книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

тов теории с точки зрения учета тех или иных малых членов, но и сформулировать доступные для практической проверки при ре­ шении конкретных задач критерии применимости полученного в

конечном итоге простейшего варианта уравнений движения обо­ лочки. Наряду с уравнениями нелинейной теории, учитывающей деформации поперечных сдвигов, выведены уравнения, основан­ ные на модели Кирхгофа—Лява. Особое внимание уделено нели­ нейным уравнениям технической теории ортотропных оболочек. Получены также соответствующие варианты линеаризованных

уравнений.

Во второй главе на основе общих уравнений, приведенных в главе 1, получены нелинейные и линеаризованные уравнения дви­ жения ортотропных цилиндрических оболочек. Помимо уравнений, соответствующих моделям Кирхгофа—Лява и Тимошенко в сово­ купности с допущениями технической теории, рассмотрены лине­ аризованные уравнения более общего вида. При их выводе исполь­ зован известный подход, впервые примененный в работах В. Флюгге. Вторая глава содержит все исходные уравнения движения обо­ лочки, используемые в последующих главах.

В третьей главе рассмотрены задачи собственных колебаний свободно опертых ортотропных цилиндрических оболочек. Полу­ чены выражения для частоты собственных колебаний, а также критических статических нагрузок на основе различных вариантов теории. Проведены аналитическое исследование этих выражений в различных предельных случаях и их сравнение с соответствую­ щими формулами технической теории. Приведены результаты чис­ ленных расчетов, иллюстрирующие зависимость погрешности, вно­ симой допущениями технической теории в значения собственных частот, от соотношений между геометрическими параметрами обо­ лочки при различных формах колебаний. Для различных форм колебаний исследуются зависимости относительной поправки, вно­ симой в значения частот учетом поперечных сдвигов, от соотно­ шений между радиусом оболочки и толщиной, между модулем сдвига в плоскости слоя и модулями поперечных сдвигов. Пред­ ставлено также подробное количественное исследование эффек­

тов, связанных с учетом тангенциальных инерционных членов и инерции вращения.

В результате проведенных в третьей главе исследований полу­ чены всесторонние количественные оценки пределов применимости уравнений технической теории ортотропных цилиндрических обо­ лочек, основанной на модели Кирхгофа—Лява. Эти уравнения ис­ пользуются в последующих главах для решения нелинейных за­ дач динамики цилиндрических оболочек.

Четвертая глава посвящена решению задач о параметричес­ ких колебаниях упругих и вязкоупругих ортотропных цилиндри­ ческих оболочек. На основе линеаризованных уравнений движе­ ния выведены уравнения границ главных областей динамической

неустойчивости. При этом учитываются деформации поперечных ■сдвигов и предполагается, что материал обладает вязкоупругими свойствами при сдвиговом деформировании. Расчет спектра об­ ластей динамической неустойчивости является необходимым пред­

варительным этапом для решения задачи о параметрических ко­ лебаниях с учетом геометрической нелинейности.

Суть излагаемого далее подхода к расчету нелинейных пара­ метрических колебаний состоит в предварительном разделении ре­ зонансных и нерезонансных режимов и выборе исходной аппрок­ симации прогиба исходя из того, какие пространственные формы колебаний являются резонансными для заданных параметров виб­ рационной нагрузки. На основе этого подхода можно рассчитать

напряженно-деформированное состояние оболочки, возникающее в любом режиме параметрического резонанса. Проведено исследо­

вание характерных особенностей развития во времени прогиба и напряжений, в том числе и при параметрах нагрузки, соответствую­

щих пересечению нескольких областей динамической неустойчи­ вости. Иллюстрируются возможности управления начальными

участками спектров областей динамической неустойчивости волок­ нисто-слоистых цилиндрических оболочек и приводятся некоторые примеры решения задач оптимального проектирования при физи­ ческих ограничениях, характерных для работы оболочки в режиме

параметрического резонанса.

