книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек
..pdf+ (Yi+a3Ti)2+6i2] (1—2ot3&i) +-2'аз2Хгз2+0гХ1-за3(1 —«з^г) —
л ki dv3° |
0/1 |
и ч |
dl>3° |
(1.8) |
-0г—î— |
а32(1 —аз«г) -Xfs—--- а3°; |
|||
' Лг (foi |
W |
, |
<foi |
|
ei2=e2i = (yi+«3Ti) (1—a3&i)+ (y2+«3T2) (1 —аз&г) + |
|
|||
+ [(ei+a3xi) (Y2+ |
0C3T2) + (е2+а3и2) (yi+Wi) + |
+0102] [1—O63(&l+Æ2)] + |
[01^23 (1 ~«3^l) +62X13 (1 CC3&2) ]oc3-4- |
+ [ ^ 3 - 0 , + |
4 |
«I |
^ |
( 1 ] |
J |
«и- |
|||
L |
Л2 |
да.2 |
|
|
0а1 |
|
|
||
|
|
^2 дс’з0 |
^1 du3° |
|
|
(1.9) |
|||
|
- ( |
Х13-5---^----I-X23- . |
- } аз3; |
|
|||||
|
Л2 дао |
А\ |
<foi |
|
|
|
|||
8i3—0i°+ [0.(1+030) +üi0(ei+a3Ki)+üj°(Yï+a3Ti)] (l-a 3Aü) + |
|||||||||
|
|
лч ( |
|
h |
dü3° |
\ |
|
(1.10) |
|
|
+a3(l +Ü3 ) ( ^ |
- “3 X 1 7 - |
) î |
|
|||||
|
|
|
|
Л* |
<fo£ |
|
|
|
|
|
|
e33=v3o+ 4 (Bi°:+v2°!+V3°‘). |
|
|
(1.11) |
||||
Вформуле (1.8) отброшено слагаемое
ав (1.9) —слагаемое
Ь\ |
k2 |
диъ° |
dus0 |
4 п/ии 9Ч |
9 |
~А--- |
Г—Б---- |
Л--- |
аз ~ 0 {k\k2(Xs2)Х13х2заз2. |
||
Л1 Л2 |
(foi |
(fo2 |
|
|
|
Отметим еще раз, что при выводе соотношений (1.8)— (1.11) сделаны два допущения: 1) приняты линейные аппроксимации пе ремещений по толщине (1.1) и 2) отброшены величины более вы сокого, чем kid3, порядка малости в сравнении с единицей. Прове дем далее ряд последовательных упрощений полученных выра жений.
Во-первых, считая оболочку достаточно тонкой, пренебрежем
в (1.8)—(1.10) величинами &,а3 по сравнению с единицей. В соот ветствии с этим можно отбросить те члены, которые в сравнении с другими имеют порядок О (kids). В формуле (1.8) таковыми
являются
0г |
Ai |
- р —аз2~ 0 (**'®з) 0{Xi3a3; х,-з |
~7Г~аз3 ~ 0 (k&*)**з2а32; |
|
(foi |
Ai UCCi |
в формуле (1.9):
k2 dvs° |
|
|
Ai |
da2 |
|
k\ |
dv3° |
|
е2Ai |
dai |
С632~ О (Æ1GC3)02*13«з; |
*13-k2 |
dv3° |
аз3~ О {k2OLz)*13*23«32; |
л2 da2 ' |
||
*23 ki |
dv3*-а33~ О (^1а3)х.13Х2заз2; |
|
1Ai |
dai |
|
в формуле (1.10) |
ду3° |
|
Л,- |
||
Лг |
даi |
|
После упрощений выражения для деформаций принимают вид: ег,- = (ei+a3*i) +-^-[(е,+азхг)2+ (Yi+a3tj)2+ (0,-+аз*£з)2];
ei2= (Yi+a3Ti)+ (Y2+0C3T2) + (ei+a3xi) (y2+«3T2) +
+ (е2+азх2) (Yi+ct3ti) +0i02+аз(01*23+62*13) +«32*i3*23Î
(М2)
е,-з=Цг0+Уг0(8г+азХг)+üj°(Yt+a3Ti)+ (1+Уз0) (0£+«3*гз).
