книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

стых оболочек из анизотропных композитов, подверженных сжи­ мающим нагрузкам, опасными могут оказаться также поперечные касательные напряжения и напряжения, действующие на поверх­ ностях раздела слоев. Чтобы оценить опасность реализации соот­ ветствующих этим напряжениям форм разрушения, необходимо иметь прежде всего методики их расчета. В данном параграфе рассматривается простейший подход к расчету поперечных каса­ тельных и нормального напряжений в слоистых цилиндрических оболочках. На его основе может быть проведен анализ начального разрушения слоя, находящегося в объемном напряженном состоя­

нии, а также начального разрушения на межслоевых поверхностях для различных видов статических и динамических сжимающих на­

грузок. Задачи подобного типа до настоящего времени, по-види­

мому, не рассматривались.

При разработке методики расчета поперечных напряжений в слоистой оболочке попытаемся в максимальной степени использо­

вать изложенные в главе 5 методы расчета напряженно-деформи­ рованного состояния слоя. Это оказывается возможным, если за

основу принять метод, предложенный С. Г. Лехницким [179] для слоистых пластинок и развитый позднее С. А. Амбарцумяном [16] для слоистых пологих оболочек. Метод использовался сравнительно редко, причем лишь в простейших линейных статических задачах

поперечного изгиба. Одна из причин этого заключается, по-види­ мому, в том, что получаемые расчетные формулы для попереч­ ных напряжений не включают модули поперечных сдвигов и мо­ дуль поперечной деформации слоя. Данный недостаток методики требует тщательного обоснования ее применимости к конкретным классам слоистых конструкций и условиям нагружения. Для рас­ смотренных здесь задач соответствующему обоснованию будет уделено особое внимание.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку, состоящую из 2т+1 анизотропных слоев. Строение оболочки по толщине симметрично относительно срединной поверхности (m-f 1)-го слоя, которая, та­

ким образом, является также срединной поверхностью оболочки. Каждый слой обладает одной плоскостью упругой симметрии, па­ раллельной срединной поверхности. Нумерация слоев ведется от внутренней поверхности оболочки. Координатные линии х и у на­ правлены вдоль образующей и по окружности, координатная линия 2 направлена вдоль внешней нормали к срединной поверхности.

Предполагается, что к оболочке могут быть приложены тор­ цевые сжимающие усилия, внешнее давление, а также любые их комбинации (в динамическом либо статическом варианте). Обо­ лочка имеет произвольное поле начальных неосесимметричиых не­ совершенств формы.

Как было показано в главе 5, используя линеаризованные урав­ нения движения в задаче об осевом динамическом сжатии цилинд­ рической оболочки, можно получить не только качественно верное

описание процесса выпучивания, но и достаточно точные для практических целей количественные результаты расчета напря- женно-деформированного состояния оболочки вплоть до момента начального разрушения. То же самое относится и к задаче о дина­

мическом внешнем давлении в определенном ограниченном снизу диапазоне скоростей нагружения.

Принимая во внимание особенности рассматриваемых задач, следует прежде всего модифицировать методику [16], учитывая, что расчет поперечных напряжений в слое оболочки следует про­ водить исходя из линеаризованных уравнений теории упругости. Эти уравнения, записанные относительно «возмущений» напряже­ ний, перемещений и поверхностных сил, получаются из уравнений нелинейной теории упругости [210] в пренебрежении нелинейными членами, содержащими произведения «возмущений», и при усло­ вии, что геометрия осесимметричного деформированного состояния мало отличается от геометрии недеформированного состояния [67]. Последнее допущение, как показано в 5.1, вполне приемлемо вне зон осесимметричного краевого эффекта. Дополнительно предпо­ лагается, что развитие неосеоимгметрнчных деформаций происхо­ дит на фоне однородного осесимметричного напряженного состоя­

ния, характеризующегося осевым ах°(0 и кольцевым oy°(t) на­ пряжениями. Возможность принятия такого допущения вне зон

осесимметричного краевого эффекта обоснована в 5.3.

Таким образом, излагаемая далее расчетная методика отно­ сится к поперечным напряжениям, возникающим в оболочке вследствие развития неосесимметричных изгнбных деформаций. При этом из рассмотрения исключаются зоны осесимметричного краевого эффекта. Учет составляющей напряжения сг2, возникаю­ щей в процессе распространения волны нагрузки от ударяемого торца либо от места приложения нагрузки на боковой поверх­

ности, требует отдельного исследования.

В соответствии с перечисленными допущениями система урав­ нений движения t-го слоя оболочки записывается в виде

где Рх\ Р/, Рг1—массовые силы; w —прогиб оболочки. Интегри­

руя (6.12) по координате z, получаем следующие формулы для по­ перечных напряжений:

Функции ер,-, ф,-, Xi подлежат определению из граничных условий на боковых поверхностях оболочки и условий непрерывности на­

пряжений ТхЛ хуг\ ог*на поверхностях раздела слоев.