В пятой главе исследованы задачи импульсного нагружения ортотропных цилиндрических оболочек. В геометрически нелиней­ ной постановке, с использованием продольной схемы метода пря­ мых, для разнообразных граничных условий получено решение за­ дачи осесимметричного деформирования оболочки, нагруженной импульсом продольного сжатия. Рассматривается влияние на про­ цесс деформирования осесимметричных начальных несовершенств. Проводится сравнение теоретических и экспериментальных ре­ зультатов. Для того же вида нагружения рассматривается реше­ ние задачи деформирования оболочки, имеющей неосеснмметричные начальные несовершенства. Применяются метод Бубнова— Галеркина по окружной координате и метод конечных разностей по осевой координате. Исследуется влияние условий закрепления

торцов и вида функции начального прогиба на взаимодействие про­ цессов осесимметричного и неосесимметрнчного выпучивания. По­ лучено также решение задач неосесимметричного динамического выпучивания в пренебрежении продольной инерцией оболочки. При этом по обеим пространственным переменным используется метод Бубнова—Галеркина. Изучен эффект взаимосвязанности окружных форм выпучивания при нагружении оболочки импуль­ сами продольного сжатия или внешнего давления. Сопоставление результатов решения задачи неосесимметрнчного динамического выпучивания оболочки при осевом сжатии, полученных согласно

двум рассмотренным выше подходам, позволило сформулировать

условие применимости суперпозиции осесимметричной и неосесим­ метричной составляющих при расчете характеристик напряженно-

деформированного состояния оболочки.

Шестая глава, базирующаяся на методах расчета и результа­ тах, изложенных в главе 5, посвящена исследованию начального разрушения и процессов послойного разрушения в цилиндрических оболочках из слоисто-волокнистых композитов при импульсных нагрузках (осевом сжатии, внешнем давлении). Первая задача формулируется следующим образом: для заданных прочностных характеристик ортотропного материала монослоя определить вели­ чину нагрузки (импульса), при которой хотя бы в одной точке оболочки нарушается условие прочности. В результате ее решения находится первое предельное значение нагрузки (импульса), иден­ тифицируется форма начального разрушения в слое и устанавли­ вается местоположение зоны начального разрушения. Кроме того,, проводится анализ величин, которых достигают поперечные и меж­ слойные напряжения в оболочке в момент начального разрушения от напряжений, действующих в плоскости слоя. Решение второй задачи — расчета процесса послойного разрушения оболочки после момента начального разрушения — основывается на модели редуцированных жесткостей. Оно дает возможность получить вто­ рое предельное значение нагрузки (импульса), в большей степени соответствующее полному исчерпанию оболочкой несущей способ­ ности. В результате анализа большого объема численных данных сформулированы практические выводы относительно выбора структур многослойных оболочек, обеспечивающих наилучшую со­ противляемость динамическим сжимающим нагрузкам.

Изложенный в монографии общий подход позволяет, таким об­ разом, в комплексе исследовать процессы деформирования, дина­ мического выпучивания и послойного разрушения цилиндрических оболочек из волокнистых композитов. По всем описанным алго­ ритмам разработаны пакеты прикладных программ, предназна­ ченных для использования на ЕС ЭВМ.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодар­ ность чл.-кор. АН ЛатвСССР В. П. Тамужу за постоянное внима­ ние к работе. Значительный вклад в подготовку материалов для монографии внес канд. физ.-мат. наук С. П. Юшанов. Автор бла­ годарен Л. Л. Волгиной, взявшей на себя труд по техническому оформлению рукописи.

ГЛАВА 1

О с н о в н ы е у р а в н е н и я н е л и н е й н о й т е о р и и

т о н к и х о р т о т р о п н ы х о б о л о ч е к в о р т о г о н а л ь н ы х к р и в о л и н е й н ы х к о о р д и н а т а х

Выведена система уравнений, описывающих в геометрически нелинейной по­ становке деформирование тонкостенной орУотропной оболочки в предположении

линейно-упругого поведения материала. При построении всех фрагментов тео­ рии последовательно используются уравнения и формулы нелинейной теории упругости в ортогональных криволинейных координатах. Такой подход позво­

ляет сформулировать единуюсистему допущений, на основе которых проводится оценка порядка малости тех или иных членов в соотношениях между деформа­ циями и перемещениями, в уравнениях равновесия, в формулах обобщенного

закона Гука.

Из общих выражений получены уравнения нелинейной технической теории (теории пологих оболочек). Параллельно с вариантом уравнений, учитываю­ щих деформации поперечных сдвигов, рассматривается вариант, соответствую­ щий модели Кирхгофа—ява. Из общих нелинейных уравнений выведены ли­ неаризованные уравнения устойчивости. Все окончательные результаты запи­ саны относительно исходной иедеформированной системы координат.

