можно решить без учета присущих этой кон­ струкции несовершенств.

ГЛАВА 6

Р а с ч е т н а п р о ч н о с т ь ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к

и з с л о и с т ы х к о м п о з и т о в п р и д и н а м и ч е с к и х с ж и м а ю щ и х н а г р у з к а х

Изложенные в предыдущей главе расчетные методики позволяют опреде­ лить значения перемещений, деформаций и напряжений в произвольной точке

оболочки в любой момент времени при заданной программе динамического воз­ действия осесимметричными нагрузками продольного сжатия и внешнего дав­ ления. На этой основе можно сформулировать следующуюзадачу: при задан­ ных прочностных характеристиках материала оболочки определить величину нагрузки (или величину приложенного импульса), при которой хотя бы в од­ ной точке оболочки нарушается условие прочности материала, и установить местоположение зоны начального разрушения. Вданной главе основное внима­ ние уделено методам и результатам расчета начального разрушения слоистых цилиндрических оболочек, находящихся под действием динамических сжимаю­ щих нагрузок. Кроме того, рассмотрена модель, описывающая процесс по­ слойного разрушения оболочки после момента первого разрушения слоя. Предло­ жена методика расчета трансверсальных напряжений в слоистых цилиндричес­ ких оболочках, подверженных динамическим сжимающим нагрузкам. На ее основе для углепластнковых оболочек проведен анализ опасности разрушения от поперечных и межслойных напряжений до начала разрушения в плоскости слоев.

Остановимся кратко на некоторых работах, относящихся к пе­ речисленным выше вопросам. Прежде всего отметим, что разно­ образным аспектам проблемы прочности и разрушения волок­ нистых, слоистых композитов и намоточных изделий из них уде­ лено значительное внимание в обзорных статьях [71, 93, 108, 215, 220, 226, 237, 238, 255]. Одной из наиболее важных задач оста­ ется разработка критериев прочности для анизотропных и много­ слойных композитов в условиях сложного напряженного состояния и сложного нагружения. Фундаментальные исследования в этой области принадлежат А. К. Малмейстеру [184], Цаю, By [443]

и [108], Пуппо, Ивенсену [400]. В последние годы опубликовано много работ, посвященных критериям прочности композитов, их

экспериментальной проверке и определению характеристик проч­ ности, входящих в эти критерии, для различных материалов. От­

метим в этой связи исследования [93, 241, 242, 255, 340, 409, 411]. Критерии прочности, применяемые для отдельного слоя, позво­ ляют определить лишь нагрузку и форму«начального» разрушения

многослойного композита. В этой связи естествен интерес к экспе­ риментальному исследованию и теоретическому описанию про­

цессов послойного разрушения, развивающихся от момента пер­ вого разрушения слоя вплоть до макроразрушения многослойного образца. Этой проблеме, впервые исследованной в [341], посвя­ щены работы [158, 159,226, 231, 255, 394].

В последние годы резко возрос интерес к деформированию и разрушению композитных материалов при высокоскоростных и

ударных нагрузках,хотя число опубликованных до настоящего вре­ мени исследований еще сравнительно невелико [153, 275, 276, 284, 299, 300, 306, 325, 343, 356—358, 361, 364, 365, 395, 403, 408, 412, 414, 426]. Проведены испытания на растяжение [299, 306, 343, 356, 357, 403], сжатие [275, 276], сдвиг в плоскости армирования [365], межслойный сдвиг [414], а также эксперименты на трех­ точечный изгиб [358], одноразовое [153, 408, 412, 426] и много­ кратное [395] поверхностное ударное воздействие. Нагружение осуществлялось на пневматических установках [153, 275, 412], копрах (маятниковом [299] и с падающим грузом [365]), посред­ ством создания внутреннего давления на кольцо от взрыва в за­

полняющей его жидкости [306], по схеме стержня Гопкинсона [275, 276] и др. Испытывались стеклопластики [275, 276, 343, 356, 357, 395, 403], однонаправленные [299, 306, 343, 356, 357] и слоис­

тые [153, 358, 408, 412] углепластики.

