книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

ГЛАВА 5

Р а с ч е т д е ф о р м и р о в а н и я

о р т о т р о п н ы х

ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к п р и д и н а м и ч е с к и х с ж и м а ю щ и х н а г р у з к а х

В геометрически нелинейной постановке рассматриваются задачи дефор­ мирования цилиндрических оболочек из ортотропных материалов при нагру­ жении равномерно распределенными по торцам продольными динамическими сжимающими усилиями и равномерно распределенным по боковой поверхности динамическим внешним давлением. Сиспользованием метода конечных разнос­ тей решена осесимметричная задача для совершенной и несовершенной орто­ тропных оболочек при семи вариантах условий закрепления торцов, включая вариант, имитирующий условия проведения эксперимента на продольный удар жесткой массой. Для решения неосесимметричных задач предложены две рас­ четные методики. В первой учитывается процесс распространения возмущений от ударяемых торцов и нелинейный осесимметричный краевой эффект; исполь­ зуется метод Бубнова—Галеркина по окружной координате и метод конечных разностей по продольной координате. Во второй продольная инерция оболочки не учитывается. Решение задачи неосесимметричного динамического выпучива­ ния построено на основе нескольких вариантов многочленных аппроксимаций прогиба. Проводится сравнение результатов, полученных по указанным двум методикам. Установлен ряд новых эффектов, связанных с нелинейным взаимо­ действием процессов осесимметричного и неосесимметричного деформирования оболочки. Обсуждаются вопросы о выборе критерия динамической неустойчи­ вости несовершенных оболочек. Решения геометрически нелинейных задач, по­ лученные в настоящей главе, основаны на допущении о линейно-упругом пове­ дении материала оболочки. Одной из основных целей, преследуемых при ана­ лизе полученных в главе результатов, является выяснение пригодности модели линейно-упругого материала к расчету цилиндрических оболочек на динамичес­ кие сжимающие нагрузки.

Проблема динамической устойчивости тонкостенных цилиндри­ ческих оболочек уже с конца 50-х гг. вызывает большой интерес. Связанные с нею задачи и полученные результаты обсуждались

в монографиях А. С. Вольмира [97, 100], Грыбожа [339], в докла­ дах и обзорных статьях В. В. Болотина [66, 68], Г. 10. Джане­ лидзе [152], А. С. Вольмира [96, 98, 99], Будянского [295, 296, 350], Хоффа [346], В. И. Феодосьева [251], В. Л. Агамирова [3]. Работы по проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подверженных продольному торцевому удару, детально проанализированы в обзорной статье [47]. Кроме того, практи­ чески полный список публикаций по этой проблеме (до 1977 г.) приведен в монографии [339]. В силу сказанного ограничимся кратким рассмотрением ключевых исследований и принципиальных результатов, имеющих непосредственное отношение к теме главы и оказавших влияние на работы автора.

В первую очередь необходимо указать на работу М. А. Лав­ рентьева, А. Ю. Ишлинского [178], в которой на примере задачи о продольном динамическом изгибе стержня впервые было пока­ зано, что в процессе динамического выпучивания доминируют зна­ чительно более высокие гармоники, чем в соответствующей ста­ тической задаче. Этот принципиальный результат сохраняет силу для любых задач динамического выпучивания тонкостенных эле­ ментов конструкций.

Теория динамической устойчивости оболочек развивалась по нескольким направлениям. Одно из них было начато работой

А. С. Вольмира [95], где в геометрически нелинейной постановке рассматривалась задача об осевом динамическом сжатии несо­ вершенной круговой цилиндрической панели. Движение панели описывалось уравнениями среднего изгиба в смешанной форме. Решение проводилось методом Бубнова—Галеркина с аппрокси­ мацией как полного, так и начального прогибов первым членом ряда Фурье. Аналогичная задача для замкнутой круговой цилин­ дрической оболочки, находящейся под действием динамического осевого сжатия и внешнего давления, тем же методом с двучлен­ ной аппроксимацией прогиба была решена В. Л. Агамировым и А. С. Вольмпром [4]. В постановке, аналогичной [95], В. В. Бо­ лотин и Г. А. Бойченко [74] рассмотрели цилиндрическую панель при линейном нарастании во времени средних значений усилий на кромках. Полученные ими численные результаты выявили ряд важных особенностей поведения панели в нелинейной области. Решения задачи, аналогичной [41, проведены методом Бубнова— Галеркина [44, 217, 218, 243, 410]. Они различались между собой исходными аппроксимациями прогиба, а также способами опре­ деления неизвестных функций. В работах [5, 6] в постановке, аналогичной [4], рассмотрена задача о продольном ударе жесткой массой. Дальнейшее развитие этих исследований на ортотропные оболочки представлено в [104]. Задача динамического выпучи­ вания ортотропной оболочки при степенном законе нарастания нагрузки на торцах рассматривалась в [270]. К наиболее замет­ ным работам данного направления, выполненным в последующие

