книги / Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек

мости w{x) (рис. 5.28,г), напоминающей суперпозицию двух функ­ ций w(x), соответствующих вариантам раздельного нагружения внешним давлением и осевым сжатием. При значениях VPIVq> 2ls деформированная поверхность оболочки имеет вид, типичный для чисто осевого динамического нагружения (рис. 5.28,д).

На рис. 5.29 для трех значений VPIVq представлены зависи­ мости прогиба от окружной координаты в сечении x=L/2. Отме­ тим, что при продольном сжатии доминирует окружная форма п=4, соответствующая максимуму в распределении (5.92), тогда как при внешнем давлении для того же распределения начальных несовершенств (5.92) доминируют окружные гармоники п=7 и /2=8. При совместном воздействии нагрузок (VP/Vq=3/7) оболочка принимает конфигурацию, сочетающую характерные особенности форм выпучивания, реализующихся для рассматриваемых видов нагружения в отдельности.

Как видно из приведенных на рис. 5.28 результатов, резкое изменение характера деформирования оболочки происходит в диа­

пазоне VPIVq=ll4—3h- На рис. 5.30 представлены результаты, детализирующие трансформацию вида зависимости w(x) с увели­ чением относительной скорости продольного нагружения. Отметим, что при сравнительно небольшом увеличении VP/Vq резко усили­ вается влияние группы высоких осевых гармоник; наличие внеш­

него давления проявляется в характерном «провисании» кривой ш(х), уменьшающемся с ростом VP/Vq.

Зависимости от времени осевого охх и окружного аш напря­ жений на внутренней поверхности оболочки показаны на рис. 5.31 для трех значений VP/Vq. Результаты для каждого из расчетных вариантов относятся к той точке {х,у} поверхности оболочки, в ко­

торой максимален прогиб. Обратим внимание на то, что при

пользовать коэффициенты Фурье WmnCT разложения функции WCT(х, у).

Если задачу о статическом выпучивании решать в геометри­

чески линейной постановке, то величины WmnCTможно рассчитать по формуле

где Р*тп и Я*тп — критические значения статических нагрузок осевого сжатия и внешнего давления для формы (гп, п). Выраже­

ние (5.93) неприменимо при значениях Р0 и qQt близких к Р*тп и q*mn, поскольку для них необходимо учитывать геометрическую нелинейность. Не углубляясь в сложную самостоятельную проб­ лему статического выпучивания несовершенных цилиндрических оболочек, рассмотрим простейшее решение, основанное на одно­ членной аппроксимации прогиба

Решение методом Бубнова—Галеркииа статического варианта уравнений (5.64), (5.65) с аппроксимацией (5.94) приводит к следующему нелинейному алгебраическому уравнению относи­

тельно Wmncr:

где clmn определяется согласно (4.71).

На рис. 5.32 показаны зависимости 117„1ПСТот величины прило­ женных статических нагрузок. Расчеты проводились для описан­ ной в 5.7 шестислойной углепластиковой оболочки. Как видим, в случае внешнего давления наибольшее отличие в результатах рас­ чета по уравнению (5.95) и по формуле (5.93) наблюдается для окружной гармоники п=7 (соответствующая ей критическая на­ грузка q*\,7 совпадает с q*)t а в случае осевого сжатия —для форм п=5 н 6 (значения P*il5 и P*il6 очень близки к Р*). В области Ро/Р*^0,9 п qo/q*^0,9 приемлемые результаты дает решение за­ дачи о статическом выпучивании в геометрически линейной поста­ новке. Как следует из рис. 5.33, результаты расчета по уравнению (5.95) и по формуле (5.93) для ряда высоких осевых форм, пред­ ставляющих основной интерес в задаче об осевом динамическом сжатии, практически совпадают. Это объясняется тем, что вели­ чины P*mv для больших т заметно превышают Р*. Наличие внеш­

него статического давления q0/q* практически не влияет на значе­ ния U7mnCTдля больших т. Следует подчеркнуть, что эти оценки

получены для распределения (5.92); конкретный вид начальных

3.бхх ,буу Ю'8Н/м2

2

Рис. 5.34. Зависимости напряжении от времени при совместном действии статической и динамичес­ кой компонент внешнего давления для <7о=0

моники, которые, как отмечалось, не чувствительны к действию статического внешнего давления. В остальных трех случаях при достаточно высоком уровне предварительного статического нагру­ жения может существенно меняться как характер распределения прогиба и напряжений по поверхности оболочки в фиксированный момент времени, так и их зависимость от времени. Наиболее силь­ ный эффект обнаружен при совместном действии статического и

динамического внешнего давления. Зависимости напряжений от времени на внутренней поверхности оболочки приведены для этого

варианта комбинированного нагружения на рис. 5.34. Они полу­ чены для шестислойной оболочки со следующими значениями уг­ лов между осью 1слоя и образующей оболочки: 90°, 90°, 80°, —80°, 90°, 90°. Характеристики материала монослоя и геометрические параметры оболочки приняты такими же, как и в 5.7. Как видно

