книги / Неустойчивость горения

живает топливоподающий трубопровод, поскольку его динами­ ческие свойства оказывают наиболее существенное влияние на динамику системы подачи в целом.

Волновое уравнение и его решение. Изучению нестационар­ ного движения сжимаемой жидкости в упругом трубопроводе посвящено большое число работ, берущих начало от исследова­ ний Н. Е. Жуковского. К числу публикаций по интересующему нас кругу вопросов, в частности, относятся работы [4, 14, 15, 27, 45, 52, 74], в них же содержится дополнительная библиография.

Уравнение сохранения массы жидкости в трубопроводе с уп­ ругими стенками может быть записано в виде [35, 74]

at ox

где х, t — пространственная и временная координаты; р и и — плотность и скорость жидкости; f — площадь сечения трубопро­ вода.

Оба сомножителя произведения р/ являются функцией давле­ ния; первый — вследствие сжимаемости жидкости, а второй из-за упругих радиальных перемещений стенок трубы.

Линеаризуя уравнение (1.4.1), получим

Величина с, как это будет вскоре показано, является ско­ ростью звука в жидкости, заполняющей трубопровод с упругими стенками. Для трубопроводов круглого сечения, имеющих уме­ ренную толщину стенки, значение скорости звука согласно фор­ муле Н. Е. Жуковского равно

где с0 — скорость звука в неограниченном объеме жидкости; Е — модуль упругости стенки трубопровода; \D и А —диаметр трубо­ провода и толщина его стенок^

Уравнение сохранения количества движения при отсутствии

Перейдем к системе координат, в которой жидкость при ста­ ционарном движении покоится:

41

В новой системе координат уравнения (1.4.2) и (1.4.5) приобре­ тают вид

где ф— потенциал скорости.

Определенный из соотношений (1.48) потенциал автоматиче­ ски удовлетворяет второму уравнению (1.4.7), а первое уравне­ ние (1.47) после подстановки в него соотношений (1.4.8) приво­

где ф! и ф2— произвольные функции, конкретный вид которых определяется начальными и граничными условиями.

Из выражения (1.4.10) следует, что любое фиксированное значение ф1движется относительно покоящейся жидкости вправо со скоростью с, в то время как фиксированное значение функции ф2 распространяется с той же скоростью влево. Таким образом, соотношение (1.4.10) описывает две бегущие волны, распростра­ няющиеся с одинаковой скоростью, но в разные стороны. Под­ ставив решение (1.4.10) в уравнение (1.4.8), получим

Аргументы функций ifi и после перехода к исходным переменным х~I согласно соотношениям (1.4.6) имеют вид

Подставив эти выражения в уравнения (1.4.11) и воспользовав­

шись, тем что функции ф] и ф2 произвольны, представим решения (1.4.11) в виде

* В том что соотношение (1.4.10) удовлетворяет волновому уравнению, легко убедиться путем его подстановки в выражение (1.4.9).

42

(1.4.12)

а = Ч ‘ - ^ ) - Ч ‘ + т Ь - ) ’

гр= * .[♦ ,(* - j f j - ) + ♦ . (< ■+ ^ f r ) ] i * . = P3 ‘ Гр ,

где p — некоторое масштабное давление, посредством которого образуется безразмерное значение 8р.

Выражения (1.4.12) представляют возмущенные значения 8р и бы в виде двух волн, одна из которых распространяется по пото­ ку со скоростью с+ы, а другая — против потока со скоростью

с—ы.

Скорость движения жидкости в трубопроводах систем подачи существенно меньше скорости звука, имеющей значение порядка 103 м/с. Пренебрегая, значением и по сравнению со скоростью звука с, получим

8й=<}>1 (t—x/c) — y2(t-\-x/c); Ьр~ hB V —х/с)+<1>2(*+х/с)] •

(1.4.13)

Безразмерная величина hBв соответствии с той ролью, кото­ рую она будет играть в дальнейшем, носит название волнового сопротивления.

Собственны е частоты и формы колебаний. Частотны е характеристики. Рас­ смотрим несколько простейших случаев свободных колебаний жидкости в тру­ бопроводе:

1.Трубопровод с двумя открытыми концами. Под открытым концом по­

нимается такое граничное условие, при котором 6 р = 0 . Приближённо это ус­ ловие выполняется, когда трубопровод подсоединён к баку, в котором поддер­ живается постоянное давление (в реальной ситуации условие открытого конца в этом случае выполняется неточно вследствие наличия входного гидравличе­ ского сопротивления и сложного поля скоростей вблизи места подключения трубопровода к баку).

