книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

трем подходам (рис. 5.22). Как видно, в момент времени т=т*, соответствующий условию Т(т*)=Ти заметно различаются значе­

ния Т, рассчитанные с учетом и без учета взаимосвязанности ок­ ружных гармоник. Отличие между значениями Т, найденными из решения линеаризованных уравнений и из решения нелинейных уравнений с одночленной аппроксимацией прогиба, значительно меньше.

Аналогичный анализ проводился для оболочек из нескольких композитных материалов (стекло-, угле- и боропластика). При этом вместо условия текучести Мизеса использовалось условие прочности ортотропного слоя, выраженное посредством квадратич­ ного полинома от компонент тензора напряжений. Этот вопрос под­ робно рассмотрен в главе 6. Здесь отметим, что разрушение ука­ занных композитных материалов в случае нагружения оболочки осевым динамическим сжатием начинается обычно при сравни­ тельно малых углах поворота нормальных сечений, когда эффект геометрической нелинейности еще слабо выражен.

Установленный результат можно объяснить на основе доста­ точно элементарных соображений. Действительно, вследствие гус­ тоты спектров собственных частот и критических статических про­ дольных усилий, в процессе динамического выпучивания цилиндри­ ческой оболочки участвует одновременно большое количество как осевых, так и окружных гармоник. Каждая из характеристик на­ пряженно-деформированного состояния оболочки определяется, та­ ким образом, в виде суммы большого числа членов двойного ряда Фурье. При этом каждый отдельный член ряда достаточно мал по сравнению с величиной соответствующей суммы. Например,

max \w(x, у)\ для V пг и п, а из малости коэф­ х«=|0./.1,|/е[0,2яЯ]

фициентов Фурье следует, в свою очередь, что они могут быть рассчитаны с достаточно высокой точностью без учета геометри­ ческой нелинейности. Это имеет важное значение для расчета бо-

лее сложных цилиндрических элементов конструкций (например, ребристых оболочек и оболочек с заполнителем во внутренней полости) при нагружении продольным динамическим сжатием. Он во многих случаях избавляет от необходимости построения чрез­ вычайно громоздких нелинейных решений, поскольку вплоть до момента начала образования пластических деформаций (или мо­ мента начального разрушения) характеристики напряженно-дефор­ мированного состояния можно с достаточной для практических це­ лей точностью рассчитать на основе линеаризованных уравнений движения.

5.6. ОСОБЕННОСТИ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ

Рассмотрим нагружение оболочки равномерно-распределенным по боковой поверхности внешним давлением q(r). Деформации и напряжения в однородной ортотропной оболочке задаются фор­ мулами (5.81), (4.76) при Р(т)=0 и в конечном итоге рассчитыва­ ются путем суммирования двойных рядов Фурье. С точки зрения построения процедуры суммирования рядов задача о динамическом внешнем давлении отличается от задачи о продольном динами­ ческом сжатии тем, что в ней распределение по /п коэффициентов Фурье Wmn всегда имеет только один максимум, обычно соответ­ ствующий низшей гармонике m=1.

Остановимся на некоторых наиболее характерных результатах расчета процесса неосесимметричного деформирования цилиндри­ ческой оболочки при линейно возрастающем во времени внешнем давлении

Здесь q* —критическое статическое внешнее давление; т —без­ размерное время, определяемое по формуле (5.21); Vq —безраз­ мерная скорость нагружения.

Зависимости коэффициентов Фурье от времени для дюралюми­ ниевой оболочки с параметрами L=0,2 м, R=0,09 м, h=8-10~4м при распределении начальных несовершенств (5.80) и скорости нагружения Vfy=0,2 (6500 ат/с) приведены на рис. 5.16. Как отме­ чалось в 5.4, с достаточной точностью прогиб оболочки можно рас­ считать, учитывая окружные гармоники с номерами п =4—12. Су­ щественное влияние на вид функций №нт(т) оказывает эффект взаимосвязанности окружных гармоник. Результаты расчета про­

гиба приведены на рис. 5.23 (ряды суммировались при ш0=1, Л/=3, /1о =4, Л/= 12). Как видно, прогиб интенсивно развивается в не­ скольких вполне определенных зонах на поверхности оболочки,