Во-вторых, введем в рассмотрение показатели изменяемости вдоль координатных линий характеристик деформированного со
стояния оболочки и коэффициентов первой квадратичной формы срединной поверхности, определив их посредством равенств:
dvp |
0 |
dvi° |
n |
dAi |
дАг |
А |
-z— =hiVi°; |
—— =XijVi°\ |
- —=piHiî |
—=\.UjAi. |
|||
даi |
|
даj |
|
dat |
оaj |
|
Примем, что максимальные значения hu faj, рн, pu удовлетво ряют условиям:
(1.13)
Тогда нетрудно убедиться, что в (1.12) многие слагаемые имеют
в сравнении с другими порядок 0(£,а3). Опуская их в указанных формулах, находим:
8»=Ei+ (6i24-Yi2+0i2) +а3(*i+YiTi+0£*1-з) ;
(M4)
8i2=Yi+Y2+8iY2+e2Yi+0i02+a3(Ti+T2+eiT2+e2Ti+0lX23+02*i3); 8i3=üi°+ ( 1+из0)0£+t;i°Ei+Vj°Yi.
Наибольшее распространение в практических расчетах оболо чек получили выражения для деформаций, основанные на упро щенном варианте нелинейной теории упругости [208], в котором предполагается, что деформации удлинений и сдвигов есть вели чины более высокого порядка малости, чем углы поворота. Это допущение позволяет в формулах (1.14) опустить квадраты ей Yï, а также их взаимные произведения и произведения на осталь ные неизвестные функции. В результате получаем следующие вы ражения для деформаций:
eü=8i+y 0124-а3(х{+0гХ.,-3); |
|
ei2=V'l +У2+0102+ОСз(Т1 +Т2+01Х23+02*1з)Î |
(1.15) |
8i3=Уг°+0f( 1+Ü3°) • |
|
Остановимся далее на варианте теории, основанном на кине матических гипотезах Кирхгофа—Лява. В монографии В. В. Но вожилова [208] эти гипотезы трактовались как допустимость пре небрежения деформациями поперечных сдвигов по сравнению с углами поворотов сечений, содержащих орты в|, е3 и е2, е3. При этом подчеркивалось, что условия равенства нулю деформаций £,-3, будучи поняты как математически точные и, соответственно, постулируемые в качестве основы теории, абсурдны, ибо они при водят к очевидным противоречиям (в частности, с формулами закона Гука). Если же их интерпретировать лишь как возмож ность пренебрежения деформациями поперечных сдвигов при оп ределении направления орта е3, то они «становятся на свое место, причем сразу же оказываются более ясными и те условия, при соблюдении которых этими равенствами можно пользоваться» [208]. Что касается этих условий, то в данной трактовке модель Кирхгофа—Лява имеет внешне чисто геометрический характер. Однако в неявной форме она несет в себе также и несомненное механическое содержание. На это указывал С. А. Амбарцу мян [22]. Дело в том, что допустимость пренебрежения деформа циями е/3 при нахождении направления орта е3 для анизотроп ного материала в значительной мере определяется величинами мо дулей поперечных сдвигов (7,-3. Вследствие этого корректность использования модели Кирхгофа—Лява обусловливается как ха рактером реализуемого в оболочке напряженного состояния и от носительной толщиной стенки, так и соотношениями между упру гими характеристиками конкретного анизотропного материала.
