книги / Неустойчивость горения

был нужным образом распределен по сечению. Так, для возбуж­ дения первой радиальной моды газ следует подавать через от­ верстия, расположенные на периферии методической решетки, а для возбуждения первой тангенциальной моды — через^ отвер­ стия, расположенные в некотором секторе, который показан на рис. 3.8. Диаметры цилиндрических участков газового канала до и после методической решетки должны быть при этом равны. Пульсирующий расход газа, поступающего в цилиндрический участок до пульсатора, создает в этом случае трехмерные аку­ стические колебания как до, так и после методической решетки Если колебания давления и расхода непосредственно до и после

этом разложении будет играть гармоника, соответствующая той форме колебаний, которая диктуется расположением отверстий. В предыдущем разделе отмечено, что камера сгорания при по­ перечных колебаниях имеет весьма большую добротность. Пос­ леднее приводит к тому, что нерезонансные гармоники весьма быстро затухают. Вследствие этого, как показывает опыт, на сравнительно небольших расстояниях до и после методической решетки устанавливается достаточно чистая мода акустических колебаний. Если теперь расположить датчики давления на не­ большом расстоянии до и после методической решетки* и пре­ небречь накоплением газа в объеме между сечениями их уста­ новки, то связь между амплитудами расхода и давления будет по-прежнему определяться соотношением (3.4.2).

На рис. 3.8 представлены результаты измерений АЧХ, полу­ ченные описанным методом. Для возбуждения первой танген­ циальной моды колебаний (т = 1, п = 0) использовалась мето­ дическая решетка, отверстия которой были сосредоточены в секторе, имеющем угол 120°. Цилиндрическая часть исследуемой камеры сгорания имела длину 485 мм и диаметр 240 мм; сопло, через которое осуществлялось сверхкритическое истечение, име­ ло длину 175 мм и диаметр критического сечения 90 мм. Два датчика для измерения давлений располагались на одной обра­ зующей цилиндра напротив отверстий решетки. При обработке результатов экспериментов использовалась безразмерная часто­

та ш=сor/с, где г — радиус цилиндра. Результаты эксперимента представлены на рис. 3.8, где также нанесены результаты рас­ четов по методу, описанному в предыдущем разделе. Из рисунка видно, что эксперимент подтверждает полученный расчетный вывод о весьма высокой добротности системы. Положение пер­ вого резонансного максимума хорошо согласуется с теоретиче­

ским значением ©*юо=1,84. Из рисунка также видно, что описанный метод позволяет получить АФЧХ в области докритических частот колебаний.

* Это, помимо всего прочего, диктуется конструктивными требованиями.

101

4. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ (АКУСТИЧЕСКИЕ) КОЛЕБАНИЯ В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ

Акустические колебания, возбуждаемые горением, достаточ­ но широко распространенное явление. Впервые оно было описа­ но еще в XVIII веке и получило название поющего пламени. Для демонстрации явления поющего пламени газовую горелку по­ мещают внутрь вертикальной трубы (рис. 4.1). При выполнении некоторых условий в трубе возникают интенсивные колебания воздуха, труба начинает звучать на одной из своих собственных частот (мод) колебаний подобно органной трубе. Впервые пра­ вильное качественное объяснение этого явления было дано Рэлеем [60]. Он показал, что пламя поддерживает колебания столба^воздуха, если выполняются два условия: пламя находит­ ся в пучности давления и колеблется так, что в момент сжатия выделяется больше теплоты, чем в момент расширения (прин­ цип Рэлея)*.

В более позднее время с возбуждением акустических колеба­ ний неоднократно сталкивались при создании разнообразных устройств, предназначенных для сжигания топлива. Они наблю­ дались в камерах сгорания воздушно-реактйвных двигателей [47], пылеугольных топках современных котлОв [65] и в ряде других устройств.^ Особенно большой объем исследований был проведен применительно к камерам сгорания жидкостных ра­ кетных двигателей. Подробный обзор и библиография работ, выполненных в США применительно к ЖРД, содержится в ра­ боте [47], ряд сторбн явления описан в монографиях [4, 30, 56] и статьях [18, 19, 20, 21, 22, 36, 39, 43, 44, 46, 61, 62, 71].

Термин «акустические колебания» используется в связи с тем, что потеря устойчивости в рассматриваемом классе задач

* Теория этого явления развита в работе [56].