Выделим некоторые результаты, полученные в перечисленных исследованиях. В [275, 276] отмечено, что прочность стеклопла­

стика возрастает с увеличением скорости деформации независимо от угла между направлениями армирования и действующей сжи­ мающей нагрузки. Для однонаправленного углепластика установ­ лено [306], что влияние скорости деформации несущественно при нагружении образцов вдоль волокон и резко увеличивается с воз­ растанием угла между волокнами и направлением нагрузки. Выяв­ лено [343], что в широком диапазоне изменения скорости дефор­ мации прочность и вид разрушения однонаправленного углепла­ стика практически от нее не зависят, тогда как для стеклопластика на тканевой основе модуль и прочность заметно возрастают с ее увеличением. Показано [356, 357], что для стеклопластиков пре­ дельные напряжения и деформации разрушения существенно воз­ растают с увеличением скорости деформирования, тогда как для углепластиков изменения этих величин малозаметны. Отметим также, что, согласно [153], углепластик при ударном нагружении

ведет себя как хрупкий материал. В [299, 403, 408, 412] исследо­ ваны степень поврежденности, характер микроповреждений, формы поверхностей разрушения, а также особенности механизмов раз­ рушения в угле- и стеклопластиках при ударных нагрузках.

В последние годы большой интерес вызывает проблема повы­ шения сопротивляемости конструкций из слоистых композитов специфическим формам разрушения — расслоению по поверхно­ стям раздела слоев и отслаиванию одного из крайних слоев при действии на конструкцию сжимающих нагрузок. Вопросы роста под нагрузкой первоначально заложенных локальных расслоений

иотслоений в слоистых конструкционных элементах исследованы

В.В. Болотиным [73]. В бездефектной конструкции эти формы разрушения могут реализоваться, если возникающие при ее нагру­

жении межслойные напряжения превышают соответствующие пре­ делы прочности прослойки между слоями композита. Разработан­ ный в [49] метод позволяет проводить оценочные расчеты меж­ слойных напряжений в несовершенных цилиндрических оболочках при динамических сжимающих нагрузках, определять величины нагрузок, соответствующие началу расслоения и местоположение зон начальных расслоений.

Немногочисленные работы, посвященные расчету на прочность цилиндрических оболочек из слоистых композитов (отметим [27, 155, 221, 222]), относятся исключительно к простейшим видам статических нагрузок (внутреннее давление, осесимметричный из­ гиб), при которых не вызывает затруднений первый этап решения

задачи — расчет напряженно-деформированного состояния обо­ лочки. В работах [55, 56, 58, 59] поставлена и решена задача рас­ чета «начального» разрушения слоистых цилиндрических оболочек при динамических нагрузках осевого, сжатия и внешнего давления, для которых реализуются существенно неоднородные по коорди­ натам напряженно-деформированные состояния. В [48] рассмот­ рена простейшая модель процесса послойного разрушения цилин­

дрической несовершенной оболочки при воздействии динамических сжимающих нагрузок.

Отметим также, что методом Монте-Карло решались задачи расчета надежности многослойной цилиндрической оболочки при случайном внутреннем давлении [216]. В [62] разработан метод расчета надежности многослойной цилиндрической оболочки, обла­ дающей случайным полем начальных несовершенств, при динами­ ческих нагрузках осевого сжатия и внешнего давления. Надеж­ ность оболочки определялась по вероятности выброса векторного поля напряжений за поверхность прочности в форме трехмерного прямоугольного параллелепипеда.

В целом можно констатировать, что к настоящему времени сде­ ланы только первые шаги в решении задач прочности, надежности,

разрушения тонкостенных элементов конструкций из слоисто-во­ локнистых композитов.

6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

ПО МОМЕНТУ ПЕРВОГО РАЗРУШЕНИЯ СЛОЯ

Методики, описанные в главе 5, позволяют рассчитать при всех рассмотренных видах нагружения зависимости деформаций в про­

извольной точке {х, у, z} оболочки в любой момент времени ie[0, Г], где Т — продолжительность заданной программы на­

гружения.

Пусть многослойная оболочка состоит из N ортотропных слоев; определим посредством индексов 1и 2 главные направления упру­ гости каждого из слоев. Тогда, если в некотором сечении z дефор­

мации, отнесенные к осям оболочки, равны е**, еуи, еху, то дефор­ мации в главных осях i-ro слоя в этом же сечении, согласно известным формулам преобразования компонент тензора при

повороте системы координат, имеют вид

где 0f —угол между главным направлением 1в i-м слое и коор­ динатной осью х. Деформации ехх, гиу, еху, отнесенные к осям хуу, линейно распределены по толщине оболочки. В то же время при значениях 0,-, различающихся от слоя к слою, линейный закон распределения по толщине деформаций еп, е22, ei2, согласно (6.1), будет соблюдаться только в пределах каждого отдельного слоя. ■Следовательно, деформации, отнесенные к осям 1, 2, на поверх­

ностях контакта претерпевают разрыв.

