книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

Подставляя далее (1.17) в (1.46), находим:

**,•=(Xi+-Xi-) { ) + № +-^-)vj- №+-*з-)е,;

Х*3= (Хз+-Х3-) ( l+ei+ e2+-^9i2+Y022+t-30) +

•Функция i>3°, входящая в T*i3 и X \ определяется согласно (1.27).

Возвращаясь к соотношениям упругости (1.41) и (1.47), сле­ дует заметить, что в них опущены слагаемые, связанные с подын­ тегральными функциями, пропорциональными аз2. Это упрощение отвечает точности, примятой в рассматриваемом варианте теории, при соблюдении условий (1.13). При необходимости удовлетворе­ ния определенным формальным требованиям (в частности, тео­ реме взаимности и шестому уравнению равновесия) их можно модифицировать. Простейший вариант такой модификации со­ стоит, видимо, в получении нелинейного аналога распространен­ ных в линейной теории оболочек формул Новожилова—Бала- буха [209], рассмотренного в работе [260]. Не вызывает принци­ пиальных затруднений (несмотря на очевидную громоздкость) обобщение на нелинейный случай известных соотношений упруго­ сти, полученных А. И. Лурье [181] или А. Л. Гольденвейзером [123]. При этом следует иметь в виду, что соответствующих уточ­ нений потребуют также и приведенные выше формулы для дефор­ маций. Несогласованные уточнения отдельных элементов теории, остающиеся в рамках исходной гипотезы о линейном распределе­ нии перемещений по толщине (1.1), не гарантируют улучшения конечного результата.

Проблема выбора соотношений упругости в линейной теории оболочек детально обсуждалась в монографиях [94, 123, 209] и

вмногочисленных других работах. Очевидно, сформулированные

В.В. Новожиловым [209] и А. Л. Гольденвейзером [123] требо­

вания, состоящие в том, чтобы соотношения упругости были 1) ли­ шены формальных противоречий и 2) приводили к наиболее про­ стым (в рамках принятой точности) выкладкам, остаются в силе и в нелинейной теории оболочек, для которой второе требование приобретает особое практическое значение.

1.4. МОМЕНТЫ

Перейдем к выводу уравнений равновесия относительно мо­ ментов. В нелинейной теории оболочек он является наиболее

сложным. Известно несколько способов получения этих уравне­ ний [135, 148, 196]. Здесь для последовательности будем исходить

из соответствующих уравнений равновесия нелинейной теории уп­ ругости, используя некоторые идеи вывода, примененного в [196].

Векторное уравнение, выражающее условие равенства нулю главного момента всех сил, действующих на элементарный косо­ угольный параллелепипед, получим, обобщая вывод уравнения (8.1) главы II из монографии [210] иа случай криволинейной си­ стемы координат:

где S„., Sп3 — компоненты вектора напряжения на гранях, пер­

пендикулярных до деформации координатным линиям а,-, аз; е*г, е*3 — единичные векторы деформированной (косоугольной) системы координат. Уравнение (1.49) предполагает, в соответствии с постановкой классической теории упругости, отсутствие внутрен­ них моментов, массовых и распределенных поверхностных пар*.

Обозначим через R(j4) и R*(4) радиус-векторы произвольной точки А оболочки до и после деформации. Введем также соответ­ ствующие радиус-векторы г(В) и г*(В) точки В срединной по­ верхности, лежащей на одной координатной линии а3 с точкой А. Вследствие условия малости деформации езз изменением длины отрезка АВ при деформации пренебрегаем. Учитывая также, что,

согласно исходной гипотезе (1.1), нормаль к срединной поверх­ ности при деформации не искривляется, можем записать

Используя формулы

приводим (1.50) к виду

+//*,#*2[e*3XSn3]=0. (1.54)

Если в (1.54) положим H*i&A*iy то оно совпадает с уравнением (5.3) из [196].

Векторное уравнение, выражающее условие равенства нулю главного вектора сил, действующих на элементарный параллеле­ пипед, получаем из (3.4) [210] в виде

При H*i^A*i (1.55) совпадаете (5.2) из [196].

Дальнейшие преобразования аналогичны проведенным в [196]. Уравнение (1.55) умножается векторно на а3е*3 и интегрируется по а3 в пределах —/2, Л/2. Затем используется условие (1.54).

Расписав (1.56) покомпонентно, можно получить три уравнения

равновесия относительно изгибающих и крутящих моментов в оболочке.

В последующих выкладках используются формулы (1.51) и (1.15), выражения для единичных векторов е*,-, е*3 в деформиро­ ванной косоугольной системе координат (2.9) из [210] и формулы дифференцирования единичных векторов е*, е3 в недеформированной ортогональной системе координат (1.23) из [210]. Отметим также равенство

SniH*j=S*niHj,

выполняющееся при введенном ранее условии пренебрежимости вй/2 по сравнению с 1. Во всех выкладках сохраняются только квадратичные относительно неизвестных функций члены и учиты­ вается, что е,-, уг имеют более высокий порядок малости, чем Of..