102

ческих колебаний. Другое название — «высокочастотные колеба­ ния» отражает то обстоятельство, что у одной и той же камеры сгорания значение частоты при акустических колебаниях выше, чем при низкочастотных. Следует, однако, отметить, что для камеры сгорания малых размеров частота низкочастотных ко­ лебаний может оказаться выше частоты высокочастотных коле­ баний камеры сгорания больших размеров. Так что само по се­ бе значение частоты колебаний не может служить критерием, по которому их можно относйть к тому или другому виду.

4.1. ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ

Ступенчатая кривая выгорания. Пусть горение сосредоточено в узкой области, примыкающей к форсуночной головке. Левое граничное условие для решения волнового уравнения, описы­ вающего динамические свойства акустического звена, будет -в этом случае определяться АФЧХ зоны горения. Выберем в ка­ честве динамической модели зоны горения рассмотренную в разд. 2.1 модель переменного времени запаздывания, зависяще­ го от давления. Расход жидких компонентов через камеру сго­ рания будем считать постоянным. Положим в соответствии с

этим в выражении (2.1.8) 8G$>(t—т) = 0, после чего, задавшись гармоническим законом колебаний расхода и давления, получим АФЧХ зоны горения

После несложных преобразований она может быть представ­ лена в виде

где ф=а)Т/2 — я/2.

Величина п имеет смысл коэффициента усиления зоны горе­ ния: чем больше п> тем больше амплитуда скорости газообразо­ вания при одной и той же амплитуде колебаний давления.

Представим АФЧХ акустического звена в виде

где \kA\ и ф— АЧХ и АФХ акустического звена соответственно. Для того чтобы получить характеристическое уравнение, описывающее режим малых гармонических колебаний замкну­ того контура, состоящего из акустического звен^ и звена зоны горения, достаточно воспбльзоваться выражениями (4.1.2) и (4 .1 .3 ), положив 8Gr/8p0 = kpTl. Из полученного таким ббразом уравнения в результате сравнения модулей и фаз в правой и

левой его частях получим

103

0)

2 |*Ai sin —

где /= 0 , 1, 2...

Уравнения (4.1.4) описывают границу устойчивости в коор­ динатах п—т, заданную в параметрической форме (параметр о). Метод штриховки, как и следовало ожидать, показывает, что область неустойчивости соответствует большим п.

В районе резонансных максимумов АФЧХ акустического звена значение фазы ф, к^к_уже отмечалось, близко к нулю. Из

п, достигают максимального значения и, следовательно, п мини­ мально. Таким образом, наиболее благоприятные условия для потери устойчивости складываются в районах резонансных ча­ стот акустических колебаний. Иными словами, частота колеба­ ний вблизи границы устойчивости имеет значение, близкое к частоте акустического резонанса. Полученный результат явля­ ется непосредственным следствием особенностей изучаемого замкнутого контура, для возбуждения которого необходимо, что­ бы колебания расхода газа, генерируемые зоной горения, прово­ дили к существенным колебаниям давления.

Из формулы (4.1.5) следует существование некоторых,крити­ ческих значений времени т = я (4 /+ l)/toP, при которых п мини­ мально.,

Отмеченные особенности границ устойчивости акустических колебаний являются наиболее важными и существенными. От­ метим также, что в рамках феноменологических моделей про­ цесса горения свойства продольных и поперечных колебаний аналогичны. Далее наиболее подробно рассмотрены продольные акустические колебания в камере сгорания с квазистациона'рным соплом. Специфические особенности поперечных колебаний и влияние конечного значения длины сопла на устойчивость рас­ смотрены в конце данного раздела.

В случае продольных колебаний уравнения (4.1.4), описы­ вающие границу устойчивости, могут быть существенно упро­ щены.

Полагая в соотношении (3.2.17) k°mn= 0 и воспользовав­ шись выражениями (3.2.19) и (4.1.1), получим характеристиче­ ское уравнение, связывающее параметры системы на гранйце устойчивости:

104

Ограничимся рассмотрением наиболее типичного случая, когда М<С1. После разложения уравнений (4.1.6) и (4.1.7) в ряд по степеням М и отбрасывания членов порядка М2 полу­ чим

Разделив действительную и мнимую части уравнения (4.1.8), находим

sin - ^с- = 2 М хп sin (от. Поскольку М<С 1, то из второго уравнения следует

где / — частота на границе устойчивости; 1=1, 2...

Из формулы (4.1.10) видно, что частота на границе устойчи­ вости с точностью до малой поправки порядка М совпадает с собственной частотой колебаний трубы, закрытой с обоих кон­ цов. Полученный результат находится в соответствии с ранее высказанными соображениями, основанными на анализе АЧХ акустического звена.