Рис. 5.24. Зависимости Г(т) в сечении х= =0,5L на внутренней (кривые 1—3, 5) и внешней (4) поверхностях оболочки. Кри­ вые 1—4 соответствую решениюс много­ членной, 5 —с одночленной аппроксима­ циями. Значения у: 0,85лR(/), 0,544л/? (2), 0,272лR(3, 4), 0,866л/? (5)

кривые Т(т). При больших временах различие между ними приоб­ ретает качественный характер: решение с одночленной аппрокси­ мацией дает монотонное возрастание Т’(т), тогда как решение с многочленной аппроксимацией указывает на немонотонный харак­ тер функции Т(т), объясняемый происходящими в различных час­ тях оболочки локальными «прощелкиваниями», чередующимися с «обратными выхлопами». Как видим из рис. 5.24, для каждой из приведенных кривых характерен свой момент достижения первого максимума. Кроме того, величины этих максимумов существенно зависят от координат у и z.

Зависимости Т(т), рассчитанные для четырех значений ско­ рости нарастания переднего фронта внешнего давления, использо­ ванных в экспериментах [102], приведены на рис. 5.25. Каждая из них соответствует внутренней поверхности, сечению x=L/2 и той точке на окружности, в которой первый максимум зависимости Т(т) имеет наибольшее значение. Как видим, с уменьшением ско­ рости нагружения эффект от учета взаимосвязанности окружных гармоник усиливается. Отметим, кроме того, что величина первого максимума функции Т(т) снижается с уменьшением Vq.

Изложенные результаты показывают, что критерий динамиче­ ской потери устойчивости, использованный в 5.2 и заключающийся в выполнении условия Т=Т{хотя бы в одной точке оболочки, мо­ жет быть применен также и в рассматриваемой здесь; задаче. Для

•отыскания точки {**, у*, z*} оболочки, в которой при фиксирован­ ной скорости нагружения ранее всего выполняется условие теку­ чести Мизеса, разработаны специальный алгоритм и программа.

Отметим, что критерий текучести для оценки критической вели­ чины динамического внешнего давления, по-видимому, впервые примепплсп в работе Ю. П. Кадашевича, А. К. Перцева [162],

Рис. 5.25. Зависимости Т(х) при решении с многочленной (-----

а одночленной (------) аппроксимациями. Цифры у кривых) соответствуют значениям Vq: 1 —0,2 (6500 ат/с); 2 —0,154 (5000 ат/с); 3 —0,145 (4700 ат/с); 4 —0,103 (3340 ат/с)

а также в работе Э. И. Григолюка, А. И. Сребовского [139], где момент наиболее раннего появления пластических деформаций в оболочке определялся по значениям кольцевых напряжений, рас­ считанных отдельно для каждой окружной гармоники. Такой под­

ход может дать сильно завышенную величину критического дав­ ления, поскольку в результате суперпозиции нескольких окружных гармоник, обладающих примерно одинаковым темпом роста, в оболочке образуются зоны с напряжениями намного большими, чем напряжения по каждой из гармоник. Подчеркнем, что в предла­ гаемой нами методике при расчете функции Т используется опре­ деленное согласно требуемой точности число членов двойного ряда Фурье, а коэффициенты Фурье вычисляются с учетом взаимосвя­ занности всех окружных гармоник.

Как показали расчеты с многочленной аппроксимацией прогиба (использовалось значение 7\- =3-108 Н/м2), для скорости нагруже­ ния Vrj =0,2 (6500 ат/с) образование пластических деформаций начинается в момент т*=17,0 в точке {0,5L; 0,54л:/?; —0,5/г}. При использовании одночленной аппроксимации получено соответ­ ственно т*= 12,8 и {0,5L; 0,87я/?; —0,5h}. Для 1^=0,154 (5000ат/с) находим т* =21,4 из решения с многочленной аппроксимацией и т*=16,5 — с одночленной. Для остальных двух значений Vq — 0,145 (4700 ат/с) и 0,103 (3340 ат/с) — критерий текучести не вы­ полняется на интервале tœ[0, 35]* при расчетах с многочленной

* Решение на основе одночленной аппроксимации позволяет и для этих скоросте". определить значения т*: 17,2 при Vq=0,145 и 21,4 при 1ЛУ=0,103.