из рис. 5.34, возрастание уровня статической нагрузки приводит к значительному уменьшению промежутка времени до начала ин­ тенсивного динамического выпучивания. Аналогичный, но количе­ ственно более слабый эффект имеет место при вариантах комби­ нированного нагружения а) и в). Результаты расчетов показывают также, что предварительное статическое нагружение изменяет ко­ ординаты тех точек на поверхности оболочки, в которых дости­

гаются максимумы прогиба и напряжений. Этот эффект наиболее выражен в вариантах в) и г). Для некоторых расчетных случаев получено снижение максимумов напряжений на начальном этапе динамического выпучивания (этот результат иллюстрирует рис. 5.34). Предварительное статическое сжатие оболочки может, таким образом, несколько «затянуть» время до начала ее разру­

шения.

В заключение отметим, что для варианта комбинированного нагружения а) не представляет затруднений обобщение расчетной методики, изложенной в 5.3 для случая осевого динамического сжатия.

0,6% —для -^- =0,1. При R/h=200 (рис. 5.35,6) величины проG12

же отношении R/h и УР=5 (рис. 5.35,в) различие в значениях прогиба, рассчитанных с учетом и без учета деформаций попереч­

ных сдвигов, составляет 0,1% для -^-=1. Следует подчеркнуть, G12

что для реальных величин модулей поперечных сдвигов IG*\012

= 1—0,1| даже при Rfh=50 поправка, вносимая в значение w

учетом деформаций поперечных сдвигов, в рассмотренном диапа­ зоне VP не превышает 1%.

Обратим внимание на качественное различие зависимостей ш(т), рассчитанных без учета и с учетом деформаций поперечных

сдвигов при G12—10-2 (кривая 4 на рис. 5.35,г). Этому результату можно дать следующее объяснение. При очень малых значениях

- критические осевые усилия Р*тп для интенсивно развиваюG12

щихся во времени гармоник, рассчитываемые с учетом поперечных сдвигов, оказываются заметно меньшими, чем при расчете по клас­ сической теории. Следовательно, интенсивное динамическое выпу­ чивание оболочки начнется при существенно меньших величинах нагрузки Р(т) (и соответственно значениях т). В результате для одного и того же т форма деформированной поверхности оболочки при расчете по классической теории практически не отличается от начальной (рис. 5.36,а), тогда как при учете поперечных сдвигов она имеет характерный для развитого динамического выпучива­ ния вид (рис. 5.36,6) с максимумом прогиба около 20h. Естест­ венно, что в фиксированном сечении х картина изменения прогиба

во времени существенно различается при использовании рассмат­ риваемых двух теорий.

Приведенные результаты дают определенное обоснование при­ менимости теории Кирхгофа—Лява для расчетов прогиба тонко­ стенных ортотропных оболочек при действии динамических сжи-

При величине прогиба ш«ЗЛ.

Рис. 5. 36. Зависимости прогиба от осевой координаты при т=2,8. Расчет по теории Кирхгофа—ява (а) и по теории типа Тимошенко (б) при /?/Л=50, К,>=5, G13=<?23=10-2G1

мающих нагрузок. Расчеты показали также, что для деформации и напряжений поправка, вносимая учетом поперечных сдвигов, не­ сколько больше, чем для прогиба, но и она не превышает несколь­ ких процентов при Gi3/Gj2^0,l; Rfh^s 100 в диапазонах скоростей нагружения Vps^lO; Кг/^20.

В заключение следует сказать, что в главе 2 были предложены нелинейные уравнения движения ортотропных цилиндрических обо­ лочек с учетом деформаций поперечных сдвигов. На основе этих уравнений аналогичными путями могут быть построены решения рассмотренных в главах 4 и 5 нелинейных задач. Возникающие при этом трудности носят чисто технический характер. В конечном результате получаются системы нелинейных обыкновенных диф­ ференциальных уравнений, в которых коэффициенты при нелиней­ ных членах зависят от модулей поперечных сдвигов.

5.10. О ВЛИЯНИИ ФОРМЫ ИМПУЛЬСА НА ДИНАМИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧКИ

Численные результаты, рассмотренные в данной главе (за ис­ ключением 5.2), получены при линейно возрастающих во времени нагрузках осевого сжатия и внешнего давления. Такой характер зависимостей Р(т) и q(x) выбран исключительно из соображений наглядности и компактности обсуждения принципиальных резуль­ татов. Основное преимущество рассмотренных зависимостей Р(т) и q(x) с этой точки зрения состоит в том, что каждая из них за­ дается только одним параметром — скоростью нагружения

Vp(Vq).

Изложенные в 5.1, 5.3, 5.4 методики сводят расчет деформиро­ вания оболочки к решению задачи Коши для сложных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго по­

рядка. В уравнения, полученные в 5.4, внешние нагрузки входят только в виде зависящих от времени коэффициентов. В простей­