Таким образом, следуя указанной интерпретации гипотезы Кирхгофа—Лява и учитывая (1.15), получаем условие
tn°+0i(l +o3o)<0i, |
(1.16) |
удовлетворить которому, принимая во внимание и30<£1, можно, положив
Вопрос об определении функции -и3° обсуждался напоимео в
[137, 196, 208, 260, 262, 444]. Наибольшее распространение полу |
|
чили две приближенные формулы: |
J |
у3°«0; |
(1.18) |
ц3°« y ^ W ) . |
(1.19) |
Если принять (1.18), то, согласно (1.11), |
|
e33«y(ui0î+U20ï) |
(1.20) |
если же принять (1.19), то |
|
езз;«у(^10г+^203). |
(1.21) |
Как видно, (1.20) и (1.21) обладают явным недостатком: по перечная нормальная деформация положительна вне зависимости от знака деформаций в срединной поверхности оболочки. Поэтому чисто кинематическое определение величины и3°, без привлечения уравнений, связывающих напряжения и деформации, недостаточно корректно (эти уравнения, будут рассматриваться в 1.2). Для пол ноты изложения рассмотрим вопрос об определении и3° с учетом
формулы обобщенного закона Гука
Vis |
v'23 |
. 1 _ |
(1.22) |
633=--- ■р—<Тц--- =—022+-^“°33. |
|||
El |
£2 |
£з |
|
Принимая во внимание, что последнее слагаемое в (1.22) — ве
личина более высокого порядка малости, чем первые два |ly'J» и подставляя в (1.22) <тп и 022, с учетом обобщенного закона Iука
и (1.15) получаем
e33=-ûi [ei+y 0i2+а3(х1 +01*1з) ] “
—Аг^егН——022+ot3(/<2+02^23) j > |
(1-^3) |
||
где |
V23+V13V12 |
(1.24) |
|
V13+V23V21 |
|||
ai= ;--------- |
Û2=- |
1—V21V12 |
|
1—V12V21 |
|
|
|
a V12, v2i, V13, V23 — коэффициенты Пуассона ортотропногомате риала. Подставляя далее (1.11) в (1.23), приходим к >раине iu
Из0+Г(г)1о’+в2»!+!)3»,) = -о 1[ ei+Г 0|2+“з (*' +01х'з) ] -
— [ 82+-^-022+а3(х2+02’<2з) ] • |
(1'25) |
В рамках линейной по толщине аппроксимации перемещения ы3 (1.1) невозможно полностью удовлетворить уравнению (1.25). Поэтому ограничимся той его частью, которая не зависит от аз*
Учитывая (1.17), имеем
Ü3°+-4Ü30Ï= - (aiei+a2e2) —4 '0l2(1+fli) ~ -^*022(1+Д2).
2 |
2 |
(1.26) |
Принимая во внимание, что и3°«С 1, получаем следующее прибли женное решение (1.26):
v3°æ—(aiei+a2e2)——0i2(l+ai) — В22 {I+а2). |
(1.27) |
Заметим, что при ûi=a2=0 (1.27) переходит в формулу
Уз°«-^(012+е22), (1.28)
совпадающую с (1.19) при условии (1.17). Для материалов с сильной анизотропией (например, однонаправленно армированных волокнистых композитов) коэффициенты Пуассона vi3 и v23 (ось 1
совпадает с направлением волокон) весьма малы, и ai<Cl, а2<Д* Учитывая введенное выше допущение, что удлинения и квадраты углов поворота нормальных сечений — величины одного порядка малости, заключаем, что для таких материалов формулы (1.27) и (1.28) малоотличимы. Деформация е33 для них значительно меньше, чем еп и е22.
Способ получения выражений для деформаций (1.15), исполь
зованный в данном параграфе, допускает практическую проверку их применимости при решении конкретных нелинейных задач.
Помимо очевидных условий 6г-а3<С1, ег<С0г, Yi<Oi необходимо проверять выполнение соотношений (1.13), связывающих показа тели изменяемости деформированного состояния и геометрические
параметры поверхности с величинами углов поворота нормальных
сечений, а при использовании кинематической гипотезы Кирх гофа—Лява —также и условие (1.16).
