книги / Неустойчивость горения

свойства двух топливоподающих трактов (окислителя и горю­ чего) и системы смесеобразования (форсуночной головки).

Динамические свойства топливоподающего тракта определя­ ются акустическими колебаниями в жидкости или газе. Методы построения частотных характеристик подобного рода систем бы­ ли описаны в разд. 1 и 3 и, как правило, сводятся к выполнению стандартных процедур. То же самое можно сказать об описании динамических свойств системы смесеобразования, которая опре­ деляется акустическими и гидравлическими характеристиками форсуночной головки.

Описание динамики процесса распыления жидкого топлива форсуночной головкой представляет собой весьма сложную за­ дачу. Однако, если время формирования капель много меньше периода колебаний, то в первом приближении можно ограни­ читься квазистационарным описанием, воспользовавшись зави­ симостями типа

где а0 — средний диаметр капель, поступающих в зону горения; G0 — расход топлива через форсуночную головку; р° — давление около форсуночной головки; ф — некоторая функция, полученная в результате обработки экспериментальных данных стационар­ ных проливок.

Исключив из системы частотных характеристик, описываю­ щих динамические свойства топливоподающих трактов_и форсу­

Совокупность частотных характеристик <р,- образуют п-мер- ный вектор ф, описывающий динамические свойства системы по­ дачи.

Очевидно, что наибольшее влияние на устойчивость оказы­ вают частотные характеристики <p;(ia>) с порядковым номером i, соответствующим тем из элементов матрицы А I), АрДио, /), или Asi(i(Hy /), которые имеют наибольшее значение. Достаточно большое уменьшение модуля этих частотных характеристик должно приводить к повышению устойчивости. Так, если особо сильное влияние на колебания скорости газа в конце зоны горе­ ния оказывают колебания расхода топлива, поступающего в ка­ меру сгорания из головки 6 G°(AUG{i(o, I) — велико), то переход на систему подачи с малым значением <ро{ш) приведет к повы­ шению устойчивости системы.

Подставляя уравнение (6.1.7) в уравнение (6.1.3), получим

Совокупность частотных характеристик Qi образует вектор Q, t-я компонента которого описывает влияние колебаний давления около форсуночной головки на колебания i-ro параметра в се­ чении х зоны горения.

Условимся называть Q вектором обратной связи, поскольку его компоненты описывают влияние колебаний давления на зо­ ну горения.

На устойчивость системы оказывают влияние частотные ха­ рактеристики Qu(to), /), Qs(ia>, I) и QP(ia>, l).

Анализ зависимостей частотных характеристик Qu(i<o, х), Qs(ito, х) и Qp(im, х) от х при фиксированном значении © позво­ ляет выявить ту стадию процесса горения, динамические свойст­ ва которой при заданной системе подачи определяют устойчи­ вость в рассматриваемом районе частот. Отличие от аналогичной информации, которую можно получить из соответствующих строк матрицы А, сводится к тому, что вектор Q зависит не только от динамических свойств зоны горения, но и от динами­ ческих свойств системы подачи. Тем не менее, воспользовавшись несложными приемами, можно с помощью вектора Q провести столь же подробный анализ, что и с помощью матрицы А. Если, например, нужно выяснить, какой индивидуальный вклад в ко­ лебания скорости и энтропии в сечении I вносят колебания на­

Из этого следует, что все соображения об использовании матри­ цы А для анализа и физической интерпретации динамических свойств рабочего процесса в равной мере относятся и к вектору Q. Дополнительную информацию о динамических свойствах си­ стемы можно получить, исключив колебания отдельных пара­ метров около головки путем приравнивания нулю соответствую­ щих компонент вектора <р. По характеру изменений частотных характеристик Qu(i(o, I) и Qs(ia), /), возникающих в результате подобных процедур, можно установить индивидуальное влияние на устойчивость колебаний отдельных параметров около го­ ловки.

Характеристическое уравнение. После того как частотные характеристики отдельных звеньев замкнутого контура, пред­ ставленного на рис. 6.1, найдены, нетрудно получить характери­ стическое уравнение, соответствующее режиму малых гармони­ ческих колебаний вблизи положения равновесия. Воспользовав­ шись уравнениями (6.1.8), выразим 6ри 6щ и 6si через 6р° и,

162

чивости процесса горения в камере сгорания со сверхзвуковым соплом.

