книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

Поскольку действующие на торцы оболочки усилия осесиммет­ ричны, граничные условия для функции Ф, согласно (4.42), одно­

родны.

Практически все известные решения задачи о нелинейных па­ раметрических колебаниях цилиндрической оболочки [32, 103, 120,

402, 461] получены методом Бубнова—Галеркина. Корректность и эффективность решений, найденных с помощью этого метода, как известно, в первую очередь определяются удачным выбором выражений, аппроксимирующих неизвестные функции. В линей­ ной задаче о параметрических колебаниях уравнениям движения и граничным условиям свободного опираиия почленно удовлетво­ ряют двойные тригонометрические ряды:

При решении же нелинейной системы (4.43), (4.44) путем прямой подстановки в нее (4.45), (4.46) все продольные и все окружные гармоники оказываются взаимосвязанными в бесконечной системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для за­ писи этой системы в приемлемой с точки зрения последующего численного решения форме необходимо провести чрезвычайно гро­ моздкие аналитические выкладки, а само численное интегрирова­ ние даже при сравнительно небольшом количестве учтенных гар­ моник представляет непростую с вычислительной точки зрения задачу. Поэтому стремление довести решение до численныхрезуль­ татов вынуждало авторов ограничиться одним-четырьмя членами ряда (4.45). При этом аппроксимация строится по той же схеме, что и в задачах статической устойчивости «в большом» [97]. В ка­ честве первого слагаемого выбирается член ряда (4.45), соответ­ ствующий фиксированной паре значений {т0, п0}. Добавочные слагаемые пропорциональны либо квадратам тригонометрических функций с теми же аргументами, что и в основном слагаемом, либо тригонометрическим функциям с удвоенными аргументами. Оми призваны отразить специфические особенности, вносимые нели­ нейностью, в частности «преимущественное выпучивание вовнутрь».

С точки зрения физики процесса параметрических колебаний оболочек такой прямой перенос методологии решения статической задачи выглядит неубедительным. Это подтверждают результаты,

приведенные в [461], где за основу была принята типичная четы­ рехчленная аппроксимация прогиба

В конечном результате исходная система уравнений в частных производных была сведена в [461] к системе четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Путем их численного

интегрирования рассчитаны зависимости fi(t), fzit), /з(0 при значениях^ параметров нагрузки, находящихся внутри ОДН для

выбранной формы колебаний {т, п}. Численные результаты, при­ веденные в [461], показали, что в исследованном промежутке вре­

мени функция fi(t) значительно превосходит /2(0 и /3(0- Кроме того, амплитуды последних двух функций вообще не проявили

тенденции к возрастанию во времени, что является основным приз­ наком резонансных параметрических колебаний. Автор [461] оста­ вил эти результаты без обсуждения. Кроме того, по содержаще­ муся в [461] иллюстративному материалу невозможно восстано­ вить числовые значения f2(t) и /3(0- Тем не менее характер изме­ нения этих функций во времени вызывает сомнения в целесообраз­ ности учета второго и третьего слагаемых в аппроксимации (4.47).

Для выявления существа проблемы приведем решение задачи о нелинейных параметрических колебаниях изотропной цилиндри­ ческой оболочки, взяв за основу аппроксимацию прогиба в виде, подобном (4.47) :

w{x, у, t)=a{t) sin ахcos$у+

Подставляя (4.48) в уравнение (4.44), получаем выражение для функции усилий

Ф(л', у, i) =A\{t) sinaxcos(Зр4-А2(0 cos2ax+ -M3(0 соs2$y+AA{t) sinaxcos3p//-M5(/) sin3axcosfty+

где Ai(t) находятся сравнением коэффициентов при соответствую­ щих тригонометрических функциях:

оказались малыми в сравнении с f\(t) потому, что расчеты прово­ дились только для параметров нагрузки, попадающих вовнутрь ОДН для формы {/тг, /г}.

Рассмотренный пример показывает, что принцип выбора ап­ проксимации прогиба при решении задачи о нелинейных парамет­ рических колебаниях должен быть совершенно иным, чем в нели­ нейных задачах статической устойчивости. Количество удержива­ емых в аппроксимации членов ряда (4.45) и соответствующие им номера гармоник следует определять исходя из предварительно рассчитанного спектра ОДН рассматриваемой конструкции.