Линейная теория однородных изотропных оболочек, начало ко­ торой положили работы Арона и Лява, в 30—40-е гг. была предме­ том многочисленных и разнообразных исследований отечествен­

ных и зарубежных ученых. Подробный обзор и оценка достижений советских механиков в разработке классической теории оболочек даны в статье В. В. Новожилова [211]. Отмечено, что фундамен­ тальное значение для этих исследований имели более ранние ра­ боты Б. Г. Галеркина, П. Ф. Папковича, Ю. А. Шиманского, С. П. Тимошенко. В частности, Б. Г. Галеркиным был разработан оригинальный метод, заключавшийся в получении всех формул

теории оболочек из общих уравнений теории упругости. Он имел огромное значение с точки зрения построения математически по­ следовательной линейной теории тонких оболочек и широко ис­ пользовался в работах А. И. Лурье, В. 3. Власова, А. Л. Гольден­

вейзера, В. В. Новожилова, X. М. Муштари. Впервые этим путем: вывел уравнения теории тонких оболочек А. И. Лурье [181]. Ос­ новные принципы, заложенные этими учеными в линейную теориюоднородных изотропных оболочек, послужили методологической основой для построения уточненных теорий, теорий анизотропных и многослойных оболочек. Они имеют фундаментальное значение для построения нелинейных теорий оболочек.

По теории анизотропных оболочек первое исследование, по-ви­

димому, было выполнено И. Я- Штаерманом [269]. В 30-е годы Флюгге, Дшоу, Тейлор, X. М. Муштари проводили расчеты на ус­ тойчивость конструктивно-ортотропных оболочек. Однако по-нас­

тоящему глубокое развитие теория анизотропных оболочек полу­ чила в работах С. А. Амбарцумяна [15—18]. Как отмечено в [22]г эти исследования представляли собой симбиоз классической тео­ рии изотропных оболочек (в частности, теории пологих оболочек

B.3. Власова [94]) и теории анизотропных слоистых пластинок

C.Г. Лехницкого [179, 180]. В [15] получены уравнения для «весьма пологой» (в терминологии В. 3. Власова) однородной по толщине оболочки. В [16, 17] предложена теория «весьма пологих» многослойных оболочек с симметричной по толщине ук­

ладкой слоев. В [18] впервые изложена теория многослойных ортотропных оболочек с произвольной укладкой слоев по толщине. Следует добавить, что в 1953 г. была опубликована также работа Э. И. Григолюка [132] по теории биметаллических (изотропных двухслойных) оболочек, где установлены эффекты, аналогичные рассмотренным в [18]. Дальнейшие исследования С. А. Амбарцу­ мяна [19, 20] были посвящены уточненным теориям анизотроп­ ных и слоистых оболочек. Особо отметим работу [20], в которой изложена уточненная теория анизотропной оболочки, основанная на априорном задании параболического распределения попереч­ ных касательных напряжений по толщине (теория получила до­ статочно широкое распространение в задачахизгиба,устойчивости и колебаний).

Развитию теории слоистых оболочек посвящены работы Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова [140—142], где рассмотрены как трехслойные, так и общего вида многослойные оболочки, в том числе вязкоупругие. При этом кинематические гипотезы принима­ лись для каждого отдельного слоя. Один из вариантов, получив­ ший наибольшее распространение, основан на модели «ломаной линии», введенной Э. И. Григолюком для трехслойных оболочек

(1957—1958 гг.). Подробный анализ работ этого направления дан в обзорной статье [136].

Для построения теории оболочек регулярной по толщине струк­ туры В. В. Болотин применил прием «энергетического размазыва­ ния» [76]. Для несущих слоев использовались гипотезы Кирх­

гофа—Лява, а связующие слои рассматривались как мягкие, сжи­ маемые заполнители.

За последние 20 лет опубликовано огромное число работ (оте­ чественных и зарубежных) по линейной теории анизотропных и многослойных оболочек. В них использовались принципы и методы,, заложенные в работах С. А. Амбарцумяна, Э. И. Григолюка,. В. В. Болотина, а также основные идеи построения уточненных вариантов теории однородных изотропных оболочек. Этим иссле­ дованиям посвящены, в частности, монографии [24, 143, 173], об­ зорные статьи [115, 136, 138, 154].