Скорость горения распыленного топлива в потоке газа в об­ щем случае определяется скоростями различных «элементар­ ных» процессов. К ним относятся: прогрев, испарение, разгон и дробление капель, смешение паров горючего с окислителем, хи­ мические реакции и т. п.

Будем считать условия протекания процесса горения такими, что характерные времена химической реакции и перемешивания в масштабах порядка межкапельного расстояния много меньше характерного времени испарения. В соответствии с этим ско­ рость горения может быть принята равной скорости испарения. Горение в описываемой модели заканчивается в том сечении, где полностью исчезает жидкая фаза.

Ограничимся рассмотрением систем смесеобразования, обес­ печивающих практическое отсутствие обратных токов (зон ре­ циркуляции) у головки камеры сгорания. Процесс горения в по­ добных системах смесеобразования поддерживается за счет самовоспламенения компонентов непосредственно после поступ­ ления их в камеру сгорания. Для этого требуется достаточно высокая температура окислительного газа или низкая энергия активации топливной пары.

Примем, что капли и газ равномерно распределены по сече­ нию камеры сгорания и все параметры процесса в силу этого зависят только от продольной координаты х. Таким образом, рассматривается одномерная постановка задачи. Она позволяет исследовать низкочастотные и продольные акустические колеба­ ния. Трехмерная модификация этих уравнений будет описана в разд. 6.3.

Перейдем к описанию отдельных элементарных процессов. Прежде чем описать движение газовой фазы, удобно рассмот­ реть элементарные процессы, определяющие скорость испарения капель, поскольку они существенным образом определяют про­ цессы в газовой фазе.

Дробление капель. Увеличение температуры и массы газа за счет горения и испарения капель вызывает его ускоренное дви­ жение. Возникающая вследствие этого разность скоростей газа и капель порождает аэродинамические силы, действующие на каплю. Последние при определенных условиях могут приводить к разрушению капель. Это явление носит название дробления капель. Оно характерно для скоростных камер сгора­ ния.

Дробление капель в основном определяется двумя видами сил: силой, определяемой скоростным напором, действующим на каплю, и касательными силами трения.

Интенсивность сил первого вида характеризуется числом Вебера, равным отношению силы аэродинамического давления к силе поверхностного натяжения:

164

где We — число Вебера; р, и — плотность и скорость газа; и, а — скорость и диаметр капли; а — коэффициент поверхностного на­ тяжения горючего.

Силы трения зависят от числа Рейнольдса

где \х— вязкость газа.

В зависимости от значений чисел Вебера и Рейнольдса, а так­ же от скорости их изменения наблюдаются разнообразные типы дробления капель. Области существования различных видов дробления капель в координатах We—We Re-0’5 приведены в ра­ боте [48], содержащей подробную библиографию. Из эксперимен­ тальных работ следует, что дробление капель возникает только в том случае, когда число We превышает некоторое критическое значение We*. В работе [55] отмечается, что необходимо разли­ чать механизмы дробления капель при условиях, когда число We близок к критическому и когда он значительно превосходит его.. Первый случай, как показывают расчетные оценки, реализу­ ется в скоростных камерах сгорания, второй — за сильными уда­ рными волнами. Характерной особенностью условий, складыва­ ющихся в скоростных камерах сгорания, является сравнительно плавное нарастание скорости потока, обдувающего каплю. В по­ добной ситуации наиболее вероятна реализация так называемой вибрационной моды разрушения капли, при которой она делится на две или несколько частей [55]. Критическое число Вебера We*, соответствующее этому режиму, лежит в пределах 4...24 [11, 48] (верхний предел согласно [11] соответствует квазистационарному нагружению). По данным работы [67] этот интервал несколько уже: 10,7...14.