Напряжения в главных осях i-ro ортотропного слоя, согласно обобщенному закону Гука, имеют вид

О,,(О=В, |)е,,W+S12(i)£22(i); <J22(i)=В|2(,)е||0)+В22<')е22('1; .g

где Bjjtw —матрица жесткости i'-го слоя.

Приведенные в главе 2 формулы позволяют рассчитать (при известных функциях м, v, w или w, F) напряженно-деформирован­ ное состояние в произвольной точке {.v, у, z} слоистой оболочки. При этом на этапах нахождения функций и, к, w, F и определения деформаций eXXt еуу, еху пакет рассматривается как однородный

■ортотропный; последующий расчет деформаций ец('\ е22^\ ei2u' и напряжений огц('), а22(0, ai2(0 проводится с учетом индивидуальных

упругих характеристик каждого слоя и ориентации его главных

направлений относительно осей оболочки.

Следующим этапом исследования является выбор критерия прочности для оболочки. Он может быть сформулирован как для

ортотропной оболочки в целом (при условии, что пакет рассмат­ ривается как однородный), так и для каждого отдельного слоя. В дальнейшем будем следовать второму подходу, определяя на­ грузку начального разрушения оболочки из условия, что хотя бы в одном из слоев выполняется заданный критерий прочности. Эту величину динамической нагрузки в дальнейшем будем называть критической динамической нагрузкой (или нагрузкой начального разрушения), а момент времени, в который достигается критиче­ ская динамическая нагрузка, —моментом начального разрушения.

Анализ прочности оболочки согласно изложенному подходу в принципе может быть проведен с использованием любого из из­ вестных феноменологических критериев прочности анизотропного тела. Однако при рассмотрении конструкций из композитовнеобхо­ димо учитывать, что не все такие критерии, как показано в [93, 108, 184, 226, 255, 443], учитывают в достаточной мере специфиче­ ские особенности, присущие этим материалам. Следует принимать во внимание также, что при решении сложных задач существен­ ным является требование удобства математической записи исполь­ зуемого критерия прочности.

Для феноменологического описания поверхности прочности в шестнмерном пространстве напряжений в работе [184] предложено уравнение

в котором рар, раруб>рарубе|, • • • —тензоры поверхности прочности*. Как показано в работах [108, 184], практически все известные в

настоящее время феноменологические критерии прочности анизо­ тропного тела могут рассматриваться как частные случаи крите­

рия (6.3) либо как его вырожденные случаи. В детальном теоре­ тическом исследовании свойств тензорно-полиномиального крите­ рия [108] показано, что помимо общности и инвариантности относительно выбора системы координат он обладает «макси­

мально возможной гибкостью и в то же время не содержит в себе избыточных параметров».

В дальнейшем при определении момента начального разруше­ ния г'-го слоя оболочки будем использовать критерий (6.3), запи­

санный для случая плоского напряженного состояния, при удер­ жании членов до вторых степеней включительно:

Для практического использования критерия (6.4) необходимо знать величины компонентов тензоров поверхности прочности. Их можно вычислить либо непосредственно через значения характер-

жения, либо в результате аппроксимации поверхности прочности поверхностью второго порядка при числе экспериментальных точек, превышающем число неизвестных параметров в (6.4). Приво­ димые в литературе экспериментальные данные позволяют полу­ чить надежные значения всех входящих в (6.4) компонентов тен­ зоров поверхности прочности, за исключением риггТрудности, свя­ занные с нахождением ри22, анализировались в работах [108, 226, 242, 255, 459]. Отмечено, в частности, что компонента рц22 для определенных структур композитов проявляет высокую чувстви­

тельность к способу аппроксимации совокупности эксперименталь­ ных данных поверхностью прочности второго порядка. В работах [242, 459] показана сильная зависимость точности определения

/?П22 от соотношения между напряжениями ац и о22 в эксперимен­ тах на двухосное нагружение.

Анализ с целью оценки влияния рц22 на значения нагрузок начального разрушения углепластиковых цилиндрических оболочек

при некоторых видах динамического нагружения [56] позволил сделать вывод, что при осевом динамическом сжатии величина Pi122практически не влияет на результат расчета момента началь­ ного разрушения для всех углов армирования (кроме армирования под малым углом, 0<5° к образующей оболочки). В случае на­ гружения динамическим внешним давлением величина рц22 за­ метно сказывается на расчетном значении момента начального разрушения лишь в узком диапазоне углов армирования

0«75—85°.