Дальнейший ход решения полностью идентичен описанному в [16]. В (6.13) и (6.14) подставляются выражения для напряжений

в плоскости ох*, оу*, хху* через деформации: 0xi=BiiiBi-]-Bi2iS2+Bi6iy-^z(Bnixi+B\2l'a2-\-2Bi6lx);

Oi=Bi2iEi+B22le2+-626îY+2(Bl2tK.l+B22î^2+2B26îT) ; (6.16) Хху*=#16*6l+#26*62+#66*Y+2(Æie’Kl+#26*^2+2#б6,'0,

Здесь w° —начальный прогиб оболочки.

После интегрирования в (6.13)и (6.14) и определения функций

чрг, ф* из условий непрерывности %хг>xyz на поверхностях раздела слоев получаем следующие формулы^ для поперечных касатель­

ных напряжений. Для хХг* на нижней половине пакета (t=l,...

...,m+l) тЛ=-г[С„{В^)и+Си(В»')о+Ьг(В^)(«>-^П +

X (ги-ш0)] - -Ц-£> (Рi*f)(“’- “’0) +х~

X (а>—Ш°) —/lo2[£l(^j/i2m+2_f)«+£2(^j/t27n+2-i)ü^ +S(Pjft2m+2-<) (au-®0)] +-^-г£(Рй2»+2-.) (^-даО) +

В формулах (6.17)—(6.22) By? —координаты матрицы жесткости i-ro слоя; h0—полутолщина пакета; hi —расстояние от средин­ ной поверхности до внешней поверхности i-ro слоя; Х~, У-, Z- и Х+, у+ Z+ —«возмущения» компонент поверхностных нагрузок, действующих на внутреннюю и внешнюю поверхности оболочки соответственно. Дифференциальные операторы £ц, £12, £i3» £22*

£23, £ь £2 и величины Ry?, Pjh* приведены в [21]; операторы 5, £ и величина Ну? определены в [16].

Формулы для нижней (6.17), (6.19), (6.21) и верхней (6.18), (6.20), (6.22) половин пакета дают одинаковые значения напря­ жений на срединной поверхности (2=0), если удовлетворяются

следующие три условия:

£nlCSk)u+Cl2(Cjk)v+Cu(Csk) (ш-ш°)+Х+-Х-=0; £,2 (ад и+£22 (Cjh) v+c2з (cjk) (® - »°) + у+-

W—

C.lb(C)k)u+Ca (Cjh)v+C2i -к ; +C(Djk) (w —w°) —

=2[hm+iP!"<+'+(hm-bm+l)P:'"+ ■■■+ Ch ~h) />.-'],

представляющие собой линеаризованные уравнения движения сре­ динной поверхности оболочки; Cjh и — матрицы мембранной и изгибной жесткостей многослойного пакета.

Таким образом, расчет поперечных напряжений распадается на два этапа: решение уравнений движения (6.23), в результате которого определяются перемещения срединной поверхности и, и.

w, и вычисление т.-«г', туг\ огi в i-м слое по формулам (6.17), (6.19), (6.21) или (6.18), (6.20), (6.22). Напряжения на поверхности раз­

дела i-го и t-fl-ro слоев рассчитываются по тем же формулам при z=hi.

6.5. ПОПЕРЕЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧКАХ

ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ СЖИМАЮЩИХ НАГРУЗКАХ

Рассмотрим нагружение оболочки равномерно распределенными по каждому из торцов осевыми сжимающими усилиями P{t) и рав­

номерно распределенным по внешней боковой поверхности давле­ нием q(t). В предположении, что эти нагрузки создают безмоментное однородное напряженное состояние, соответствующие напря­

жения могут быть записаны в виде 0х°= ~Щр‘*°и0=~ ^2h^'

«Возмущения» поверхностных сил X+=X-=Y+=Y-=Z+=Z~=0. Учитывая, что единственными массовыми силами являются ра­

диальные силы инерции /У= ~P'~dF.d2w и принимая, что плотности всех слоев одинаковы (рг‘=р), получаем

2[/im+1P2m+1 + (hm—/2,,1-н)Р>т+ ... + (/n-/ia)/V] = d2w

где \i=ph —масса единицы поверхности оболочки, h=2fi0. Процедура решения линеаризованных уравнений движения обо­

в виде двойных рядов Фурье. Поперечные напряжения, следова-

Рис. 6.5. Эпюры поперечных напряжений для оболочки с окружным арми­ рованием Нагружение динамическим внешним давлением при Vq=2, R/h=50 (------ ); Vg—0,2, R/h=200 (------ )

тельно, также записываются в виде рядов Фурье, полученных почленным дифференцированием рядов для перемещений согласно формулам (6.17)—(6.22).

