книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

ние этой суммы в диапазоне [©о, 0] к величине 0—©0(в частности* можно положить 0о=О). Таким образом, если на заданном уровне Pt в диапазоне [0О, 0] ОДН отсутствуют, то £(0о, 0)=О и, наобо­ рот, если весь рассматриваемый участок плоскости параметров на этом уровне состоит из ОДН, £(0о, 0) = 1. В дальнейшем чаще будем пользоваться функцией т|(0о, 0), связанной с £(0О, 0) со­ отношением rj=l—£. Таким образом, если £=0, то т|= 1 и, наобо­ рот, при |=1 функция г) =0. Приведем далее некоторые примеры: расчета функции т](0, 0) =г|(0).

На рис. 4.15 приведены зависимости т) (©) для различных одно­ слойных оболочек, начальные участки спектров ОДН которых изображены на рис. 4.12 и 4.13, при Pt=0,3. Начало кривой т|(0) соответствует левой границе первой ОДН. Значение функции т|(0) при фиксированном 0 зависит как от количества областей в интервале [0, 0], так и от их ширины. Выше других на рис. 4.1S

расположена кривая, соответствующая спектру 4.13,5, ниже — спектру 4.12,в.

На рис. 4.16 построены функции tj(0) для многослойных угле-

П

Рис. 4.16. Зависимости »1(0), соответствующие-

пластиковых оболочек, начальные участки спектров ОДН которых приведены на рис. 4.14. Цифры в поле рисунка соответствуют числу слоев в пакете оболочки. Верхнее положение занимает

кривая, соответствующая 9-слойной оболочке, нижнее —однослой­ ной (рис. 4.12,а). Заметим, что функция rj(0) зависит от ампли­

тудных значений нагрузки Р0, Pt как от параметров. Чем больше Pu тем ниже располагается кривая г|(0). При увеличении Р0она сдвигается в сторону меньших значений 0.

В дополнение к функциям £(0О, ®) и т)(0о. 0), дающим доста­ точно полную количественную информацию не только о местопо­ ложении и ширине первой ОДН, но и о характере всего спектра ОДН, введем интегральную характеристику

е

Ее удобно использовать в качестве физического ограничения при решении задач оптимизации.

В заключение отметим, что, хотя рассмотрениекоснулось только главных ОДН, пути обобщения изложенных здесь расчетных ме­ тодик на случай учета побочных ОДН и возможных комбинацион­ ных резонансов представляются достаточно очевидными.

4.7. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК, РАБОТАЮЩИХ В РЕЖИМЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

На основе разработанных в 4.1—4.5 методик расчета упругих и вязкоупругих оболочек при параметрических колебаниях можно поставить несколько задач оптимального проектирования много­ слойной цилиндрической оболочки с ортотропными армирован­ ными слоями, работающей в режиме осевого вибрационного на­ гружения. В общей формулировке эта задача заключается в на­ хождении такого вектора проектных параметров

при котором выбранная целевая функция С(х) достигает своего оптимального значения в области D допустимых значений пара­ метров управления х, т. е.

£i(x) = (£ь g2, • • м^л*) —вектор функций ограничений; /V—общее число ограничений.

ie—itïi

Предполагая длину и радиус поверхности приведения оболочки фиксированными, выберем в качестве целевой функции массу еди­ ницы поверхности оболочки М. Тогда при заданных характеристи­ ках материалов армирующих волокон и связующего проектными параметрами будут коэффициенты армирования слоев рЛ, и толщины слоев А,-. При фиксированном числе слоев оболочки п число параметров оптимизации равно Ъп и вектор проектных пара­ метров представляется в виде

Область допустимых значений параметров управления (4.80) ограничена снизу и сверху технологически возможным суммарным коэффициентом армирования и разумными значениями толщин слоев. Кроме того, она определяется ограничением по статической устойчивости оболочки и физическими ограничениями, учитываю­ щими специфику механического поведения оболочки в условиях осевого гармонического воздействия.