аппроксимацией ни в одной точке оболочки. Следовательно, ис­ пользование условия текучести в качестве критерия динамической потери устойчивости возможно лишь в ограниченном снизу диа­ пазоне скоростей нагружения внешним давлением: Vq>Vq°. При Vq^Vtj0, как видно из рис. 5.25, после достижения в различных частях оболочки характеристиками напряженно-деформированного состояния первого максимума происходит их резкое падение; весь процесс чередования «прощелкиваний» и «обратных выхлопов» протекает при соблюдении условия упругого поведения материала.

Итак, в разных диапазонах скоростей нагружения необходимо применять различные критерии динамической потери устойчивости. Изложенная методика расчета допускает использование следующих критериев. Во-первых, это рассмотренное ранее условие образова­ ния в оболочке пластических деформаций (назовем его крите­ рием 1). Во-вторых, условие выхода прогиба хотя бы в одной точке оболочки за заданный предельно допустимый уровень w* (крите­ рий 2). В-третьих, определение критического момента времени х* согласно выполнению хотя бы в одной точке оболочки условия

dw{x, у, т) _q итерий 3), являющегося математической форму­

лировкой перехода прогиба через первый максимум. Наконец, можно использовать более сложную процедуру. Исходя из зави­ симостей w(xty), определить вначале для каждого у то значение т*(у), при котором прогиб достигает первого максимума. Далее из всех значений w* (у) = |w[т* {у)] | выбрать наибольшее, а соот­ ветствующую ему величину т* принять за критическую (крите­ рий 4). Следует подчеркнуть, что все перечисленные критерии динамической потери устойчивости предполагают наличие неосесимметричиых «возмущений», необходимых для расчета процесса неосесимметричного деформирования оболочки. Отметим также, ■что они в равной степени применимы к задачам о динамическом внешнем давлении и динамическом осевом сжатии. Достоинством этих критериев является то, что они имеют строгую математиче­ скую формулировку и, следовательно, могут быть реализованы на ЭВМ. Разумеется, перечисленные подходы не исчерпывают всего многообразия возможных критериев динамической потерн устой­ чивости несовершенных оболочек.

Проведем сравнение полученных теоретических результатов с данными экспериментов А. С. Вольмира, В. Е. Минеева [102]. Вве­

дем коэффициент динамичности 7(д= ^ ^ ^= Vqx*. В табл. 5.1 при­

ведены экспериментальные значения /Сд [102] и две группы тео­ ретических значений, рассчитанных на основе многочленной и од­

ночленной аппроксимаций прогиба.

При оценке соответствия теоретических и экспериментальных результатов следует иметь в виду, что принятые в расчетах поле

Рис. 5. 27. Зависимости про­ гиба от времени при Vq= =0,5. Цифры у кривых со­ ответствую тем же углам укладки слоев, что и на рис. 5.26. Сплошные линии —ре­ шение с многочленной аппро­ ксимацией, штриховые — с одночленной

ской устойчивости. Ограничимся здесь иллюстративным примером

расчета прогиба углепластиковых оболочек с различными струк­ турами укладки слоев по толщине.

Рассмотрим оболочку с геометрическими параметрами R= 1м, LIR =2, R/h=200 (h —общая толщина пакета) и характеристиками монослоя (5.19). Через 0,- обозначим угол между образующей обо­ лочки и осью 1 t-го слоя. Начальные несовершенства зададим в виде (5.80), приняв вместо коэффициента 0,02h следующие значе­ ния: 10~2h для скоростей У*,=0,5 и 0,1 и КНА для скорости

V,=2.

На рис. 5.26 приведены зависимости прогиба от времени в точке {0.5L; я/?} при трех скоростях нагружения (результаты получены

с использованием многочленной аппроксимации прогиба). Обра­

(рис. 5.27), дают возможность еще раз продемонстрировать эф­ фект взаимосвязанности окружных гармоник. Как видно, прогиб, рассчитанный на основе одночленной аппроксимации, для всех

структур пакета получается сильно завышенным. Расчеты пока­ зали, что различие в результатах, получаемых на основе много­ членной и одночленной аппроксимаций, возрастает с уменьше­

нием Vq.