6.2. АНАЛИЗ НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ ДИНАМИЧЕСКОМ СЖАТИИ

Рассмотрим ортотропную цилиндрическую оболочку, нагружен­ ную продольным сжимающим усилием Р(х) = VpP*x. Пусть т* — момент времени, в который хотя бы в одной точке оболочки вы­ полняется условие прочности (6.4). Координаты x—x*t у=у*, 2=2* точки, в которой при т=т* выполняется критерий (6.4), оп­ ределяют местоположение зоны начального разрушения. Их будем называть в дальнейшем координатами начального разрушения (для однородной оболочки) или координатами первого разрушения слоя (для многослойной оболочки). Величину нагрузки Рд*=

= VpP*x* будем называть критической динамической нагрузкой, а р+

отношение Кд=-рг =Vpx* —коэффициентом динамичности.

Примем, что все слои оболочки имеют одинаковые упругие и прочностные характеристики, а также одинаковую толщину. За­ дадим следующие значения характерных прочностей монослоя:

г(>'>юо=9,56-10аН/м2; г(‘>02о=5,76• 107 Н/м2; г«>0М=4,57-10* Н/м2;

Компоненты тензоров поверхности прочности Pu{i), Р22{iK

piiii(l), p2222{i), р1212с,) определяем через характерные прочности по формулам, приведенным в [184]. Для компоненты рп22(,) ггримем

Pll22{i)=0,265 YPi111(г)/?2222(г) •

Рассмотрим результаты, полученные из решения численным методом осесимметричной задачи о продольном динамическом сжатии. Осесимметричный начальный прогиб ад°=0. Ось I слоя направлена вдоль образующей оболочки. Геометрические пара­ метры оболочки и упругие характеристики материала даны в 5.1.

В табл. 6.1 приведен коэффициент динамичности, координаты начального разрушения х* и максимальная величина прогиба w* в момент начального разрушения т* для шести различных условий закрепления торцов оболочки при нескольких скоростях нагруже­ ния. Как видно, во всех случаях начальное разрушение произошло на внутренней поверхности оболочки в зонах краевого эффекта. Лишь для условий свободного края определить точные значения координаты х* не удалось, поскольку критерий прочности прак­ тически одновременно выполняется для весьма протяженной об­ ласти в окрестности торца. Среди остальных граничных условий наиболее близкое расположение первого дефекта к торцу дают ус­ ловия свободного опирания. Этим же условиям соответствует мини­ мальная величина критической динамической нагрузки. Макси­ мальное значение прогиба в момент начального разрушения при­ близительно одинаково для всех типов граничных условий, кроме (5.15), (5.16). Что касается влияния скорости нагружения, то при увеличении ее в 25 раз критическая динамическая нагрузка для условий свободного опирания возрастает почти в 3 раза, а расстоя­ ние от места разрушения до торца уменьшается вдвое. Заметим, что при высоких скоростях, когда не происходит сколь-нибудь за-

Таблица 6.1

Г w*/h 2+0.5

метиого развития изгибных деформаций до начала разрушения, величина /Сд перестает зависеть от скорости нагружения. Значение /Сд«13 для рассматриваемой оболочки является предельным. Условие прочности при этом выполняется практически одновре­

менно для всех значений координаты 2.

В качестве следующего примера рассмотрим двухслойные обо­ лочки с укладкой моиослоев под углами ±0 к образующей (тол­ щина двухслойного пакета та же, что и для однослойной оболочки в рассмотренном выше примере). Особенность этого случая со­ стоит в том, что, несмотря на осесимметричность нагрузки и гео­ метрическую осесимметричность оболочки, перемещение v в ок­ ружном направлении отлично от нуля. Система уравнений движе­ ния дополняется еще одним уравнением и принимает вид

N'x=[l- - “р- ■; C6Bv"-Ki6w"0=11-^- ;

равная нулю только при 0=0 и 0=я/2. Выражения (5.9) для Nx и Nv остаются в силе. Необходимое дополнительное граничное условие на каждом из торцов зададим в одном из двух вариантов:

где Т —касательное усилие. Численное интегрирование уравнений (6.6) проводили по схеме, описанной в 5.1. На рис. 6.1 представ­ лены зависимости момента первого разрушения слоя т* и макси­

мальной величины прогиба Доо* в момент т* от угла укладки