Запишем ограничения, которые должны выполняться для каж­ дого слоя:

где /=1, 2,..., п, a h0 — допустимая минимальная толщина слоев,

{здесь р0 —минимальный суммарный коэффициент армирования),

где р° — максимальный суммарный коэффициент армирования.

Для всей оболочки в целом потребуем, чтобы ее толщина не превышала некоторого заданного значения h°:

Выписанные функции ограничений (4.82)—(4.87) не требуют

дополнительных комментариев, так же как и ограничение на устой­ чивость

где РЦх) — критическая статическая сила оболочки при осевом сжатии.

Остановимся несколько подробнее на выборе физических огра­ ничений, при помощи которых учитываются особенности мехами-

ческого поведения композитной оболочки в условиях осевого гар­ монического воздействия.

В качестве первого варианта физического ограничения поста­ вим условие, чтобы в рабочем диапазоне частот [О, 0О] не было ни одной ОДН. Оно записывается в виде

где ©„ — частоты, соответствующие левым границам ОДН. Огра­ ничение (4.89) является по существу обобщением традиционного ограничения на низшую собственную частоту.

Второй, более слабый вариант физического ограничения можно сформулировать, допустив в диапазоне частот [0, 0о] наличие од­ ной или нескольких ОДН, но ограничив их суммарную ширину. Его можно записать с использованием введенной в 4.6 функции т](0) или соответствующего интеграла /(©) =/(0, 0). Если, на­ пример, /0 — верхнее допустимое значение /(0) при 0=0о, то ограничение записывается в виде

Третий вид физического ограничения можно сформулировать исходя из требования, чтобы в заданном диапазоне частот сосед­ ние ОДН не пересекались. Таким образом ставится условие, ч.то наименьшая частота 0П, при которой пересекаются две соседние ОДН, больше 0О:

Итак, сформулируем задачу оптимального проектирования: тре­ буется найти такой вектор проектных параметров

при котором функция цели — масса оболочки М — достигает минимального значения

M(x*)=minM(x) (4.93) xeD

в области допустимых значений параметров управления (4.80), оп­ ределяемой функциями ограничений gj(x) (4.82)—(4.88) и одним из трех физических ограничений gj(x, 0О) (4.89)—(4.91).

Для выбора эффективного метода решения необходимо выявить основные свойства экстремальной задачи. Рассматриваемая за­ дача обладает следующими существенными свойствами: целевая функция — масса оболочки Л4(х) —является строго монотонной по каждому из проектных параметров, а экстремум целевой функ­ ции лежит на границе области допустимых значений параметров управления Гл. Отметим также, что в силу свойств экстремальной задачи ограничения (4.86), (4.87) выполняются автоматически вы­ бором начального вектора проектных параметров х0, а нижние значения этих параметров, определяемые функциями ограничений

ю*

<4.82)—(4.85), практически не достижимы из-за функции ограни­ чений (4.88)— (4.91). Простое выражение для целевой функции

облегчает использование хорошо разработанных градиентных методов поиска оптимума в направлении уменьшения проектных

параметров.

Возможна и вторая, альтернативная постановка задачи опти­ мального проектирования, согласно которой при фиксированной массе оболочки отыскивается такая структура ее многослойного пакета, для которой рабочие характеристики оболочки, находя­ щейся под действием осевых гармонических сил, достигают экстре­ мальных величин в области D' допустимых значений параметров управления. В качестве целевой функции тогда может быть рас­ смотрена одна из следующих:

а) протяженность 0„ диапазона частот [О, 0П], свободного от ОДН, которую желательно максимизировать:

б) интеграл /(0, 0о)=/(0о), который желательно минимизи­ ровать:

в) протяженность 0Пчастотного диапазона [О, 0П], не содер­

жащего пересечения соседних ОДН, которую желательно макси­ мизировать:

Вектор проектных параметров остается без изменения, т. е. в виде (4.81) , а область допустимых значений параметров управления

будет определяться новым вектором функций ограничений g'j(x), число которых N' может не совпадать с /V. Функции ограничений (4.82)—(4.84) и ограничение на устойчивость оболочки (4.88) со­ храняются и для области допустимых значений D', а вместо функ­ ций ограничений (4.85)—(4.87) необходимо поставить условия постоянства массы оболочки. Эти условия могут быть записаны, например, в виде

где p, — суммарный коэффициент армирования, одинаковый для всех слоев, и

г-1

где h — толщина оболочки, поддерживаемая постоянной.

