книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

(окружное армирование) относительная разность частот при рас­ чете по двум теориям для любых значений пг и я не превышает 3%, если LIR^.2, R/h^200; 6%, если L/Rs^.2, Rlh^50; 7%, если L/R^.5, R/h^200; 13%, если LIR^.5, Rlh^s50. Полученные оценки пределов применимости этой теории необходимо учитывать при решении на основе уравнений технической теории задач динамики ортотропных цилиндрических оболочек.

3.2. ПРИМЕНИМОСТЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ СТАТИЧЕСКИХ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

В решения задач о параметрических колебаниях, динамической устойчивости, задач деформирования оболочек при действии сжи­ мающих нагрузок в явном виде входят величины критических ста­ тических усилий, соответствующих фиксированной паре форм вол­ нообразования {яг, я}. Естественно, что точность их расчета в зна­ чительной степени определяет точность решения указанных задач. При этомнеобходимо иметь в виду, что во многих динамических задачах существенную роль играют пространственные гармоники, соответствующие значениям m и я гораздо большим, чем те, кото­ рые дают минимум критическим статическим нагрузкам. Это об­ стоятельство вызывает необходимость проверки применимости уп­

рощенных теорий к расчету критических статических нагрузок в достаточно широких диапазонах изменения m и я.

Рассмотрим решение задач статической устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки, нагруженной по торцам равномерно распределенными сжимающими усилиями Р0 и по боковой поверх­

ности — равномерно распределенным внешним давлением q0, на основе уравнений (3.3). Предполагается, что в безмоментном од­

нородном докритическом состоянии возникают усилия Тц°=—Ро,

Wmn и подставляя полученные соотношения в (3.8), после весьма громоздких преобразований приходим к уравнению

+/?Wp1.4[7-220(CiiC22-C122) + (Cee+W) (Г„»С2!-У С ,!) -

6*

- (С66+7-„»)Г22»С12]+ÆWpn2 [ Гм0(СпС22-С 12г)+ (С66+

+7п°) (VCii —ГцОС^)—(Сбб+Г22°)7'110С,2+27’22°С22-~1-J +

+«2Р„67'й°С22[ (Си+Г22° ) -2 - ^ ] +ат4{7'„°(СпС22—С,22) _

“ (Сбб+Гп0) [î’i,°Ci2+7'220(Cii—Ci2)]} —рп4Г22°С22 [ (С66+

Как следует из (3.25) и выражений (3.26), (3.27), на плоскости {Гц0, Т2г0} критические сочетания нагрузок осевого сжатия и внешнего давления образуют кривую второго порядка. Не оста­ навливаясь на исследовании этого уравнения, отметим, что при Т22°=0, например, оно имеет два действительных отрицательных корня, один из которых (порядка —С6в) определяет величину кри­

тического сжимающего усилия для сдвиговой формы потерн устой­ чивости.

Возможность возникновения сдвиговой формы потери устойчи­ вости при сжатии толстостенных анизотропных элементов конст­ рукций обсуждалась в литературе (например, [14]). Для рассмат­ риваемых тонких оболочек при реальных значениях модулясдвига композита она может проявиться только при определении крити­ ческих статических усилий для больших значений m и /г, когда толщина оболочки окажется сравнимой с длиной полуволны вы­ пучивания. В такой ситуации излагаемая далее методика расчета критических усилий становится неприменимой. Исключая указан­ ный случай из рассмотрения, введем допущение

которое следует проверять для конкретных задач устойчивости и динамики анизотропных оболочек при всех тех значениях т и п , которые участвуют в решении. Пренебрегая в (3.26) величинами Jji° и Т22° по сравнению с Сбб, получаем упрощенную формулу:

^л(Г.ЛГи°)=Я2ат6С66( rn»C11+ r22» ^ f-) +tfW|5„4

X [7’220(CiiC22—Cl22”"2Ci2C66)-\-Тц°С22Сгв] +/?‘‘CC,7i4Pn2 X

х [ГГ,,»(С,,С22- С,2*- 2С,2С66) + ТЛСпс66+2Г22«Си £)22 J1+

+Д2Р»6Г22°С22{ С + а т1[7'||0(с1'С22-С122-С12С66)-

-7'220С66(С„-С12)]-р„17У|С22 (сю-~ ^ ~ ) -«m2P,.2X X [7'22l)(C„C22-C122-2Ci2Ce6)-C22C66(rii0- r 220)],

Рассматривая случаи раздельного нагружения осевым сжатием и внешним давлением, из (3.25) и (3.29) получаем следующие

выражения для критических величии осевого усилия Р*тп и внеш­ него давления q*mn:

a aw2 определяется по формуле (3.14).

Если следовать технической теории, то для о)mn2 имеем фор­ мулу (3.12). Кроме того, в простейшем подходе к расчету крити­ ческих нагрузок, используемом в рамках технической теории.

Формулы (3.37), (3.39) получены в нескольких работах (напри­ мер, в [97, 135]). Если в (3.35), (3.36) положить п^>\, то

_ 1 / hm4 Ci\C22~Ci2Z С22

Эти формулы непосредственно следуют из упрощенных выражений

R/h=200 это соответствует я=5), ôP и 09, как следует из (3.31), (3.32), также имеют порядок^. Погрешность применения техни­

ческой теории совместно с формулами (3.34) в этом случае опре­ деляется двумя факторами: погрешностью расчета ©mft2 и погреш­ ностью, вносимой неучетом бР и ôq. Первая из них, как показано в 3.1, для оболочек средней длины невелика (порядка нескольких процентов). Такой же порядок, согласно приведенной выше оценке, имеет для я^5 и вторая погрешность. Следовательно, можно за­ ключить, что для оболочек средней длины при 5 формулы (3.34), (3.12) дают достаточную точность. Этот результат нахо­ дится в полном соответствии с приводимыми, например, в рабо­ тах [97, 345, 384] оценками пределов применимости технической теории (теории Доннела) к расчету цилиндрических оболочексред­ ней длины. Следует при этом иметь в виду, что критерий приме­ нимости технической теории «п^5» носит ориентировочный харак­ тер, и для ортотропных оболочек величина погрешности при фик­ сированных геометрических параметрах и значении п может за­ метно меняться в зависимости от отношения модулей материала

EiIE2.

При расчете критических нагрузок, соответствующих низким формам волнообразования вдоль окружности, погрешность опре­ деления ©тп2 по формуле (3.12) для оболочек средней длины мала.

В то же время погрешность от пренебрежения в (3.30) величинами Ôр, ôq имеет порядок 2. В этом случае имеет смысл применять

формулы (3.30), (3.12) совместно с (3.31) и упрощенным выра­ жением для

рия чи выражение (3.30) для Р*тп применимы к расчету критиче­ ских нагрузок осевого сжатия. Для оболочек, нагруженных внеш­ ним давлением, данный предельный случай интереса не представ­

ляет (исключая оболочки с ^ » 1 , которые рассматривать не

будем).

Заключая проведенный анализ, можно сделать вывод, что един­ ственным исключением, когда получаемые согласно технической теории выражения для o)mn2 с простейшими формулами для кри­ тических нагрузок (3.34) не дают достаточной точности расчета критических статических нагрузок, является случай низких окруж­ ных форм. Для него в данном параграфе получены специальные формулы, обеспечивающие необходимую точность расчета.

3.3. ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ НА ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Одним из недостатков всех теорий оболочек, основанных на кинематической модели Кирхгофа—Лява, является неучет дефор­ маций поперечныхсдвигов. Этот фактор может оказать существен­ ное влияние на точность расчета частот собственных колебаний, критических статических нагрузок и, как следствие, на точность решения широкого класса более сложных динамических задач. В данном параграфе представлено обстоятельное количественное исследование пределов применимости технической теории, осно­

ванной на модели Кирхгофа—Лява, к расчету собственных частот ортотропных цилиндрических оболочек.