Из приведенных в данном параграфе результатов можно сде­ лать вывод, что при нагружении цилиндрических оболочек дина­ мическим внешним давлением, в противоположность случаю осевого динамического сжатия, рассмотренному в 5,5, учет геомет­

рической нелинейности существенно влияет на расчетные характе­ ристики напряженно-деформированного состояния даже в области

линейно-упругого поведения материала. Эффекты, обусловленные геометрической нелинейностью, ослабевают с ростом скорости на­ гружения.

I !—15-И

5.7. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПРИ СОВМЕСТНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

ОСЕВЫМ СЖАТИЕМ И ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ

Основываясь на методе расчета, изложенном в 5.4, можно рас­ смотреть задачу об одновременном воздействии на цилиндриче­ скую оболочку равномерно распределенных по торцам осевых сжи­

(5.70) с начальными условиями (5.72). Прогиб и другие характе­ ристики напряженно-деформированного состояния оболочки опре­ деляются согласно методике, описанной в 5.5, путем суммирования

двойных рядов Фурье.

Характерной особенностью задачи о совместном воздействии на оболочку различных динамических нагрузок является возмож­ ность реализации весьма сложных форм выпучивания. Действи­ тельно, при динамическом внешнем давлении наиболее интенсив­ ное выпучивание происходит, как правило, с образованием одной полуволны вдоль образующей, тогда как при продольном динами­ ческом сжатии доминирует группа высоких осевых гармоник. Су­ щественно различаются для этих двух видов нагружения также и номера доминирующих окружных форм выпучивания. Это озна­ чает, что в процессе деформирования поверхность оболочки может иметь, в зависимости от соотношения скоростей нарастания нагру­ зок, самые разнообразные конфигурации.

Примем, что обе нагрузки являются линейными функциями времени (5.20), (5.91), и зафиксируем суммарную безразмерную скорость нагружения V=VP+ Vq=\/3. Рассмотрим шестислойную углепластиковую оболочку с R/h=188, L/R=2. Характеристики монослоя зададим согласно (5.19). Углы между осью 1каждого из слоев и образующей оболочки равны 45°, —45°, 90°, 90°, 45°, —45°. Начальные несовершенства формы оболочки введем посред­ ством ряда Фурье (5.67) с коэффициентами

На рис. 5.28 показаны зависимости прогиба от координаты х при пяти значениях Vp/Vq. Для каждого из рассматриваемых рас­ четных вариантов эти зависимости построены в тех сечениях уу где прогиб максимален. Как видно из сравнения кривых на рис. 5.28,с, б, добавление к динамическому внешнему давлению относительно медленно возрастающей продольной нагрузки (при

Рис. 5.28. Зависимости прогиба от осевой координаты при 17р=0 (a), V,=0 (<д) и VPIVq= 1/9 (б), 1/4 (в), 3/7 (г)

т=19 в варианте б она равна 0,78Р*) приводит к смещению мак­ симума функции w(x). Этот эффект является следствием значи­ тельно более раннего (по сравнению со случаем чисто внешнего давления) развития формы т =2 и заметного вклада ее в процесс динамического выпучивания оболочки. Однако поскольку при т=19 осевая нагрузка меньше эйлеровой, то интенсивное выпучи­ вание по гармоникам, соответствующим большим т, еще не нача­ лось и они практически не влияют на форму деформированной поверхности оболочки. В варианте в осевая нагрузка равна 1,41Р* при т=17; гармоники, соответствующие большим ш, уже значи­ тельно превышают заданные для них начальные несовершенства и, вследствие этого, заметно влияют на вид функции ic(.v), хотя прогиб, создаваемый осевым сжатием, еще значительно меньше, чем создаваемый внешним давлением. В варианте г при т= 12,5 осевая нагрузка равна 1,55Р* и составляющие прогиба, определяе­ мые формой /72=1 и группой высоких осевых гармоник, примерно одинаковы. Следствием этого является характерный вид завнсн-