Подстановка в первое уравнение (4.1.9) значения coL/c, опре­ деляемого уравнением (4.1.10), разложение в ряд и отбрасыва­ ние членов порядка М приводят к следующей формуле для гра­ ницы устойчивости в координатах п—т:

где I — номер тбна (моды) продольных акустических колебаний;

т — время запаздывания, отнесенное ко времени пробега акусти­ ческой волны вдоль камеры сгорания: п* — значение коэффици­ ента усиления п на границе устойчивости.

При фиксированном значении I формула (4.1.11) дает грани­ цу устойчивости рассматриваемого тона колебаний. Поскольку количество тонов колебаний неограничено, то в рамках рассмат-

105

через каждый интервал Дт= 2// картина при фиксированном I должна повторяться. Таким образом, значения j являются по­ рядковым номером гармоник процесса горения. На рис. 4.2 пред­ ставлены вётви, соответствующие / = 0, 1, 2, 3, 4.

Коэффициент усиления п* для каждой из ветвей достигает минимального значения при выполнении соотношения /т =

где т*кр — время запаздывания, при котором п* достигает своего наименьшего значения; Ti=2Lj(cl) — период собственной часто­ ты акустических колебаний /-го тона; /= 0 , 1, ....

Это же выражение можно было бы получить непосредствен­ но из формулы (4.1.5), учтя, что для продольных колебаний в камере сгорания с коротким соплом АФЧХ акустического звена является периодической функцией с периодом я, благодаря чему слагаемое 2я/ во второй формуле (4.1.4) может быть заменено на я/, а слагаемое 4/ в формуле (4.1.5) — на 2/.

106

Интервал т, в котором наблюдается неустойчивость, возра­ стает вместе с ростом п и обращается в нуль при минимальных значениях п, которые для всех ветвей равны

Значения х*кр, соответствующие двум соседним_минимальным

значениям п — п*тш, отстоят друг от друга на Ax=2fl. Послед­ нее приводит к тому, что при больших I практически вся область п>п*min становится неустойчивой. Этот вывод, однако, является следствием чрезмерной идеализации явления.

Врассматриваемой здесь простейшей модели не учитывается реальность сопла и распределённость горения.

Впредыдущем разделе было показано, что учет реальности сопла приводит к уменьшению высоты резонансных максимумов АЧХ акустического звена по мере повышения номера тона про­ дольных акустических колебаний. Потеря устойчивости высших тонов акустических колебаний в силу этого затруднена*. Прак­ тический интерес обычно представляют только первые тона ко­ лебания.

Несколько подже будет показано, что аналогичная ситуация имеет место и для высших гармоник процесса горения. И в этом случае возрастание у увеличивает устойчивость системы. Таким образом, область применимости рассматриваемой простейшей модели ограничена малыми значениями I и у.

Из формулы (4.1.12) видно, что для 1=1 и у = 0 наихудшие условия для устойчивости складываются в том случае, когда время запаздывания совпадает со временем пробега волны вдоль каь!еры сгорания. При других значениях у подобные усло­ вия складываются при целочисленном и нечетном отношении

времен т и Ti/2.

Важным следствием полученного вывода является немоно­ тонная зависимость устойчивости системы от характерного вре­ мени горения т и длины камеры сгорания. Пусть, например, ис­ ходное значение %^>Ti/2(l=l). Рассмотрим устойчивость первой гармоники рабочего процесса (у'=0). При умеренных значениях п система будет в этом случае устойчива (низкочастотные коле­ бания не рассматриваются). Уменьшим тем или иным способом значение т. Тогда по мере приближения т к значению, равному Тг/2, устойчивость системы будет падать и если при этом п бу­ дет больше /i*min, то она потеряет устойчивость. Однако дальней­ шее уменьшение т вновь приведет систему в устойчивое состоя­ ние. Таким образом, система как бы пересечёт область неустой­ чивой работы. Аналогичная картина будет при фиксированном

ти монотонном изменении L.

*Стабилизаций высоких тонов, колебаний способствуют и некоторые дру­ гие эффекты, которые будут рассмбтрены далее.