годы, следует отнести [434, 437, 466]. Добавим, что в [101] была предпринята попытка учесть конечность скорости распространения

возмущений вдоль оболочки.

В рамках направления, к которому относятся перечисленные работы, установлены важные особенности задач нелинейного ди­

намического выпучивания несовершенных цилиндрических оболо­ чек: характерный вид зависимости прогиба от времени, влияние на нее скорости нагружения, амплитуды начальных несовершенств, со­ отношений между геометрическими параметрами оболочки. На­ грузка, приводящая к динамической потере устойчивости, опреде­ лялась обычно из условия начала резкого возрастания временного1 коэффициента у той пространственной гармоники, которая, сог­ ласно расчетам, обладает наибольшим темпом роста, либо по ус­ ловию достижения этим временным коэффициентом заданной пре­ дельной величины.

Метод решения задач неосесимметричного динамического вы­ пучивания несовершенных цилиндрических оболочек [55—57] по-

сути своей является развитием данного направления. Решение строится также на основе уравнений среднего изгиба в смешанной форме методом Бубнова—Галеркина. Существенно новыми явля­ ются два аспекта. Во-первых, может быть задано (в функциональ­ ной форме либо посредством рядов Фурье) произвольное поле начальных несовершенств. Соответственно и результат решения задачи (рассчитанные путем суммирования двойных рядов Фурьеперемещения, деформации, напряжения в оболочке) включает в совокупности все те пространственные гармоники, которые, сог­ ласно требуемой точности, необходимо учитывать при суммирова­ нии. Во-вторых, получаемые зависимости от времени любой из ха­ рактеристик напряженно-деформированного состояния оболочки позволяют сформулировать различные критерии потери оболочкой несущей способности, в частности любой из критериев, использо­ вавшихся в названных выше работах. Конкретная форма крите­

рия определяется исходя из эксплуатационных требований к конст­ рукции.

Второе направление теоретических работ по исследованию по­ ведения цилиндрических оболочек при динамических сжимающих нагрузках связано с решением задач собственно динамической

устойчивости на основе линеаризованных уравнений движения. С этой целью применялись методы классической теории устойчи­

вости движения и различные приближенные аналитические под­ ходы, позволяющие оценить устойчивость оболочки относительно малых внешних «возмущений».

частности, проведено сопоставление экспериментальных и теоре­ тических результатов для случая продольного удара жесткой мас­ сой по цилиндрической оболочке. В указанных работах, по-види-

мому, впервые получено решение задачи динамической потери устойчивости с учетом процесса распространения волны нагрузки вдоль оболочки, а также исследовано влияние на процесс дина­ мической потери устойчивости условий закрепления торцов. Среди исследований данного направления, выполненных в последующие годы, необходимо указать работы В. М. Даревского [149—151],

И.А. Кийко [165, 166], В. М. Корнева [171, 172], И. Я- Амиро [26].

Вработах третьего направления ставилась цель рассчитать процесс деформирования оболочки (идеальной либо несовершен­ ной) на некотором промежутке времени после момента приложе­

ния нагрузки, проводя непосредственное численное интегрирова­ ние уравнений движения. Рассматривались геометрически нелиней­ ные осесимметричные задачи для изотропных и ортотропных оболочек. Первой в этом направлении была работа В. И. Бори­ сенко и А. И. Клоковой [83]. В серии исследований Б. А. Гордиенко [129—131], как и в [83], решение было получено методом конеч­ ных разностей. Задачи такого же типа рассмотрены в [58] как для ортотропных, так и для относящихся к более общему классу анизотропии, перекрестно армированных цилиндрических оболо­ чек. В этой работе подробно исследованы особенности нелинейного осесимметричного краевого эффекта при различных комбинациях граничных условий на торцах.