Рассмотрим результаты расчета поперечных напряжений* в обо­ лочках с однонаправленно-армированными углепластиковыми сло­ ями, имеющими характеристики (6.9), при линейно возрастающих во времени нагрузках осевого сжатия или внешнего давления. На­ чальные несовершенства оболочки задаются посредством (6.10), (6.11) соответственно каждому из этих видов нагружения. На рис. 6.4 и 6.5 приведены эпюры поперечных напряжений по тол-

* Напряжения на рис. 6.4—6.7 даны в единицах МПа.

щине при действии осевого сжатия на оболочку, армированную вдоль образующей, и внешнего давления —на оболочку, армиро­ ванную в окружном направлении. Эпюры поперечных напряжений по толщине слоистых оболочек для соответствующих видов нагру­ жения приведены на рис. 6.6 и 6.7. Расположение слоев симмет­ рично относительно поверхности z=0. Суммарная толщина слоев h=R/100 при осевом сжатии и h=R/50 —при внешнем давлении. Каждая из кривых на рис. 6.4—6.7 относится к моменту т=т* начального разрушения слоя для конкретной оболочки и конкрет­ ного варианта нагружения и соответствует той точке {.\\ //} по­ верхности оболочки, для которой рассматриваемое поперечное

напряжение максимально. Полученные эпюры позволяют, таким об­ разом, найти максимальные значения поперечных напряжений,, возникающих в оболочке к моменту первого разрушения слоя.

Анализируя рис. 6.4—6.7, обратим внимание на совпадение значений поперечных напряжений «сверху» и «снизу» на средин­

ной поверхности и на поверхностях контакта слоев, достигаемое вследствие использования аналитической формы решения системы

уравнений движения (6.23) в рядах. При любых значениях верх­ них пределов в рядах Фурье для прогиба это решение в принципеможет быть получено с любой точностью путем задания соответ­ ствующей точности численного интегрирования дифференциаль­ ных уравнений относительно Wmn{t). В тех случаях, когда урав­ нения движения оболочки (6.23) не поддаются аналитическому решению, разность значений «сверху» и «снизу» поперечных на­ пряжений на срединной поверхности может служить наглядным критерием оценки точности полученного приближенного решения.

Изображенные на рис. 6.4 и 6.5 эпюры поперечных касательных напряжений имеют вид квадратичных парабол; максимум во всех случаях достигается на срединной поверхности. Отметим, что эпюра поперечного нормального напряжения качественно меня­ ется в зависимости от вида нагружения: при осевом 'сжатии аг имеет два экстремума —положительный и отрицательный, тогда как при внешнем давлении ог знакопостоянно с максимумом на срединной поверхности. Эпюры поперечных напряжений по тол­ щине слоистых оболочек (рис. 6.6, 6.7) образуются из весьма по­ логих участков парабол в пределах каждого слоя с сильными из­ ломами на границах слоев. Из сравнения рис. 6.6 и 6.7 видно, что- в случае слоистых оболочек для рассматриваемых двух видов на­ гружения качественно различаются не только эпюры ог, но и тжг

Таблица 6.10»

ПОПЕРЕЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯВМОМЕНТНАЧАЛЬНОГОРАЗРУШЕНИЯСЛОЯТ* ПРИОСЕВОМДИНАМИЧЕСКОМСЖАТИИ

Таблица 6.11

и туг. Отметим также, что максимумы поперечных напряжений во всех случаях достигаются на поверхностях раздела слоев либо на срединной поверхности оболочки.

Табл. 6.10 и 6.11 отражают расчеты максимальных (в момент т=т*) значений поперечных касательных и нормального напряже­ ний в однородных оболочках для вариантов, рассмотренных в табл. 6.3 и 6.7. Указаны координаты ххг, хуг, л*г на образующей,

соответствующие максимумам напряжений т*г. ту2, <т2. Максимумы напряжений тХ2и gz на окружности для всех вариантов, рассмот­

ренных в табл. 6.10 и 6.11, достигаются в сечении y=szR, а макси­

Туг во всех случаях имеют максимум на срединной поверхности

оболочки.

Величины поперечных напряжений при т=т* зависят от соот­ ношений между геометрическими параметрами h и R, от скоро­ стей нагружения и поля начальных несовершенств. Для объясне­ ния эффектов, которые выявили полученные численные резуль­ таты, необходимо ввести в рассмотрение характерные длины полу­ волн выпучивания оболочки в продольном X*x=Llm*h и окружном X*v=nR/n*h направлениях. Характерные номера осевой /п* и ок­ ружной п* гармоник можно задавать исходя из вида распределе­ ний по m и п коэффициентов Фурье дополнительного прогиба (см. рис. 5.17) при т=т*. В дальнейшем под /и* и п* будут пониматься номера тех гармоник, которым соответствуют максимумы в ука­ занных распределениях для каждого расчетного варианта. Вели­

нагружения осевым сжатием и вариантов нагружения внешним

давлением со скоростями Vq=0,2 и 2,0 поперечные напряжения увеличиваются с ростом толщины оболочки. Это объясняется

уменьшением Х*х и Х*и. При нагружении внешним давлением со