Приведем окончательные результаты. В проекциях на оси недеформироваиной системы координат четвертое и пятое уравне­ ния равновесия записываются в виде

По форме они не отличаются от соответствующих уравнений ли­ нейной теории оболочек [209]. В (1.57) использованы обозна­ чения:

=+е;-+и3о-^°0;) +Af«(Yf-Oj°0f) +JVilr/+JVljscj;

+{Tj3+kjMj3) (yi-Vi%) + {TЦ—Тji+kiMij-kjMji)§}+

+{Miz+kiNiz) (xi+v.j) + (Mj3+£jyVj3)Tj—

Xi+ и Xi~ определены согласно (1.45). з*

л*«=Мц(1 +Е;+и3Ч8/) +Af«(Yf+e^ej) +NuXi+Nifi4\ T*U= (Tit+klMa) (l+et+es+vf+^W+ei*) +

+(Tx+kjMji) (Yj+0i0j) + (7\j—Tji+kiMij—ftjMji)0j+

+(M(3+M/i3) (xt+xs) + (Mji+kjN^ii- (Ми-Мц+kiNij-kiNji) X

+ №+-^r)(Yi+,eiej)+ -y[№ + -x-)(«<+î<j) + № + -^r)ti] } .

Шестое уравнение равновесия в проекциях на оси недеформированной системы координат имеет вид

[AiWijvP-MnvP+N&ivP-NiftjV?)]-

д

- -^т" [A}(MiiVj0-MijUi0+NijTjVj0-NiiXiVi0)] +

+AtAJ[kiM,ij-kJMmji+ (Tij-Tji+kiMij-kjMji) (l+8f+8i) + (1.67)

+ (Ti3+kiM{3)vf—(^з+^з)Ог°+ (Mij-Ma+kiNij-kjNji) X X (xi+Xj) —(Mi3+ kiNiz)üi°Ti+(Mj3+kjNj3) г/Д;] + +ЛИ;(^з+Ф%)=°-

Здесь

/1/2

^*з= J a3[1+a3 (*,+*2)] (Fsvi°-FlV2°)da3;

ф*»=4 { №++*2-)а10- (Xx++X rW +~ [№+-Xr)T,ü,«-

Как видно, уравнение (1.67) является весьма сложным, и вопрос о том, с какой точностью удовлетворяют ему приведенные выше выражения для деформаций, усилий и моментов, требует специ­

ального исследования.

Итак, получены формулы, связывающие деформации с переме­ щениями, напряжения —с деформациями, а также соотношения упругости и уравнения равновесия, отнесенные к исходной недеформированной ортогональной системе координат. Уравнения не­

разрывности деформаций нелинейной теории тонких оболочек и постановка краевых условий подробно рассмотрены в моногра­ фиях [114, 135, 196] и во многих других работах, поэтому здесь

на этих вопросах останавливаться не будем.

Дальнейшей нашей целью является переход к уравнениям рав­ новесия оболочки, записанным относительно исходных неизвест­

ных функций Ui°, Мз°, Vi°.

1.5.ВЫРАЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ УСИЛИЙ

ИМОМЕНТОВ ЧЕРЕЗ ДЕФОРМАЦИИ

Прежде всего подставим напряжения (1.38) и деформации (1.15) в формулы для усилий (1.40). При интегрировании, как

и ранее при выводе обобщенных усилий (1.41), не учитываем сла­ гаемые, связанные с подынтегральными функциями, пропорцио­

нальными аз2. В результате получаем

Ти=Си (eiH-^-е,-2) +С0 ( ej+^-e/ ) ;

Подстановка (1.38), (1.15) в формулы для моментов приводит к следующим выражениям:

Nij=Nii=Ds6{yi+yj+Q$j); Ni3=£i3(6i+üi0) •

Здесь x*i=xi+0ixf3; T*i=Ti+0jXi3; Xf, xu х*з выражаются согласно (1.7). Величины См, Dhi — мембранные и изгибные жесткости

ортотроггной оболочки. Для слоистых пакетов, рассматриваемых в рамках кинематической модели прямой нормали, они рассчиты­

ваются по известным формулам [21]. В случае слоистого пакета с несимметричной укладкой слоев по толщине формулы (1.69),

(1.70) могут быть без труда обобщены по аналогии с линейной теорией оболочек [21].