Алгоритм решения задачи неосесимметричного нелинейного ди­ намического деформирования изотропной несовершенной цилин­ дрической оболочки при продольном ударе по торцу с учетом про­ цесса распространения возмущений, моментностн и неоднородности осесимметричного напряженно-деформированного состояния раз­ работан В. Г. Баженовым и Е. В. Игоннчевон [37]. Его обобщение на случай ортотропного материала и разнообразных граничных условий, задаваемых на торцах оболочки конечной длины, прове­ дено в работе [59]. Обобщение алгоритма [37] с учетом взаимо­ связанности конечного числа окружных гармоник дано в [38]. Заметим, что впервые решение задачи нелинейного неосеснмметричного деформирования цилиндрической оболочки при осевом ди­ намическом сжатии было получено с учетом такой взаимосвязан­

ности в работах [55, 57].

Экспериментальному изучению поведения цилиндрических обо­ лочек при осевых динамических нагрузках также уделялось боль­ шое внимание. Отметим в этой связи первые исследования Коппа [170], В. Л. Агамирова, А. С. Вольмира [6], Линдберга, Гер­ берта [368] и последующие работы [82, 105, 128, 131, 201, 248, 249, 349, 385, 386, 438]. На основе экспериментальных п теорети­ ческих результатов, полученных по проблеме осевого удара, Коппа [170], а затем и ряд других авторов [128, 156, 157, 368] выдви­ нули варианты феноменологического описания процесса динами­ ческого выпучивания тонкостенной цилиндрической оболочки. Не­ которые новые особенности этого процесса выявлены в работах

[57—59]. Выбор системы уравненийдвиженияоболочки, пригодной, для решения задач ударного выпучивания, обсуждается в [202].

Задачи динамики несовершенных цилиндрических оболочек при

нагружении импульсным внешним давлением начали разрабаты­ вать в геометрически нелинейной постановке В. Л. Агамиров,

A. С. Вольмнр [4], В. В. Болотин и соавторы [75], Ю. П. Кадашевнч, А. К. Перцев [162]. В [4, 75] использовались подходы, ана­

логичные примененным в [4, 74, 95] для задач о продольном ди­ намическом сжатии. В [162] впервые обсуждался вопрос о влия­ нии инерционности докритнческого обжатия оболочки на процесс динамического выпучивания, предлагалось оценивать критическуювеличину импульса согласно выполнению условия текучести ма­ териала. Отметим также статью Б. И. Слепова [230], где в; линейной постановке исследована задача динамической устойчи­ вости идеальной оболочки. Наиболее интересные исследования по­ следующих лет представлены в работах Вуда, Ковэла [458], Абрахамсона, Андерсона, Линдберга [273, 277, 367], Макайвора [374, 375], Э. И. Григолюка, А. И. Сребовского [139], А. С. Вольмира,. Л. Н. Сметаниной [104], В. Е. Минеева [189], Менте [376]. Так,,

в[139] впервые рассмотрено решение, основанное на удержании

ваппроксимации прогиба произвольного конечного числа членовряда Фурье по окружной координате. В [104] метод расчета [4]

развит на случай ортотропиой оболочки. Первые эксперименты понагружению цилиндрических оболочек динамическим внешним дав­ лением были проведены Шмиттом [415], А. С. Вольмиром, B. Е. Минеевым [102]. Среди последующих экспериментальных: работ отметим [43, 87, 189, 198].

Как следует из результатов, полученных в перечисленных тео­ ретических и экспериментальных исследованиях, в зависимости от скорости приложения внешнего давления можно выделить три группы задач, определив соответственно нагружение как «импульс­ ное», «динамическое» или «квазистатическое» («медленное дина­ мическое») [277]. Процесс деформирования оболочки при «им­ пульсных» кратковременных нагрузках высокой интенсивности сопровождается значительными пластическими деформациями и развитием очень высоких окружных форм выпучивания. Для сред­ него диапазона скоростей также характерно образование пласти­ ческих деформаций до начала интенсивного неосесимметричноговыпучивания. Номера доминирующих окружных форм в этом слу­ чае значительно ниже. Кроме того, при таких скоростях может оказаться существенным эффект инерционности осесимметричногообжатия оболочки. При «медленном» динамическом нагружении номера доминирующих окружных форм выпучивания незначи­ тельно выше, чем при статической потере устойчивости; инерцион­ ностью осесимметричного обжатия можно пренебречь. Критическая величина давления обычно в несколько раз превышает статическое значение. В таком диапазоне скоростей нагружения весь процесс