Фундаментальные принципы и положения, выработанные в линейной механике оболочек (выбор исходных аппроксимаций не­ известных функций по толщине; согласование точности всех эле­ ментов теории как между собой, так и с точностью исходных ап­ проксимаций; методы вывода уравнений равновесия и соотноше­ ний упругости; возможность введения функций напряжений и ис­ пользование уравнений равновесия в смешанной форме), послужили методологической обновой при разработке нелинейной теории.

Первые результаты по теории конечных перемещений тонко­ стенных упругих оболочек получены в работах Лява, С. П. Тимо­ шенко, Саусвелла. fto1детальная теоретическая разработка геомет­ рически нелинейной теории началась с исследований X. М. Муштари [193], получившего основные соотношения нелинейной теории тонких ортотропных оболочек в предположении, что переме­ щения точек срединной поверхности, сравнимые с толщиной, малы по сравнению с другими характерными размерами оболочки. В по­ следующих работах X. М. Муштари построил более общую нели­ нейную теорию, справедливую при произвольных изгибах средин­ ной поверхности, провел качественное исследование напряженного состояния оболочки при малых деформациях и произвольных пе­ ремещениях, предложил строгую классификацию задач нелиней­ ной теории оболочек. В работах [194, 195] он получил (с позиций геометрически нелинейной теории) основные уравнения для обо­ лочек, обладающих произвольными полями начальных напряже­ ний и начальных геометрических несовершенств.

Крупный вклад в нелинейную теорию оболочек внес К. 3. Гали­ мов. На основе общих уравнений нелинейной теории упругости он получил тензорную форму уравнений равновесия нелинейной тео­ рии оболочек, в общем виде сформулировал статические граничные условия для случая конечных деформаций, применил вариацион­ ные методы к задачам нелинейной теории оболочек.

Геометрически нелинейная теория оболочек, основанная на ги­ потезах Кирхгофа—Лява, изложена X. М. Муштари, К. 3. Гали­ мовым в монографии [196], оказавшей большое влияние на все последующие исследования в этой области. Фундаментальное зна­ чение для разработки геометрически нелинейной теории оболочек имели результаты, полученные В. В. Новожиловым [208], изло­ жившим общий подход к проблеме деформации гибких тел (тонких стержней, пластин и оболочек). На основе нелинейной теории

упругости в [208] были выведены уравнения тонких оболочек в

ортогональных координатах.

Исследования по нелинейной теории оболочек проводили од­ новременно А. И. Лурье, В. 3. Власов, Ю. Н. Работнов, Н. А. Алумяэ. Зарубежные авторы до начала 60-х гг. не уделяли большого внимания нелинейной теории оболочек, хотя ими и были опубли­ кованы отдельные важные результаты. Так, Доннел [311, 312] по­ лучил нелинейные уравнения среднего изгиба цилиндрической обо­ лочки, обобщенные затем Маргерром [371] на случай пологих оболочек произвольной кривизны. Эти уравнения в настоящее время являются классическими в теории пологих оболочек. Сле­ дует отметить также оригинальные исследования Ченя [302] по общей нелинейной теории оболочек.

Классическое направление нелинейной теории однородных изо­ тропных оболочек, основанное на модели Кирхгофа—Лява, полу­ чило дальнейшее развитие в работах Церны [465], Нагдн [387, 389], Сандерса [413], Койтера [360], В. М. Даревского [148], Л. И. Шкутина [265], Л. А. Шаповалова [260—262], Э. И. Григо-

люка и В. И. Мамая [137], В. В. Кабанова [160, 161], а также в [362, 363, 391, 397, 398, 445, 447].

Нелинейная теория оболочек, основанная на кинематической модели Тимошенко, впервые была изложена в тензорном виде в работе Л. Я. Айнолы [9]. Наиболее глубоко и полно этот вариант уточненной нелинейной теории оболочек разработан К. 3. Галимо­ вым. В монографиях [113, 114] дано его подробное изложение в тензорной форме. Вариант нелинейной теории анизотропных обо­ лочек с учетом поперечных сдвигов получен В. Е. Спиро [232, 233]. В связи с разработкой уточненных вариантов нелинейной теории •оболочек отметим также статью Л. И. Шкутина [266] и исследо­ вания Н. П. Семенюка [92].