Граничные условия в рассматриваемом случае имеют вид: при х = 0 6 р =

43

Рис. 1.10. Формы колебаний жидкости в трубопроводе:

а — два открытых конца; 6 — один открытый, другой закрытый конец; 1 — би; 2 — бр

следует положить (о= (о/. Возможные значения собственных частот колебаний образуют дискретный спектр. На рис. 1.10, а представлены распределения дав­ ления и скорости вдоль трубопровода (формы колебаний) для 1=1; 2. Из ри­

сунка, в частности, видна весьма характерная особенность форм колебаний: максимальным значениям амплитуд давления соответствуют минимальные амплитуды скоростей и наоборот.

2.Трубопровод с двумя закрытыми концами. Граничные условия в этом

Уравнения (1.4.13) позволяют найти связь между амплитуда­ ми колебаний давления и скорости на входе в трубопровод и на выходе из него. Представим переменные в виде

Ър=Ър{х)ъм \ Ь и= Ь а(х)еш ; t[>1>2=<j»li2е1ша. (1.4.19)

44

После\юдстановки выражений (1.4.19) в уравнения (1.4.13)

Полагая в уравнениях (1.4.20) х = 0 и x= L , получим систему

bp(L)= —ihBsin — Ьи (0)4-cos — 8jp(0).

сс

Уравнения (1.4.21) определяют искомую связь между колеба­ ниями 6« и 8р в начале и в конце трубопровода. Они представля­ ют собой частный случай уравнений, описывающих четырехпо­ люсник — звено, содержащее две входных и две выходных коор­ динаты.

Для того чтобы перейти от уравнения четырехполюсника к АФЧХ, необходимо задать связь между 6р(0) и 6м (0), иными словами, АФЧХ

АФЧХ 6р/6м носит название импеданса, а обратная ей вели­ чина — проводимости. Импедансы и проводимости, соответству­ ющие концам трубопровода, называются граничными.

Если пренебречь гидравлическими потерями на входе в тру­ бопровод, подсоединенный к баллону (см. рис. 1.1), то левый гра­

Для того чтобы экспериментально получить АФЧХ 6j?(I)/8it(L), достаточно в конце трубопровода (x = L ) тем или иным способом (например, путем установки переменного сопротивления — так называемого пульсатора) возбудить гармонические колебания давления и измерить отношения амплитуд и фазовые сдвиги меж­ ду колебаниями давления и скорости.

Из уравнения (1.4.23) видно, что если частота возмущений совпадает с собственной частотой колебаний жидкости в трубо­ проводе, один из концов которого открыт, а другой — закрыт, см. формулы (1.4.18), то 8p(L)/8U(L)-+oo. В таких случаях принято

45

говорить, что система находится в состоянии резонансна *. Если же частота возмущений совпадает с собственной частотой трубо­ провода, открытого с обоих концов, см. формулы /(1.4.16), то возникает условие антирезонанса: амплитуда колебаний давления в конце трубопровода равна нулю. В последнем 'случае в конце трубопровода складываются те же условия, что Лри дг=0.

Силы трения жидкости о стенки трубопровода при умеренном значении гидравлических потерь не оказывают заметного влия­ ния на значение резонансных частот. Амплитуда колебаний на резонансе при наличии сил трения приобретает конечное значе­ ние, а при антирезонансе становится отличной от нуля. Высота резонансных максимумов при этом с ростом номера резонанса уменьшается. Иными словами, высокие гармоники возбуждаются хуже низких (более подробно о влиянии сил трения см. в ранее указанной литературе).

В целях упрощения в качестве левого граничного условия при­ нималось условие др (0) = 0 , приближенно описывающее баллон­ ную систему подачи. Для того чтобы получить выражение право­ го граничного импеданса трубопровода для насосной системы по­ дачи, необходимо задаться входным импедансом (АФЧХ насоса), записанным в виде (1.4.22). Из соотношений (1.4.22) и (1.4.21) получим выражение для выходного импеданса трубопровода, пи­ таемого насосом:

; Границы устойчивости. Влияние системы подачи на низкочас­ тотную неустойчивость рассмотрим применительно к баллонной системе родачи [4, 47]. В этом разделе особое внимание уделено физической интерпретации результатов исследования.

Возвращаясь к рис. 1.1, учтём волновые явления в трубопрово­ дах, соединяющих баллоны с форсуночной головкой камеры сго­ рания. Для простоты будем считать, что трубопроводы окислите­ ля и горючего имеют идентичные динамические свойства, а дав­ ления в обоих баллонах одинаковы.

Согласно выводам, сделанным в предыдущем разделе, давле­ ние и скорость в конце трубопровода связаны соотношением (1.4.23). С другой стороны, расход топлива, поступающего в ка­ меру сгорания, можно записать в виде

где p(L) — давление в конце трубопровода.