неосесимметричного динамического выпучивания может пройти в области упругих деформаций, вследствие чего оправдано решение в геометрически нелинейной, но физически линейной постановке, принятой в [4, 55, 56, 60, 75, 104, 139, 162, 189, 376 и др.].

Методам решения задач деформирования цилиндрических обо­ лочек при интенсивном кратковременном внешнем давлении по­ священа монография А. В. Кармишина, Э. Д. Скурлатова, В. Т. Старцева, В. А. Фельдштейиа [164]. Изложенные в ней ко­ нечно-разностные алгоритмы допускают учет как геометрической, так и физической нелинейности. Отметим также исследования [34—36, 348], посвященные разработке численных алгоритмов ре­ шения нелинейных задач динамики оболочек. Разнообразные воп­ росы нестационарного деформирования тонкостенных элементов конструкций рассмотрены в [253].

Необходимо кратко охарактеризовать также проблему началь­ ных несовершенств, которым в данной главе будет уделено зна­ чительное внимание. Уже в конце 50-х гг. В. В. Болотин и И. И. Ворович указывали на актуальность изучения случайных факторов (нагрузок, разброса геометрических параметров поверх­

ности, условий закрепления краев,' характеристик материала), об­ условленных особенностями технологии изготовления, транспорти­ ровки, монтажа и эксплуатации конструкций. Начиная с работы

Коппа [305] развернулась обширная программа по измерению, классификации и обработке начальных несовершенств формы цилиндрических оболочек. Однако вплоть до конца 60-х гг. рас­ четы на устойчивость (как статическую, так и динамическую) про­ водились согласно единой схеме: начальный прогиб задавался для некоторой фиксированной гармоники, по которой заранее предпо­ лагалась и потеря устойчивости, затем путем решения геометри­ чески нелинейной задачи исследовалось влияние амплитуды на­ чального прогиба на величину критической нагрузки. Разумеется, допущение о своеобразном «резонансе» между начальным про­ гибом и критической формой потери устойчивости позволяло полу­ чить лишь весьма отдаленное представление о процессах потери устойчивости несовершенных оболочек. Практические запросы тре­ бовали решения задач устойчивости, основанного на реальной информации о начальных несовершенствах отдельной уникальной оболочки или ансамбля однотипных оболочек. В зависимости от конкретной цели исследования такие задачи могут быть детерми­ нистскими либо вероятностными.

Принципиально новый, комплексный экспериментально-теоре­ тический подход к проблеме устойчивости несовершенных цилин­ дрических оболочек сформулирован и подробно проиллюстриро­ ван в [282]. Измерявшиеся отклонения формы оболочки от идеаль­ ной цилиндрической использовались для изучения трансформации формы ее поверхности с ростом нагрузки. При каждой величине нагрузки проводился гармонический анализ замеренного поля

прогиба. Затем исследовался рост каждого из коэффициентов Фурье с увеличением нагрузки. Для конкретного примера было установлено, что около сорока из них проявили тенденцию к рез­ кому возрастанию. В итоге был сделан принципиально важный вы­ вод о существовании нескольких критических совокупностей форм потери устойчивости, а не одной изолированной. Кроме того, «кри­ тические», т. е. наиболее чувствительные к нагрузке, гармоники не обязательно доминировали в замеренном до начала испытания на­ чальном прогибе. Проведенный в [282] анализ позволил, таким об­ разом, проследить весь процесс квазистатического выпучивания оболочки —от фиксации распределения начальных несовершенств до момента резкого возрастания амплитуд наиболее опасных гар­ моник, —определяющего нагрузку потери устойчивости.