1.2. НАПРЯЖЕНИЯ
Уравнения равновесия элементарного косоугольного параллеле пипеда, выделенного из деформированного тела, согласно форму лам (3.14) из [210], имеют вид
i <я^ |
|
‘>+^ 7 |
|
|
+Hj |
oa3 |
Si3-H3 |
осц |
SjjHj *Jîi- S„+HiHjH3Fi=0; |
|
|
don |
д |
(Я2Яз513) + 4 ~ |
(HzHiSn) +~т— № »А ) + |
да\ |
ОС2 |
ОССз |
+Я2-^5 з,+ Я ,^ -5 |
з2-Я 24 -5 п -Я , <эя2522+Я1Я2Я3^з=0, |
|||
c-«i |
да2 |
оаз |
да3 |
(1.29) |
|
|
|
|
|
где Fi, F3 — проекции объемной силы |
ка орты недеформирован- |
|||
ной системы |
координат вг, е3. Как и ранее, /=2 при i= 1 и /= 1 |
|||
при 1=2. |
|
|
|
|
Входящие в (1.29) неизвестные функции выражаются через обобщенные напряжения о*ц=о*н согласно формулам (3.8) из [210]:
«Sll=CT*ll(l+eil)+CT^2(y£i2-Û)3) +а*13 (— ^13+032 )
<Sl2=G*ll ( у 6l2+û)3) +0*12(1+^22) +0*13 [— 623—m )
(1.30)
•$13=0*11 ( у ^12“ «2) +0*12 [ у е23+0)1 ^ +0*13(1+^33)
•$22, *$зз, *$23, *$зь *$21, $32 получаются из 5ц, S12, S13 циклической пе рестановкой индексов (1, 2, 3).
Компоненты симметричного тензора обобщенных напряжений а*ы определяются по формулам (3.9) из [210]:
s ; |
Он |
2 ; 012 |
О13=' |
2 ; |
013 |
|
2 , |
1+Еа |
1-гЕа |
2 . |
1+£(Z; |
||
|
||||||
|
|
|
(1.31) |
компоненты о*22, о*зз, о*2з, о*зь о*2ь о*зг получаются циклической перестановкой индексов (1, 2, 3). Величины Si, 22, 23 и 2*ь 2*2, 2*з — площади граней параллелепипеда до и после дефор
мации. Согласно формуле (3.16) из [210],
2 1 —[(1+2е22) (1+2езз)—е2з2]/1;
2 ,
Ж = [(Н-2езз)(1+2ец)-ез,2Р ; 2 2
2 ; ■=[(1+2е„)(1+2е22)-е,22Р ,
а для относительных удлинений имеют место выражения (2.18) из [210]:
£'а,= (1+2е„),'.-1; £а!=(1+2Е22)'А-1; £<«= (1+2е3з)'А-1.
В последующих выкладках будем предполагать, что деформация езз пренебрежимо мала в сравнении с единицей, и использо вать формулы (1.15). Нетрудно проверить, что, в соответствии с. допущениями, на которых основаны эти формулы, величины е**2,. Buejjt 8]22 пренебрежимо малы по сравнению с единицей. В даль нейшем пренебрегается также квадратами деформаций попереч ных сдвигов бгз2. Тогда для относительных изменений площадей,
и удлинений имеют место формулы
|
|
—=Ц-ец +б22; |
(1.32). |
|
|
з |
|
|
£а,=8гг; |
£аз=0% |
(1.33)* |
Подстановка (1.32), |
(1.33) в (1.31) приводит к следующим |
выра |
|
жениям: |
|
а*3з=азз( 1+8ц +егг); |
|
о*и=оц( 1—е«+ел); |
(1.34) |
||
o*ij=Oij\ |
a*i3=ai3(l+8jj); a*3i=a3i(l+8jj). |
||
Заметим, что в рамках принятой точности нельзя пренебрегать изменением площадей 2ь 22 при деформации, поскольку теряются нелинейные члены того же порядка малости, что и учитываемые в окончательных формулах для обобщенных напряжений.