Наибольшее распространение до настоящего времени при ре­ шении конкретных задач расчета пластин и оболочек с учетом де­ формаций поперечных сдвигов получили простейшие теории, осно­ ванные на гипотезе о линейном распределении тангенциальных пе­

ремещений по толшине (2.1) (кинематическая модель типа Тимо­ шенко) и теории, основанные на аппроксимации поперечных каса­ тельных напряжений по толщине квадратичными параболами (ки­ нематическая модель Амбарцумяна [20, 21]).

Методика расчета частот собственных колебаний ортотропнон цилиндрической оболочки конечной длины при граничных усло­ виях свободного опирання была изложена в работе [310]. Учиты­ вались деформации поперечных сдвигов на основе теории типа Ти­ мошенко и все инерционные члены. Рассматривались результаты расчетов частот, соответствующих преимущественно пзгибным, крутильным и продольным колебаниям для трехслойной оболочки с ортотропными слоями, значения упругих констант которых фик­ сированы и выглядят весьма искусственными. Было представлено сравнение с результатами расчетов по методикам, базирующимся на уравнениях теории упругости [390] и классической теории обо­ лочек.

Вопрос о влиянии величин модулей поперечных сдвигов на ди­ намические характеристики ортотропных цилиндрических оболо­ чек впервые был исследован в нашей работе [45], где проводились расчеты главных областей динамической неустойчивости* по клас­ сической теории и по уточненной теории С. А. Амбарцумяна [20]. Численные результаты показали, что относительная поправка, вно­ симая в значения собственных частот учетом деформаций попе­ речных сдвигов, при прочих фиксированных параметрах обратно

пропорциональна величинам модулей поперечных сдвигов. Уста­ новлено также, что эта поправка заметно увеличивается с ростом номера окружной гармоники.

Работы по расчету собственных колебаний с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения проводились затем как для изотроп­ ных [419, 423], так и для ортотропных слоистых [331, 405] ци­

линдрических оболочек. В работе [331], видимо, впервые в зару­ бежной литературе по рассматриваемой проблеме колебаний от­ мечалось, что для анизотропных конструкций, имеющих очень низ­ кие модули сдвига, важность учета сдвиговых деформаций воз­

растает.

Перейдем к изложению методики и результатов расчета частот собственных колебаний ортотропной цилиндрической оболочки, основываясь на уравнениях, полученных в 2.3 с учетом деформа­ ций поперечных сдвигов. Следуя допущениям технической теории,

* Нижние точки этих областей представляю собой удвоенные частоты соб­ ственных колебаний.

во втором уравнении равновесия (2.53) пренебрегаем членом T'

Подставляя (2.54), (2.37), (2.38) в (2.53), получаем следующие уравнения свободных колебаний оболочки (штрихи у неизвестных функций в дальнейших выкладках опускаем) :

Предполагая, что на торцах оболочки выполняются условия свободного опирания (3.4), разложим неизвестные функции и, v, w в ряды Фурье (3.5) и в аналогичном виде представим ух, yv:

У*{Хif,<)='2j2j[*"m(0 cosp7l(/+^mn (t) sin $пу] cosamx; 7=17=1

Подстановка (3.5), (3.44) в (3.43) приводит к двум идентичным

Система пяти обыкновенных дифференциальных уравнении (3.45) может быть приведена к матричной форме

где fmn={{Л»», К„,„, Г„,„, X*. У».}, а 0„„„ М - симметричные матрицы со следующими ненулевыми элементами.

£ят11=am2C„+Р»2С66; g,,,,,12= - «-»Р» (С.2+ЗД; ^ Вяа,*-ая*С»+Ь'Са; gmna=-£-P»;