В литературе начиная с конца 60-х гг. опубликовано много работ по измерению, обработке и статистическому анализу на­ чальных несовершенств цилиндрических оболочек и использованию полученной информации в решениях задач устойчивости, в том числе для оболочек из полимерных и композитных материалов [84, 85, 92, 223, 224, 293, 435, 436]. Как отмечено в [92], «основ­ ным фактором снижения критических усилий для оболочек из стеклопластика, как и в случае изотропных оболочек, являются различного рода начальные несовершенства, в частности началь­ ная погибь». Проведенные в 70-е гг. разработки по статической устойчивости несовершенных оболочек, а также созданные в ряде исследовательских центров банки данных по начальным несовер­ шенствам оболочек [279—281, 283] позволили значительно прибли­ зить теорию устойчивости к реальным запросам практики. Основ­ ные аспекты методологии исследования статической устойчивости несовершенных цилиндрических оболочек, использованной в [282], а затем в [84, 223] и других работах, были развиты на задачи динамического выпучивания цилиндрических оболочек с заданным детерминистским [55—57, 59, 60] -или стохастическим [61, 62, 373] полем начальных несовершенств.

5.1. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ СЖАТИИ

В ряде экспериментальных работ [128, 131, 201, 249] установ­ лено, что процесс выпучивания цилиндрических оболочек, подвер­ женных осесимметричной ударной нагрузке, начинается вслед за ударом и развивается около торца, по которому произведен удар. На первой стадии выпучивание носит осесимметричный характер, причем прогиб в окрестности торца всегда развивается в направ­ лении внешней нормали. Объясняется это ограничением подвиж­ ности торца в радиальном направлении, вызывающим вследствие эффекта Пуассона отчетливо выраженный краевой эффект. В бо­

лее поздние моменты времени прогиб на некотором расстоянии от торца обращается в нуль, оформляется первая кольцевая складка. В дальнейшем процесс осесимметричного выпучивания может либо распространяться на всю поверхность оболочки (что наблюдалось в ряде экспериментов [201, 249]), либо трансфор­ мироваться в процессе неосесимметричиого выпучивания, обуслов­ ленный наличием иеосеоимметричных начальных несовершенств и выражающийся в образовании нескольких поясов ромбических вмятин и выпучин.

Процесс неосесимметричного деформирования, в отличие от осесимметричного, начинает интенсивно развиваться лишь через значительный промежуток времени после приложения внешнего воздействия, по достижении нагрузкой величины, превышающей критическое статическое значение. Напряженное состояние в обо­ лочке, складывающееся на стадии осесимметричного динамиче­ ского выпучивания, служит, таким образом, фоном, на котором происходит развитие неосесимметричных деформаций. Вследствие этого исследование осесимметричного краевого эффекта и расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния обо­ лочки необходимы для дальнейшего исследования процесса ее не­ осесимметричного деформирования. Кроме того, потеря несущей способности оболочки, подверженной осевому удару, при опреде­ ленных условиях может наступить еще до заметного развития неосесимметричных деформаций, что придает расчету осесиммет­ ричного динамического выпучивания самостоятельный интерес.

Рассмотрим замкнутую ортотропиую круговую цилиндрическую оболочку длиной L, толщиной Л, радиусом срединной поверх­ ности R. При описании напряженно-деформированного состояния будем исходить из модели Кирхгофа—Лява и обобщенного закона

Гука для ортотропного материала.

Приведем используемые в дальнейшем варианты уравнений осе­ симметричного деформирования, расположив их в порядке услож-

нения:|:.

* Штрихом обозначена производная по координате .v, отсчитываемой вдоль образующей от левого торца оболочки.

где и0—осевое перемещение; w0 — прогиб; шо° —начальный про­ гиб; Nx и Ny —осевое и кольцевое усилия; ц — масса единицы поверхности оболочки; Cij — матрица мембранных жесткостей

ортотропного пакета.

Используя (5.1) и (5.3), уравнения движения можем записать относительно усилий:

где D\\ — изгибная жесткость пакета. Связь между усилиями и перемещениями устанавливается формулами (5.2). После неслож­ ных преобразований система (5.5) может быть записана относи­ тельно прогиба и осевого усилия:

3. Простейший вариант уравнений с учетом геометрической не­ линейности можно получить, добавив во вторые уравнения (5.5) и (5.6) нелинейный член (Nxw'o)'. В результате получаем

Связь между усилиями и перемещениями сохраняется линейной

.(5.2).