107

В теории низкочастотных колебаний камер сгорания с корот­ кими трубопроводами влияние времени т и длины L (объема ка­ меры сгорания) однозначно. Немонотонный и, следовательно, неоднозначный характер влияния изменения некоторых пара­ метров системы на ее устойчивость является, как правило, ре­ зультатом проявления резонансных свойств ее звеньев. Наибо­ лее благоприятные условия для потери устойчивости в этих случаях чаще всего складываются в районе совпадения периода колебаний резонансной частоты с некоторым другим характер­ ным временем. В рассматриваемой модели это характерное время определяется процессом горения. Ранее при изучении низкочастотных колебаний в системе с длинными трубопровода­ ми мы уже сталкивались с аналогичной ситуацией.

Для построения границ устойчивости поперечных колебаний необходимо непосредственно использовать уравнения (4.1.4), в которых АФЧХ акустического звена определяется формулами (3.217) и (3.2.9). Так же как и для продольных колебаний, каж­ дой моде поперечных колебаний соответствует своя ветвь грани­ цы устойчивости. Однако, поскольку каждая мода колебаний характеризуется тремя индексами, число ветвей возрастает. Наи­ более благоприятные условия для потери устойчивости на каж­ дой из ветвей возникают при значениях т, удовлетворяющих соотношению (4.1.12), если под индексом. / в последнем в соот­ ветствии с формулой (3.2.5) понимать полный набор из трех индексов, определяющих форму поперечных колебаний. Основ­ ное отличие в границах устойчивости продольных и поперечных колебаний связано с тем, что резонансные значения АЧХ для поперечных акустических колебаний заметно больше, чем для продольных. Из этого следует, что при условиях, наиболее бла­ гоприятствующих потери устойчивости (т=т*Кр), поперечные колебания менее устойчивы.

В рассмотренных ранее феноменологических моделях горе­ ния обратная связь, посредством которой акустическое звено воздействует на зону горения, реализовалась колебаниями дав­ ления. При поперечных колебаниях появляется еще одна обрат­ ная связь, возникающая вследствие периодического смещения газа в плоскости, перпендикулярной оси камеры сгорания. Эти смещения интенсифицируют смещение окислителя и горючего, что приводит к появлению дополнительной обратной связи. Ча­ стота колебаний, при которой наблюдаются максимальные амп­ литуды смещения струй газа, та же, что и для пульсаций давле­ ния, и равна частоте резонансного максимума АФЧХ. Поэтому оба механизма обратной связи (по давлению и скорости) в рам­ ках феноменологического описания процесса горения приводят к одинаковым следствиям качественного характера.

Влияние формы кривой выгорания. Будем по-прежнему счи­ тать, что протяженность зоны горения много меньше длины ка­ меры сгорания, так что горение можно считать сосредоточенным

108

\

в узкой ббласти, непосредственно примыкающей к форсуночной головке.

В качестве плавной кривой выгорания выберем функцию, график которой представлен на рис. 1.3. (см. кривую 3), а про­ изводная задается выражением (2.2.26). Так же как и в преды­ дущем разделе, воспользуемся моделью горения, в которой т зависит от давления, а влияние расходного механизма несущест­ венно. Положив в уравнении (2.2.20), полученном для плавной

кривой выгорания, fi~l = 0, п(т')= const, ф '(т')— выражению (2.2.26), нетрудно найти связь между амплитудой давления и скоростью газообразования:

*1

откуда после интегрирования и преобразований находим

Если т2->0, то а((от2)->1, а Р((от2)-Ю. Соотношение (4.1.15) описывает в этом случае связь между амплитудами колебаний скорости газообразования и давления в модели со ступенчатой кривой\выгорания, см. (4.1.1). Поступая так же, как и при сту­ пенчатой кривой выгорания, получим уравнение, аналогичное уравнению (4.1.6), связывающее параметры системы на границе устойчивости:

109

зовании ступенчатой кривой выгорания на несущесгв^нную_ло--

после отбрасывания величин порядка М и несложных преобра­ зований получим выражение для границы устойчивости

При т2-Ю полученная граница устойчивости переходит в ра­ нее найденную границу для ступенчатой кривой выгорания.

На рис. 4.3 представлены границы устойчивости продольных колебаний первой моды для простейшей модели распределенного горения при различной степени растягивания кривой выгорания.

Границы устойчивости построены в координатах п — тЭф, где Тэф=Т1+ т 2/2 является средним значением характерного време­ ни горения. Безразмерное время_т2 может быть выражено через

Причины, приводящие к повышению устойчивости при растяги­ вании кривой выгорания, обсуждались в разд. 2.

Возрастание / приводит к уменьшению а(я/т2/2), см. соотно­

110