книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

дуры ортогонализации приходим к следующему интегродиффереициальному уравнению:

Xmn(0—оригинал выражения (4.32), а коэффициенты .gmn(1), gmn<2> определяются согласно (4.31).

В частном случае экспоненциального ядра релаксации (4.33)

а величина pmn задается формулой (4.35). Уравнение (4.70) тогда принимает вид

Учитывая обозначение (4.37), его можно переписать в следую­ щей форме:

•+ Qnm2 (1—2ômn COS0/) l^mn—(ùmn2W +dmnWmn X

Отметим, что при dmn=gmnil)=gmnl2)=Wmn°=Q уравнение (4.74) переходит в уравнение Матье (4.14), полученное при реше­ нии линейной упругой задачи; при Wmn0=dmn=0 оно переходит в уравнение (4.38), соответствующее линейной вязкоупругой задаче, а при 5‘шп(1,=5гшп(2)=0 —в уравнение нелинейной упругой задачи в одночленном приближении (это уравнение следует из системы

(4.54) при fisssWmn, Ь=0). Обратим внимание также на то, что дополнительные к уравнению (4.14) члены, обусловленные учетом вязкости материала и геометрической нелинейности, входят в (4.74) в виде суммы двух отдельных слагаемых.

Полученное решение может быть без затруднений обобщено на случай использования многочленных аппроксимаций прогиба. Так,

рые становятся функциями времени и находятся из интегральных уравнений типа (4.64). В конечном итоге система (4.54) дополня­ ется рядом интегральных членов.

Расчет нелинейных параметрических колебаний вязкоупругой оболочки проводится в три этапа:

1)определение границ ОДН согласно методике, изложенной

в4.2;

2)выбор необходимой аппроксимации прогиба для заданных параметров нагрузки 0, б;

3)численное решение интегродифференциальных уравнений типа (4.70) или, в общем случае, систем таких уравнений.

При решении интегродифференциального уравнения (4.70) можно использовать метод Рунге—Купа, которым проводилось решение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в упругой задаче. Перепишем (4.70) в виде

(4.75)

Особенность вязкоупругой задачи заключается в том, что выра­ жение для Ftnn содержит интегралы от функции №\«п(0 с перемен­ ным верхним пределом. Следовательно, Fmn зависит не только от текущего момента времени t и величины Wmn в этот момент, но

и от уже вычисленных значений Wmn(t) во все предыдущие мо­ менты времени.

Численное интегрирование уравнения (4.74), соответствующего случаю экспоненциального ядра релаксации, проводилось по схеме метода Рунге—Кутта четвертого порядка точности; входящие в правую часть интегралы вычислялись по формуле трапеций. Ха­ рактеристики оболочки примем такими же, что и в численном при­ мере 4.2. Начальный участок спектра главных ОДН для этой обо­ лочки приведен на рис. 4.7. Ниже приведены результаты, получен­

плоскости {0, 6}, находящиеся внутри ОДН упругой оболочки для формы колебания {1, 5). Точка, соответствующая 6 =0,2, нахо­ дится внутри ОДН также и для вязкоупругой оболочки, тогда как точка, соответствующая 6 =0,03, перешла к области устойчивых решений для вязкоупругой оболочки. В расчетах принято

U'/js0=0,01/i.

Рис. 4.8 позволяет провести сравнение результатов решения нелинейных упругой и вязкоупругой задач. Как видно, в случае, когда параметры нагрузки попадают внутрь ОДН для вязкоупру­ гой оболочки, оба решения качественно схожи. Можно отметить лишь, что в вязкоупругом случае биения становятся слабо выра­ женными уже на начальном этапе (ср. рис. 4.8,а и рис. 4.4), а мак­ симумы на огибающей W]5{t) медленно убывают с ростом вре­

мени.

