книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

В подавляющем большинстве решений нелинейных задач тео­ рии оболочек используются упрощенные выражения для -a*î, т**:

соответствующие модели Кирхгофа—Лява. Возможность пренеб­ режения нелинейными членами в указанных формулах можно

обосновать, введя ограничение снизу на показатели изменяемости деформированного состояния оболочки. Так, при условиях

точность формул (2.13), (2.14) понижается с увеличением углов поворота и с уменьшением показателей изменяемости %ц, %ц. От­ метим, что ограничения типа (2.15) обычно вводятся в техниче­

ской теории (теории пологих оболочек).

Уравнения обобщенного закона Гука в пренебрежении квадра­ тами компонент тензора деформации ец и поперечным обжатием для упругой ортотропной оболочки записываются в форме

Уравнения равновесия оболочки в обобщенных усилиях и мо­ ментах имеют вид (1.42), (1.57):

Величины Cki, Dm —мембранные и изгибные жесткости ортотропного однородного либо многослойного (с симметричной укладкой слоев по толщине) пакета, вычисляемые по формулам [21, 24,

180].

Выражения (2.22), (2.23) можно упростить, следуя подходу, используемому в технической теории (теории пологих оболочек). Пренебрегая в (2.22) мембранными деформациями и используя

для х%-, т*г формулы (2.13), имеем

Кроме того, основываясь на малости величин yj. Ui°0j по сравне­ нию с единицей и учитывая введенные выше ограничения на по­ казатели изменяемости деформированного состояния оболочки,

можно существенно упростить выражение для Т**а (2.23), отбро­ сив в нем нелинейные слагаемые. Таким образом,

Входящие в уравнения (2.17)—(2.19) поверхностные нагрузки Х*и Х*з, массовые силы Р**, Р*3, моменты поверхностных и массо­

F*i= J {(Fj-Fzv?)[\+az{ki+kj)]+atFj{%i+Kj)}abdaz.

В результате подстановки формул (2.6)—(2.8), (2.13), (2.20), (2.21), (2.24), (2.25), (2,26)—(2.30) в систему (2.17)—(2.19) по­ следняя может быть записана относительно пяти неизвестных

ФУНКЦИЙUi°, W3°, Vf0.

При использовании кинематической модели Кирхгофа—Лява имеем три уравнения равновесия (2.17), (2.18). Выражения для обобщенных усилий в приближении технической теории оболочек записываются в виде (1.78), (1.83):

Гц=с„ (si+Y0!2) +Cij(e,+Y.0j2 ) ;

Поверхностные нагрузки X*u Х*з, согласно (1.48), при учете

малости ей уи 9г2 по сравнению с единицей, задаются форму­ лами

и (2.27). Для массовых сил Р*и Р*з сохраняются выражения (2.28). Для моментов поверхностных сил при условиях (1.13), которые уже использовались ранее, вместо (2.29) можно приме­

нять упрощенную формулу

ф%=-| №++*г)-

Моменты массовых сил Р\-, согласно (1.65), в рассматриваемом приближении имеют вид

/1/2

F*i= J {(Fi+F&j) [1+а3(ki+kj)]+a3Fj(xf+%,•)}azdaz.

Путем последовательных подстановок (2.31), (2.32), (2.27), (2.28), (2.33)—(2.35), (2.6), (2.14) в систему (2.17), (2.18) по­

следняя может быть записана относительно трех неизвестных функций иД 1/3°.

2.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОРТОТРОПНЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Рассмотрим частный случай —замкнутую круговую ортотропную цилиндрическую оболочку радиуса R. Введем координаты: а\=х —вдоль образующей, а2=у —по окружности, а3=z —по нормали к срединной поверхности (координата г положительна в направлении внешней нормали). При этом Ai=A2=\, &i=0,

В дальнейшем будем использовать обозначения: Ui°=u,

U2°=V, Ü3°=W, Vi°=yx, u2°=yy.

Уравнения равновесия оболочки в рамках нелинейной техни­ ческой теории с учетом деформаций поперечных сдвигов, полу­

Обобщенные усилия и моменты определяются по формулам (2.20),

При рассмотрении оболочки, имеющей начальный прогиб ш°,

Исходя из приведенных уравнений и формул нетрудно вывести уравнения равновесия оболочки в перемещениях. Подставляя по­

2.3. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Вывод линеаризованных уравнений устойчивости тонкостенных ортотропных оболочек изложен в 1.8. Для частного случая — круговой цилиндрической оболочки, согласно (1.98), (1.100),имеем

следующие уравнения:

Здесь Т'ц, Т'ц, T'i3 —«дополнительные» усилия, возникающие в оболочке при отклонении от докритического равновесного состоя­ ния. В рамках технической теории они имеют вид (1.102):

Величины X'i, Х'3 представляют собой «дополнительные» по­ верхностные силы, воздействующие на оболочку только при откло­ нении ее от докритического равновесного состояния. В соответ­ ствии с (1.99) для цилиндрической оболочки они записываются

вформе

Х\=-^~ (r„V2) + - |- (TfflVs) +?1(e'l+e'a)+bd‘W,2+‘M'*)> дх оу

+бс(^10,1+^20/2) • Моменты поверхностных сил Ф'г выражаются в виде (1.101).

Входящие в (2.54), (2.55) величины е'*, у'и 0'г-, у/и т'г в рамках технической теории определяются по формулам (2.37), (2.38).

Если предположить, что единственными массовыми силами являются силы инерции, то для цилиндрической

ветствии с (1.104), имеем

где p —плотность материала оболочки.

При использовании модели Кирхгофа—Лява, исключая Т\з и Т\з из последних двух уравнений системы (2.53), получаем

Взаключение рассмотрим выражения для деформаций, усилий

имоментов более общие, чем используемые в технической теории оболочек. Из формул (1.2) и (1.3) в линейном случае вытекает

(штрихи в дальнейшем опускаем):

Разлагая эти выражения в ряды по степеням а3и сохраняя все члены до первой степени включительно, для цилиндрической обо­

лочки находим