Сравнительно небольшое число работ посвящено нелинейной -теории слоистых оболочек. Среди первых — проведенное в [25] обобщение линейной теории [19] на случай учета квадратичных по прогибу членов, а также упоминавшиеся выше исследования [140—142]. Вариант нелинейной теории пологих слоистых оболо­ чек был разработан А. П. Прусаковым [219]. Статья Ю. Н. Нович­ кова [207] посвящена тензорному изложению нелинейной теории оболочек со слоями чередующейся жесткости (для жестких слоев принята кинематическая модель Тимошенко, мягкие слои рабо­ тают только на поперечное обжатие и сдвиг). В тензорной форме нелинейные уравнения для многослойных оболочек регулярного строения выведены М. С. Герштейном [117, 118] на основе сме­ шанного вариационного принципа. Нелинейная теория многослой­ ных пологих оболочек разрабатывалась в [175] (развивались идеи предшествовавших работ Э. И. Григолюка, П. П. Чулкова по трех­ слойным оболочкам) и в [88, 89], где на основе модели «ломаной линии» с использованием вариационного принципа Ренсснера были

получены системы уравнений движения многослойных анизотроп­ ных оболочек, порядок которых зависит от числа слоев.

Резюмируя представленный краткий библиографический обзор, можно сказать, что к настоящему времени наиболее глубоко про­ работана нелинейная теория однородных изотропных оболочек,ос­ нованная на модели Кирхгофа—Лява. Полные системы уравнений, приведенные в [,134, 137, 148, 160, 232, 260, 360] и ряде других ра­

бот, после несложных дополнительных выкладок позволяют исполь­ зовать их для решения практических задач. Тем не менее практи­

ческое применение в решениях нелинейных задач получили в основ­ ном уравнения теории пологих оболочек Маргерра—Муштари— Власова. Для анизотропных оболочек решения нелинейных задач рассматривались главным образом на основе простейшего вари­ анта —уравнений «весьма пологих оболочек».

Нелинейная теория оболочек типа Тимошенко достаточно хо­ рошо разработана в общем плане. Однако для ортотропных оболо­ чек в литературе не удается найти корректно выведенных уравне­ ний движения, записанных относительно физических величин в системе координат, отнесенной к линиям кривизны на срединной

поверхности.

В нелинейной теории многослойных оболочек известно не­ сколько частных подходов, существенно различающихся как по исходным гипотезам, так и по степени их проработки. Решения же конкретных нелинейных задач либо относятся к трехслойным обо­ лочкам, либо основаны на сведении многослойной оболочки к од­ нородной анизотропной путем применения кинематических гипо­

тез для пакета слоев в целом.

1.1. ДЕФОРМАЦИИ

Центральное место в геометрически нелинейной теории тонко­ стенных оболочек занимают соотношения между деформациями и перемещениями. Рассмотрим их вывод, исходя из общих соот­

ношений нелинейной теории упругости в ортогональных криволи­

нейных координатах [210].

Пусть ai, a2, аз —координаты точки в произвольной криволи­ нейной ортогональной системе координат. Совместим координат­ ную поверхность а3=0 со срединной поверхностью оболочки. Ко­ ординатные линии ai, a2 направим вдоль линий главных кривизн этой поверхности. Соответствующие этим координатным линиям орты обозначим в|, е2. Примем, что направление орта е3 совпадает с направлением внешней нормали к срединной поверхности обо­

лочки.

Обозначим через Mi°(ai,a2), W2°(ai,a2), n3°(ai,a2) проекции вектора перемещения произвольной точки (ai, a2) срединной по­ верхности на направления еь е2, е3 соответственно. Примем, что

где

Hi — параметры Ламе; Ai2 —коэффициенты первой квадратич­ ной формы; ki — нормальные кривизны недеформированной сре­ динной поверхности. Отметим, что из определений (1.2), (1.3) следует симметричность тензора деформаций гм-

Подставляя (1.1), (1.4) в (1.3), учитывая, что a3fci<l, и огра­ ничиваясь членами порядка a%ku приходим к следующим выра­ жениям:

e«=(ei+a3K.f) (l-cc3£i);

£12= (yi+ot3Ti) ( 1—а3&1) + (Y2+азтг) (1—а3£г);

(1.5)

2(о3= (yi+(Х3Т1) (1—ciski)—(Y2+СС3Т2) (1—аз^г)■

Здесь

(1.6)

(1.7)

В формулах (1.3), (1.5)—(1.7) и последующих индекс /=2 при i=l и /= 1при i=2.

В результате подстановки (1.5) в (1.2) приходим к следую­ щим выражениям для деформации:

8г-г= (ег+а3Кг) ( 1—<x3Aîi) +—[(е,+а3х02+