Сравнение результатов, приведенных на рис. 4.8,в и 4.8,г, по­ казывает, что решения упругой и вязкоупругой задач при 6=0,03 качественно различаются. В упругом случае наблюдается возра­ стание Wi5(t) на начальном этапе, хотя и более медленное, чем при 6=0,2. В дальнейшем колебания принимают обычный харак­ тер биений. В вязкоупругом случае функция Wi$(t) сохраняет

Рис. 4.7. Начальный учас­ ток спектра главных ОДН вязкоупругой обо­ лочки. Числа у кривых —номера осевой и ок­ ружной форм волнооб­ разования

Рис. 4.8. Зависимости Wl5(t) для вязкоупругой (а, в) и уп­ ругой (б, г) оболочек при 0= =730 рад/с; 6=0,2 (я, б) и 0,03 (в, г)

амплитудное значение порядка U7I5°. Этот результат подтверждает, в частности, правильность определения границ ОДН вязкоупругой

оболочки по уравнению (4.41).

4.5. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ

ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ

Расчетные методики, изложенные в 4.3 и 4.4, позволяют опреде­ лить прогиб оболочки w и функцию усилий Ф для произвольной точки {.V, у} и любого момента времени /. Это осуществляется путем суммирования по пг и п соответствующего числа членов ря­ дов Фурье (4.45), (4.46). Так, при использовании двучленной ап­ проксимации прогиба функции w и Ф рассчитываются по форму­

лам (4.51) и (4.52). Далее можно определить и все остальные характеристики напряженно-деформированного состояния обо­ лочки, работающей в режиме параметрического резонанеа.

Согласно формулам (2.16), (2.41), (2.46), (2.50), в случае одно­ родной по толщине ортотропной оболочки получаем следующие выражения для напряжений охх (вдоль оси х), оуу (вдоль оси у) и

оху (касательного в плоскости х, у):

где безмоментные составляющие усилий 7^11°, Т22° вычисляются по формулам (4.8).

Рассмотрим некоторые результаты расчета напряженного со­ стояния упругой оболочки с параметрами, приведенными в 4.3. Примем Ро=0,5Р*, 6=0,35, 0 =650 рад/с, что соответствует точке на плоскости параметров, находящейся внутри ОДН для формы волнообразования {1, 5} (см. рис. 4.2). Рис. 4.9 отражает зависи­

мости осевого и кольцевого напряжений от координаты у в момент времени t=0,125 с. Как отчетливо видно из рис. 4.9,в, г, на окруж­ ности имеется десять узловых точек. Эпюры, исследованные в другие моменты времени, показали, что местоположение узловых

точек с течением времени не меняется. Таким образом, при попа­ дании параметров нагрузки в пределы одной ОДН резонансные

колебания протекают по стационарной пространственной форме. Отметим также, что, согласно рис. 4.9,а, б, безмоментная состав­ ляющая дает основной вклад в напряжение ах.*, тогда как в оуи (рис. 4.9,в, г) доминирует изгибная компонента. Напряжения оХх на обеих поверхностях сжимающие, тогда как ауу в каждом фик­ сированном сечении у имеет противоположные знаки на внутрен­ ней и внешней поверхностях.

На рис. 4.10 приведены эпюры напряжений в два момента вре­ мени при частоте нагрузки 0=750 рад/с. В этом случае в соответ­ ствии с рис. 4.2 резонансными должны быть две формы колебаний:

{1, 5} и {1, 6}. Действительно, при <=0,13 с (см. рис. 4.10,а, в) оба напряжения имеют по пять отчетливо выраженных макси­

мумов и минимумов, тогда как при <=0,17 с (см. рис. 4.10,6, г) их становится шесть.. Таким образом, в данном режиме параметри­ ческого резонанса местоположение узловых точек на окружности

max16**1

Рис. 4.11. Зависимости макси­ мальных значений напряжений в оболочке от частоты внешней нагрузки

непрерывно меняется с течением времени. В определенные мо­ менты можно отчетливо установить наличие пяти-шести узловых

линий вдоль окружности, а в промежутках между этими момен­ тами пространственное распределение характеристик напряженнодеформированного состояния определяется суперпозицией двух форм колебаний, причем их амплитуды сопоставимы по величине. Естественно предположить, что такие пространственно-нестацио­

нарные колебания являются значительно более опасными для кон­ струкции, чем колебания по одной фиксированной форме.