Подставим далее (1.69), (1.70) в формулы для обобщенных усилий и моментов. В выражениях для 7*«, Т*ц, как и ранее, ограничимся первыми степенями ег-, у*» квадратами и взаимными произведениями 0г-, о»0. В результате получаем

Гц=Си ( eiН— 0i2 } +Сц ( Sj+~ef ) +С1311(о(о{о+0();

r« = c,6(Y1+vj+0*ei)+c18Ujo(o<o+ei). (i.7i)

В выражении для T*i3 линейные относительно е*, Y* и квадратич­ ные относительно 6г-, и*0 члены отсутствуют. Поэтому необходимо удержать слагаемые более высокого порядка малости: содержа­

щие произведения типа е^бг, Y*0j и третьи степени величин 6*, иД

Врезультате приходим к формуле 7',i3=Ci3(u,»+0<)+Cii0i(ei+-|-0i2) +Clj0i(ej+ -y0/) +

Подставляя далее (1.70) в (1.58) и ограничиваясь линейными

относительно ег*, y»и квадратичными относительно 0*, Vi° членами, находим:

Mtij=DS6[^t+T*j+*,(v<+YJ+e<0j)]- (1J3)

Путем подстановки (1.69), (1.70) в (1.59), опуская те слагаемые, которые имеют порядок 0(ki2h2) по сравнению с другими, находим

+Di3{ki+kj) (Qi+ Vi°) (Xi+Xj)+DjZ{ki+kj) (0j+üj°)Tj— —kjVi0 (DjjKj+DijXi) Л-kjD^Vp(ti+Tj) + (ki~kj)DçsQj(Тг +Tj).

В слагаемых, пропорциональных Du, Dijt D66, удержаны квадра­

тичные относительно 0j, Vi° члены, что соответствует точности, принятой при выводе формул (1.73).

Формулы для обобщенных моментов (1.73) можно несколько упростить, приняв линейными выражения для у*и tV

изменяемости деформированного состояния оболочки удовлетворяют условиям X" Второе — аналогично допущению, ис­

пользуемому в линейной теории пологих оболочек (технической теории). Каждое из них, таким образом, может существенно ис­ казить результаты в одних и тех же расчетных случаях*, которые

нельзя рассматривать с позиций указанной теории. Следует под­ черкнуть, что ранее (в 1.3) уже была принята форма соотношений упругости, соответствующая технической теории. Кроме того,одно

из основных введенных предположений — о малости удлинений и сдвигов по сравнению с углами поворота нормальных сечений — также теряет убедительность вне рамок этой теории. Введение указанных двух упрощений вследствие сказанного представляется допустимым. Итак, выражения для обобщенных моментов запи­

шем в виде:

В соответствии с этим следует упростить и формулу (1.74), опу­ стив нелинейные слагаемые. В результате получаем

Рассмотрим далее выражения для обобщенных усилий и момен­ тов при использовании кинематической модели Кирхгофа—Лява.

Подставляя (1.17) в (1.71), находим

Т*ц=Тц =Сц (ei+-2“0i2} +Cij ( ej+-—0j2) ;

При выводе выражения (1.79) учтено, что ег<1, 0;2<1, 1»з°<1.

* Типичный пример —устойчивость длинной цилиндрической оболочки при продольном сжатии.

В случае изотропного материала |В»=Г>12+2Вбб=£= у-_^2 / при F*j=О, Ф*3=0 получаем известную формулу [94]:

X [{Dio+ZDe^Ki+DjjKjl+CaQi'^ е,Ч—^бг2 ) +Cij0t- ( еД——Qj2 J +

Подведем итоги. При использовании кинематической модели, учитывающей деформации поперечных сдвигов, имеем пять урав­ нений равновесия (1.42), (1.57). Обобщенные усилия и моменты выражаются по формулам (1.71), (1.72), (1.76), (1.77), а входя­ щие в эти формулы деформации определены согласно (1.6) и (1.75). Компоненты поверхностных нагрузок задаются выраже­ ниями (1.46), массовых сил — (1.43), моментов массовых и по­ верхностных сил — (1.60), (1.61). Используя перечисленные фор­ мулы, систему уравнений равновесия можем записать относи­

тельно пяти неизвестных функций иД «з°, иД

В случае применения кинематической модели Кирхгофа—Лява имеем три уравнения равновесия (1.42). Обобщенные усилия вы­ ражаются согласно (1.78), (1.83). Деформации определяются по формулам (1.6), (1.80). Для компонент поверхностных нагрузок и массовых сил имеют место выражения (1.48), (1.43), для мо­ ментов массовых и поверхностных сил — (1.65), (1.66). Путем последовательных подстановок система уравнений равновесия мо­ жет быть записана относительно трех неизвестных функций

мД Мз°.

1.6. УРАВНЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК В СМЕШАННОЙ ФОРМЕ

Нелинейная теория пологих изотропных оболочек*, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, изложена в [196]. Вводятся сле­ дующие дополнительные упрощения. Во-первых, в формуле для

* В дальнейшем будем пользоваться термином «техническая теория обо­ лочек».