После линеаризации уравнения (1.4.25) получим

Это понятие будет уточнено в разд. 3.4.

46

\

’—действительная и мнимая части АФЧХ звена системы подачи. Исходя из соотношений (1.4.28), можно показать, что к* и k**

Уравнение (1.4.29) описывает окружность с центром, лежащим на действительной оси, имеющей радиус, равный 1/(2А), и каса­ ющуюся мнимой оси. Пример подобной АФЧХ представлен на рис. 1.11, где в качестве параметра приведены значения сoL/c. npH coL/c<§;l значения k** и к* удовлетворяют соотношениям к** ж0 и k*& —А-1, соответствующим полученным ранее для си­ стемы с короткими трубопроводами. С ростом параметра o>L/c радиус-вектор годографа АФЧХ движется по часовой стрелке с периодом я, обегая окружность бесконечное число раз. Он до­ стигает максимального значения при coL/c=0, я, 2я, ... и обра­ щается в нуль при со!,/с=я2, я/2+я... . Таким образом, ампли­ туда колебания расхода топлива, поступающего в камеру сгора­ ния только при о)1/с=я, 2я... и т. п., достигает тех же значений, что и при коротких трубопроводах, во всех остальных случаях она меньше. Амплитуда скорости газообразования при использовании модели постоянного времени запаз­ дывания равна амплитуде колеба­ ний расхода топлива. Из всего ска­ занного следует, что при самом не­ благоприятном значении частоты колебаний устойчивость системы с длинными трубопроводами та же, что и системы с короткими трубо­ проводами, * а во всех остальных

47

Рис. 1.12. Графики, иллюстрирующие влияние длины трубопровода на низ­ кочастотную неустойчивость при т = 4 ,5

случаях она выше (поскольку амплитуда колебаний расхода при одной и той же амплитуде колебания давления и сoL/c^=n, 2п при длинных трубопроводах меньше чем при коротких).

Умножив АФЧХ звена системы подачи на АФЧХ звена про­ цесса горения, см. уравнение (1.2.9), получим АФЧХ звена рабо­ чего процесса

Положив полученную таким образом АФЧХ равной обратной АФЧХ акустического звена, см. уравнение (1.2.14), получим урав­ нение, служащее для построения /^-разбиения,

уравнением (1.1.15), полученным для систем с короткими трубо­ проводами, если в последнем положить z=too.

Разделяя в уравнении (1.4.31) действительные и мнимые чаоти и решая полученные таким образом уравнения относительно L и h, получим уравнения /^-разбиения при фиксированных значе­ ниях т и тп:

где п — порядковый номер тона колебания; (о = сот.

48

2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ГОРЕНИЯ

Процесс горения представляет собой сложное явление, опи­ сание которого основывается на физической и химической кине­ тике различного рода в известном смысле «элементарных» про­ цессов, обеспечивающих превращение топлива в продукты сгора­ ния. К этим «элементарным» процессам, в первую очередь, отно­ сятся смешение, теплопередача и химические реакции, а при го­ рении жидких топлив, помимо этого, образование жидких капель, их движение, прогрев и испарение. На процесс горения сущест­ венное влияние оказывают гидродинамические факторы, способ организации горения и агрегатное состояние сжигаемых компо­ нентов топлива.

Описание горения топлива в различного рода технических устройствах носит, как правило, качественный характер или име­ ет довольно сложную структуру, использование которой сопряже­ но со значительным объемом громоздких выкладок и вычислений.

Значительные трудности, стоящие на пути использования в теории устойчивости горения детального описания «элементар­ ных» процессов, стимулировали применение различного рода фе­ номенологических моделей, в основу которых положено понятие кривой выгорания <р(т) (зависимости доли выгоревшего топлива от времени горения). Методы определения формы кривой выгора­ ния остаются при подобном подходе вне рамок модели, а ее вид и зависимость от различного рода факторов задаются в значи­ тельной мере произвольно. Все это сужает возможности теории, однако существенно упрощает анализ и, как показывает опыт ис­ пользования подобного подхода, позволяет получить ряд резуль­ татов, хорошо согласующихся с экспериментальными данными. ^Следует отметить, что выбор той или иной модели определяется не только способом организации процесса горения, но и областью частот, в которой она применяется. Пусть, например, организация процесса горения жидкого топлива такова, что образование про­ дуктов реакции является результатом последовательного проте­ кания двух хорошо выраженных стадий: испарения топлива и тур­ булентного сгорания ее паров. Первая стадия имеет при этом большое, а вторая малое характерное время. Тогда в области низких частот нужно использовать феноменологическую модель, описывающую первую стадию процесса (вторая стадия будет ква­ зистационарно отслеживать низкочастотный процесс), а в обла­

50