Сложность целевых функций (4.94)—(4.96) практически ис­ ключает применение для решения задачи оптимального проекти­ рования в данной постановке градиентных методов. Одним из воз­ можных путей отыскания оптимального проекта в такой ситуации можно считать использование методов теории планирования экс­ перимента.

В дальнейшем ограничимся некоторыми иллюстративными при­ мерами решения задачи отыскания минимума массы оболочки при физических ограничениях (4.89)—(4.91). В табл. 4.2 приведены результаты решения задач минимизации массы четырехслойной •боропластиковон оболочки с ортогонально армированными слоями при R = 1 м, L/R=2,4 для трех видов физических ограничений — (4.89), (4.91), (4.90). Рассматривались два значения минимально

допустимого суммарного коэффициента армирования каждого слоя (4.85): pto=0 и j.i0=0,5. Одновременно варьировались 12 парамет­ ров управления: р/,-, р"*, Аг-, где £=1, 2, 3, 4. Задача решалась ме­ тодом градиентного спуска в сочетании с методом перебора при выборе начального вектора проектных параметров. Обнаружено незначительное отклонение (в пределах 3—4%) массы оптималь­ ного проекта вследствие изменения начальной точки х0. Путем сопоставления результатов решения задачи оптимального проек­ тирования, предпринятого из 20 начальных точек, в качестве на­ чального вектора проектных параметров выбран х0=(0,5; 0,4; 2,0; 0,4; 0,5; 1,2; 0,3; 0,6; 1,6; 0,6; 0,3; 0,8); величины Д,- даны в мм.

Из сравнения полученных значений целевой функции видно существенное уменьшение массы оболочки с ослаблением физи­ ческого ограничения: при ограничении (4.91) масса уменьшилась на 10—12%, при (4.90) —на 22—28% по сравнению со случаем

Таблица 4.2

Рис. 4.17. Зависимости массы едини­ цы поверхности оптимальных двух­ слойных оболочек из углепластика с перекрестным армированием от угла армирования српри разных физичес­ ких ограничениях: 1 — 0ц/2л^ ^200 Гц; 2 —0„/2л^2ОО Гц; 3 — /0<5 Гц; 4 —P*7?Po+Pt

(4.89). Этот результат показывает, что уменьшения массы обо­ лочки можно добиться за счет разумного смягчения физических ограничений, соответствующего реальным требованиям, налагае­ мым на конструкцию.

При рассмотрении структуры описанных в табл. 4.2 оптималь­ ных пакетов с ц0=0 обратим внимание на то, что уменьшение массы оболочки происходит в большей мере за счет уменьшения коэффициента армирования, нежели в результате уменьшения тол­ щины слоев. Наложение дополнительного ограничения (|Ло=0,5), казалось бы, должно привести к увеличению массы. Однако ре­ зультат прямо противоположный: для всех трех видов ограничений

ср0=0,5 массы оптимальных оболочек оказались меньшими, чем

сро=0. С одной стороны, это подчеркивает, что использованный градиентный метод позволяет найти только локальный оптимум,

сдругой — указывает на необходимость введения ограничений типа (4.85) с целью регулирования оптимального поиска в направ­ лении более тонких и жестких (с высоким процентным содержа­ нием арматуры) слоев.

Рассмотрим далее результаты решения задачи оптимизации двухслойной углепластиковой оболочки с ортогонально армиро­ ванными слоями, уложенными относительно образующей под уг­ лами ±(р. Они приведены на рис. 4.17 и в табл. 4.3. Как видно, при всех четырех видах физических ограничений (4.88)—(4.91) влияние угла <рна оптимальную массу значительно. Отметим при этом, что зависимости М(<р) для разных физических ограничений заметно различаются. Кроме того, при рассмотренных значениях