Сформулируем основной принцип. Если заданные характерис­ тики внешней нагрузки соответствуют такой точке плоскости па­ раметров {0, б}, которая находится внутри лишь одной ОДН (скажем, для формы {т,,/г,}), то аппроксимировать прогиб вполне достаточно соответствующим одним членом ряда Фурье (4.45). Если в рассматриваемой точке плоскости параметров пересекаются две ОДН, соответствующие формам колебаний {ти щ) и {т2, п2}, то для аппроксимации прогиба следует использовать сумму двух вполне определенных членов ряда Фурье:

Подчеркнем, что второй член не является добавочным, уточняю­ щим решение, а равноправен с первым. Максимальная величина f2(t) может быть как меньше, так и больше максимальной вели­ чины fi (t) в зависимости от значений амплитуды и частоты на­ грузки. В случае наложения в рассматриваемой точке плоскости параметров трех, четырех и т. д. ОДН следует для аппроксимации прогиба использовать сумму соответствующих трех, четырех и т. д. членов ряда Фурье.

Таким образом, при решении задачи о нелинейных парамет­ рических колебаниях усложнение аппроксимации прогиба за счет добавления членов с удвоенными гармониками в тех случаях, когда соответствующие этим дополнительным членам ОДН не пересе­ каются с основной, не приведет ни к качественному, ни к скольнибудь заметному количественному изменению результата расчета прогиба.

Для иллюстрации сформулированного общего принципа рас­ смотрим результаты решения задачи о нелинейных параметри­ ческих колебаниях цилиндрической оболочки на основе двучлен­

ной аппроксимации прогиба (4.51). Такая аппроксимация впервые была использована в работе [53].

Подстановка (4.51) в уравнение (4.44) дает следующее выра­

+C7COS (ai+a2)xcos (pi-P2)#+

+Cs cos (ai-a2)xcos (Р1-Р2Ы (/1/2—/i0^0) +

+C9(/i-/i°) sinajjfcosPi^+ Cio(/2—/20) sina2*cosP2y,

где /i° и f2° — амплитуды начальных несовершенств, соответст­ вующие формам волнообразования {ти гц} и {т2, п2}\

(ociр2—«2Р1)2______

Сб=5 Л22(а1+а2)4+ (Л66+2Л12) (ai+a2)2(pi-fP2)2+>lii (Р1 + Р2)4

—((%iP2+oc2Pi)2 ___________ _

Сб= Л22(а1-а2)4+ (Лбб+2Л]2) (ai-a2)2(Pi+ p2)2+^n (pi+ p2)4

(aiP2+a2Pi)2_____________ ^ ^ 7 Л22(а, +а2)4+(Лбб+2Л12)(а, +а2)2(р1-р2)2+Л11(р1-р2)4

- (0&1Р2—0С2Р1)2_______________

С8= Л22(aj —а2)4+ (Лбб+2Л12) (ai —а2)2| pi—р2)2+Лц (Pi—рг)4

ai2

С9= —*#[Л22а,4+ (Л6б+2Л12)а12р12-|-Л nPi4]

Подставляя далее (4.51), (4.52) в (4.43) и применяя процедуру ортогонализации, приходим к следующей системе двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими

коэффициентами:

~ - + Й,-2 (1 - 26,- cosBi)h- o>i2fi°+diji (h2-fi01)+ al1

Здесь ©i, P*i — частота собственных колебаний и критическое ста­ тическое осевое усилие для формы волнообразования {пц, м,};

меняется стандартная программа метода Рунге—Кутта четвертого порядка точности.

Рассмотрим в качестве примера оболочку с характеристиками: R= 1 м, R/h=l00t L/R=2, £=4* 10,0Н/м2, v=0,3, р=2,5-103 кг/м3. Обозначим через Р* минимальное по {пг, п} значение осевого кри­

дующих расчетах принято PQ=0t5P* и /i0=/2°=0,01/i.

На рис. 4.2 приведен начальный участок спектра главных ОДН, рассчитанных по формулам (4.15). Отметим, что значительную часть плоскости параметров занимают пересечения нескольких ОДН. На рис. 4.3 отражены результаты численного интегрирования задачи Коши (4.54), (4.57) при 0=0,35 и двух значениях 0:750 рад/с (рис. 4.3,а) и 650 рад/с (рис. 4.3,6). В первом случае пара­ метры нагрузки соответствуют точке А (рис. 4.2), находящейся в пересечении двух ОДН для форм колебаний (1, 5} и (1, 6}, во втором — точке В, находящейся внутри лишь ОДН для формы {1, 5}. Как видно, в первом случае наблюдается параметрический резонанс по обеим формам, тогда как во втором — только по форме {1, 5}. Амплитуда колебаний по форме (1, 6} при этом на

Рис. 4.2. Начальный участок спектра главных ОДН упругой оболочки при р0=0,5Р*. Цифры соответствую номе­ рам осевой и окружной форм волнооб­ разования

всем исследованном интервале времени — порядка начального значения f2°.