Для определения функций Ski необходимо знать также вели
чины еи, 012, 0гз, £зз» |
ю3. Согласно |
(1.5), с учетом условия |
||
kaZ3<1 имеем |
|
|
|
|
ец=ы+аг>а\ |
е\2=у\ +У2+а3(т1+тг); |
|||
n |
1 |
dv3° |
; |
03з= и30; |
eï3=6i+üi +a3 — |
|
|||
|
|
|
|
(1.35) |
2 ш = (-1 )'(0 ,-^ °+ а з4 -4 ^ ) J |
||||
|
x |
|
Aj |
dcLj / |
2о)з=У1 —Y2+a3(ti —t2) .
Врезультате подстановки (1.32), (1.35) в (1.30) получаем Sii=ou ( l+8j+—б /—~0i2+a3-/<.j^ +aij(Yj+a3tj) +OizVi0;
Si]=Oij(1+8;+O63y.j)+Gu (y*+a3Tf) +GizVj°\
Si3=Oiz ( 1+ej+—'0j2+ ü3°+ссзкj ^ H-aii ( 0H+-~ |
+ |
|
|
|
|
/ п |
, «3 л»а°\. |
|
(1.36) |
||
53i=a3i [l +Ei+eiH-i-eZ+aa^+Kj) ] +a3j(Yi+a3ti)+0зз°г°; |
|||||||||
S33=(j33 [ 1+е,+е2+^ 0,2+у 022+о3° |
+•'•*)] + |
|
|||||||
|
|
/ |
аз |
ôü3° |
\ |
/ л , «з |
<5^з° |
\ |
|
+03,{е,+— — |
)+а32(в2+ Л2 |
ôotî |
/• |
|
|||||
Формулы (1.36) |
позволяют перейти |
непосредственно к выводу из |
|||||||
(1.29) уравнений равновесия оболочки. |
|
|
|
||||||
В заключение данного параграфа остановимся на |
" |
||||||||
соотношений обобщенного закона Гука в геометрически |
|||||||||
ной теории оболочек. Согласно [210], в нелинейной теор |
- РУ" |
||||||||
гости уравнение состояния записывается между симметр |
Р * |
||||||||
тензором обобщенных напряжений а*ы и симметричным тен |
|||||||||
деформаций ем. Принимая во внимание условие езз^1»в |
У |
||||||||
линейно-упругого ортотропного материала имеем |
|
(1-37) |
|||||||
о*н=Вцги+Вцъ„; |
с*(2=В«е,-,-; a*,3=Bi3ei3. |
||||||||
При записи (1.37) использованы обозначения: |
|
|
|
||||||
Вц=- |
|
|
Е{ |
Вц—Bji— vijEi |
VjiEi |
|
|||
|
1—VfjVjf * |
Utj |
|
1—VfjY.O |
1 VfjVjf |
|
|||
|
B^e= C712* |
B\$=k'G\i\ |
B2G23, |
|
|
||||
где k' и k" —некоторые постоянные коэффициенты.
Выразим далее из (1.34) величины ом через а*л/, затем вос пользуемся соотношениями (1.37) и в соответствии с принятыми в данном параграфе допущениями ограничимся линейными отно
сительно деформаций членами. В результате получим
Gii=BuEii+BijEjy, üij=BesEij\ Oiz=BizEi3. |
(1.38) |
Резюмируем содержание данного параграфа. Конечный ре зультат — формулы (1.36), основанные на выражениях для де формаций (1.15), (1.35) и пренебрежении квадратами компонен тов тензора деформаций по сравнению с единицей. Последнее условие необходимо также для записи обобщенного закона Гука в форме (1.38).