Вподтверждение этого проследим, как меняются напряжения

воболочке при фиксированном значении 6=0,35 и увеличении

частоты 0 от 01 =560 рад/с (левая граница ОДН для формы (1, 5}) до 04=905 рад/с (правая граница ОДН для формы {1, 6}). Частоты 02=700 и 03=8О5 рад/с соответствуют левой и правой границам пересечения этих двух ОДН (см. рис. 4.2). На рис. 4.11 приведены максимальные для каждой фиксированной частоты зна­ чения напряжений охх и оуу в оболочке. Как видно, в диапазоне частот [02, 03], соответствующем пересечению ОДН, наблюдается возрастание напряжений, причем более резко выраженное для оуу*. Так, максимальная величина окружного напряжения (соот­ ветствующая частоте, несколько меньшей 03) почти в два раза превышает максимум оуу при колебаниях вне диапазона пересе­ чения ОДН. Рассмотренный пример показывает, что наиболее опасными с точки зрения усталостного разрушения оболочки явля­ ются режимы параметрического резонанса, при которых ампли­

туда и частота внешней нагрузки находятся внутри пересечения нескольких ОДН.

* Менее выраженное изменение ахх связано, очевидно, с отмеченным большим вкладом в это напряжение безмоментной составляющей.

В заключение отметим, что установленный и исследованный нами теоретически эффект взаимодействия пространственных форм колебаний цилиндрических оболочек при параметрическом резо­ нансе* обнаружен и экспериментально [ПО, 144]. В частности, найден резонансный режим, в котором перекрывались три ОДН, соответствующие двум, трем и четырем окружным волнам. Отме­ чалось [144], что в движение оболочки вовлекались одновременно три формы изгибных колебаний. Кинограмма показала [144], что в отдельные моменты времени можно выделить достаточно «чис­ тые» изгибные формы с /1=3, 4 и 2 при общем нестационарном характере движения оболочки. Как видно, с качественной стороны эти экспериментальные факты полностью соответствуют теорети­ ческим результатам, отраженным на рис. 4.9, 4.10.

4.6. ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРАМИ ОДН композитных многослойных ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Возникновение явления параметрического резонанса в тонко­ стенных элементах конструкций в эксплуатационных условиях, естественно, нежелательно. Если рабочий диапазон частот обо­ лочки известен — [0ь ©г], а ожидаемые амплитуды осевого виб­ рационного воздействия ограничены сверху значением коэффи­ циента возбуждения ô*, то можно избежать параметрического ре­ зонанса, «очистив» прямоугольник 01<0<02, O^ô^ô* на плоскости параметров {0, 6} от ОДН. Для этого, согласно резуль­ татам, приведенным в 4.1 и 4.2, есть два пути: 1) варьирование частот собственных колебаний ©т« и критических усилий Р*т»•; 2) использование материала с достаточно высокой вязкостью, эф­ фективно воздействующей на ОДН в интересующем нас частотном

диапазоне.

В определенных ситуациях достаточно обеспечить долговечность оболочки, находящейся под вибрационной нагрузкой, на вполне

определенном, конечном промежутке времени. Такая постановка задачи допускает возникновение параметрического резонанса, но

накладывает ограничения на амплитуды напряжений, развиваю­ щихся в оболочке. Как показало проведенное в 4.5 исследование, наиболее опасны режимы параметрических колебаний, при кото­ рых частота и амплитуда нагрузки попадают в пересечения не­ скольких ОДН (причем, очевидно, чем большее количество ОДН пересекается в данной точке плоскости параметров, тем более вы­

соким будет уровень напряжений). Это обстоятельство позволяет рассмотреть задачу управления спектрами ОДН при более мягком ограничении: потребовать, чтобы в пределах заданного прямо­

угольника 01^0^02, O^ô^ô* отсутствовали пересечения ОДН. * Соответствующие результаты впервые изложены в работе [531 •