Приведенные численные результаты подтверждают справедли­ вость сформулированного выше принципа выбора аппроксимации прогиба: при заданных параметрах нагрузки 0 и ô необходимо учитывать те и только те пространственные гармоники, для кото­ рых эти параметры попадают внутрь ОДН. Согласно полученному решению, в случае попадания параметров нагрузки в пересечение нескольких ОДН прогиб оболочки определяется путем суммиро­ вания нескольких членов ряда Фурье и представляет собой в со­ ответствии с этим суперпозицию нескольких биений, протекающих по различным пространственным формам.

С течением времени нелинейные параметрические колебания (рис. 4.4) сохраняют характер биений, которые становятся, однако, менее выраженными, приближаясь к стационарным колебаниям с частотой 0/2. Аналогичный результат впервые наблюдался в экспериметрах на стрежнях [446].

Исследование зависимостей fi(t) при различных величинах на­ чального несовершенства /ч° показало, что уменьшение fi° приводит к более медленной «раскачке» колебаний: промежуток времени до достижения первого максимума амплитуды fi возрастает, но сам

0Jpag/c

Рис. 4.5. Зависимость f\(t) при @=650 рад/с, 0=0,35, /,°=10-3/i

Рис. 4.6. Амплитудно-частотная характеристика при параметрических колебаниях оболочки по форме {1, 5}; 6=0,2

Амплитудно-частотная характеристика при параметрических колебаниях оболочки по форме {1, 5} приведена на рис. 4.6. По оси ординат отложен найденный для каждой фиксированной частоты абсолютный максимум f\{t) на интервале /е[0, 10 с]. Как видно, полученная характеристика относится к «жесткому» типу, что объясняется отсутствием в системе (4.54) квадратичных членов. Можно заметить также, что при выходе частоты за пределы ОДН в обе стороны амплитуда колебаний резко падает (до значения f°\). Этот результат является прямым подтверждением того, что границы ОДН определяются линейной частью уравнений (4.54).

Заканчивая обсуждение особенностей нелинейных параметри­ ческих колебаний упругой цилиндрической оболочки, отметим, что с увеличением б амплитудные значения fi(t) возрастают. Кроме того, в рассмотренных примерах биения происходят относительно «невозмущенного» безмоментного состояния. Это соблюдается вплоть до значения 6 =0,5. При 6>0,5 нелинейные параметричес­ кие колебания сопровождаются потерей устойчивости: происходит «прощелкивание» к новому статическому состоянию равновесия, и нелинейные колебания далее совершаются около этого состоя­ ния равновесия. Методология исследования данной задачи в об­ щих чертах представляется достаточно ясной, но конкретное ре­ шение ее требует разработки специального подхода, сочетающего идеи решения на основе многочленных аппроксимаций двух раз­ ных задач: о нелинейных параметрических колебаниях и о стати­ ческой потере устойчивости (более подробно здесь на этом воп­ росе останавливаться не будем).

Изложенная методика расчета, основанная на двухчленной ап­ проксимации прогиба (4.51), может быть обобщена на случай большего числа взаимодействующих пространственных гармоник. При этом систему, обобщающую (4.54), достаточно вывести для случая трех гармоник. Дальнейшее обобщение элементарно про­ водится по индукции.

9-J5M

4.4. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ

Методика решения задачи о параметрических колебаниях вяз­ коупругой ортотропной цилиндрической оболочки в линейной пос­ тановке изложена в 4.2. Рассмотрим решение этой задачи с учетом геометрической нелинейности.

Прежде всего необходимо подчеркнуть, что конкретный вид

функциональной связи менаду напряжением и деформацией не сказывается на принципиальной стороне решения проблемы вы­

бора аппроксимации прогиба в решении задачи о нелинейных па­ раметрических колебаниях. Поэтому подход, изложенный в 4.3 для упругой оболочки, остается в силе и при вязкоупругом пове­ дении материала, а именно: количество и номера гармоник, кото­ рые необходимо учитывать в аппроксимации, следует определять исходя из характера спектра ОДН рассматриваемой (в данном случае вязкоупругой) оболочки.

Задача о нелинейных параметрических колебаниях вязкоупру­ гой цилиндрической оболочки впервые рассматривалась в нашей работе [54]. Следуя примененному в ней подходу, будем считать, что ортотропный материал оболочки проявляет вязкоупругие свой­ ства только при сдвиговом деформировании. За исходные примем следующие уравнения в смешанной форме:

Здесь 012 определяется по формуле (4.19), а обратный оператор

К{1) —ядро ползучести.

Рассмотрим простейший вариант решения, основываясь на од­

Для того чтобы выразить /W ‘>(<) через Г„,„(0, решим инте­ гральное уравнение (4.64), применив преобразование Лапласа.

Используя (4.61), перепишем (4.64) в виде

AmnFгn(‘)(0+am2Pn2YJ K{t-x)Fmn0){^)dx=

o*