1.3. УСИЛИЯ
Первые три условия равновесия оболочки можно получитьпод становкой (1.4), (1.36) в (1.29) и интегрированием последних по аз в пределах от —h/2 до /i/2 (h —толщина оболочки). При этом
в рассмотрение вводятся обобщенные усилия, определяемые по
аналогии с линейной теорией тонких оболочек [209]: |
|
|
А/2* |
/1/2 |
|
Т*ц—J* (1 +a3kj)Suda3\ |
T*ij= J (1 -\-a3kj)Sijda3\ |
|
—h/2 |
—h/2 |
|
h/2 |
|
|
T*is= J (1 +a3kj)Si3da3. |
(1.39) |
|
-h/2 |
|
|
Их выражения через усилия, соответствующие линейной теории
/1/2 |
/1/2 |
|
Ти= J (1+а3kj)onda3; |
Тц= J (1+а3^)аг^а3; |
|
-h/2 |
-h/2 |
|
h/2 |
|
|
Tiz= J {\+a3kj)ai3da3, |
(1.40) |
|
-h/2 |
|
|
имеют вид
Г«=7« ( 1 +e j+ ÿ e /- уЭ(2) +Tijyj+Tilvi<>-,
Гц=Тц(\ + г/) +Tuyi+ Ti3v/; |
(1.41) |
Г«=7\-з (и-е,+-ув/+г>з°) +Т„в(+Тф1.
В результате получаем следующие три условия равновесия обо лочки:
3 |
IАТ* 14- 0 ЧАТ* 1 I Mi |
Г |
ÔAi T* |
I |
dïT(AiT ii] +- ^ 7 (Л‘Г ll)+caj |
Т>) |
dï~ T »+ |
||
|
+AiAikir (3+AiAj(X\+P\) =0- |
(1.42) |
||
——(^г7*1з) 4—=:—{v4i7**23)—AiA2(kiT"u+£27*22)+ |
||||
да\ |
даг |
|
|
|
+Л1Л2(^ 3+Я*з)=0,
по форме совпадающие с соответствующими уравнениями линей ной теории [209]. В (1.42) введены обозначения:
А/2 |
Л-'2 |
Р\= j ll+a^kt+kj^Fida,; |
P'з= J [1+cc3(fei+*2)]^з^осз; |
-h/2 |
-h/2 |
|
(М3) |
X*,= №+-2fr) ( l+£i+Êj+y0i2) +
+ (Xj+-Xr )yj+ (Хг+-Хг) î>i°+ |
|
h |
(1.44) |
+“2 [№++X,-) (x,+Xj) + (Xj++jrr )Tj]; |
-Х*з=№+-Хэ-) ( l+ei+es+i-e^+ÿe^+fs0) +
+ №+-^r)0i+ №+-^2-)02+A[ (л:э++х3-) (и1+Х2) +
где
^г+=СГЗг L Лî |
—СГзг Ja^= _h_ ; |
|
10Сзв — |
2 |
|
2 |
|
|
■Хз+=сгзз 1ОСз--л ; |
^з- =азз J __л. |
(1.45) |
о |
|
|
При выполнении условий (1.13) слагаемые в (1.44), пропорцио нальные hf2, могут быть отброшены как величины порядка 0(fcfft) по сравнению с другими слагаемыми. Таким образом, в рамках принятой точности имеют место выражения
Х\=(Х,+-Хс) {l +e.+ej+Ÿv) +
(1.46)
+ №+-*г)у;+№+-*г)о<°;
Гз= (*>+-*!-) ( l+e,+e2+Ÿe,2+ ÿ e 22+ü3°) +
+ (^,+-Хг)01+ №+-х 2-)02.
Используя модель Кирхгофа—Лява, в результате подстановки (1.17) в (1.41) получаем следующие выражения для обобщенных
усилий:
Г«-Г« (l+ej+Te^-lfli*) +ТоУ;—T,'30i;
Г„=Tи(1+tj) + Tuy,- Та6у,
Т*а=Тн (l+ej+-j®/ +t,3°) +Tifii+Tijdi.