Так как единичный форсуночный элемент создает пучок ка­ пель, то их распределение по сечению камеры сгорания неравно­ мерно. Пучки капель обладают аэродинамическим сопротивлени­ ем, поэтому газ их частично обтекает. В связи с этим скорость газа внутри пучка меньше его средней скорости. Последнее за­ трудняет процесс дробления капель. В моделях горения, не учи­ тывающих наличие пучков капель (подобных рассматриваемой в этом разделе), во всех уравнениях, описывающих горение, ис­ пользуется средняя по сечению камеры сгорания скорость газа. Ухудшение условий дробления капель внутри пучков в подоб­ ных случаях можно формально учесть, увеличив критическое зна­ чение We*.

После того как число Вебера достигнет критического значе­ ния, дробление капли происходит не сразу. Ему предшествует процесс деформации капли. Большинство эмпирических формул, описывающих зависимость времени деформации, предшеству-

165

ющей дроблению, от параметров системы, имеют следующую структуру:

(6.2.3)

где тд— время деформации; рж — плотность жидкости; k — не­ который коэффициент. Для камер сгорания в работе [67] реко­ мендуется Н= 1,65.

Простейшая идеализация процесса дробления капель, исполь­ зованная для расчетов стационарных режимов горения в работе [5], сводится к тому, что капля делится на две части, сразу после того как критерий дробления достигнет критического значения. В этих предположениях координата сечения, в котором происхо­ дит дробление, определяется условием

времени.

В следущем, но все еще грубом приближении можно принять, что капля дробится через время тд, после того как We достигнет критического значения. Капля при этом дробится на такое число равных частей, что повторное дробление вновь образовавшихся капель непосредственно после их образования не происходит. По­ следнее условие существенно, когда рост We в течение времени тд значителен.

Разобьем непрерывный спектр капель, создаваемый форсунка­ ми непосредственно у головки, на отдельные группы, в пределах которых диаметры капель имеют постоянное значение, зависящее от продольной координаты х. Условимся считать, что принадлеж­ ность капель к данной группе при дроблении не меняется (число капель, принадлежащих к данной группе, после дробления воз­ растает) *. В тех случаях, когда спектр капель разбивается на г групп, каждой группе капель соответствует свое соотношение вида (6.2.4).

Для упрощения записи уравнений примем, что при дроблении каждая капля делится на две части сразу после того, как We до­ стигнет критического значения, и что в процессе движения вдоль камеры сгорания наблюдается лишь одно дробление. Возможно

* Иногда вместо разбивки спектра капель на группы используется функ­ ция распределения [9], которая представляет собой вероятность того, что ра­ диус капли лежит в интервале г ... r+dr. При отсутствии дробления и числен­ ном интегрировании {dr — конечная величина) оба подхода эквивалентны.

При наличии дробления удобнее использовать разбивку спектра капель на группы.

166

обобщение описанной модели на случай нескольких дроблений и деления капли более чем на две части.

Уравнение движения капель. Будем считать, что все капли, принадлежащие к данной группе, обладают одинаковой ско­ ростью и не сталкиваются между собой и с каплями, принадле­ жащими к другим группам. Уравнения движения капель, отно­ сящихся к группе, имеющей порядковый номер s, могут быть записаны в виде

где s = 1, ..., Ir — индекс, обозначающий номер группы, к которой относится капля; г — число групп капель; ms— масса капли; cxs — коэффициент сопротивления капли; х — координата, отсчи­ тываемая вдоль оси камеры сгорания; vsGvs — общая форма за­ писи правой части, в которую для упрощения последующих вы­ кладок искусственно введен множитель vs.

В формуле (6.2.5) и далее индексы «—» и «+» указывают на то, что функция рассматривается соответственно слева или спра­ ва от подвижного сечения ls(t). В сечении l8(t) функция Fs скач­ ком меняет значение в результате изменения as, вызванного де­ лением капли.

Значения коэффициентов сопротивления капли, испаряющей­ ся в потоке газа, и твердой сферы, имеющей тот же объем, раз­ личны. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, аэро­ динамические силы сплющивают каплю, и она теряет сфериче­ скую форму. Во-вторых, пары горючего, образующиеся в резуль­ тате испарения, создают течение газа, направленное по норма­ ли к поверхности капли (Стефанов поток). Указанное явление, иногда называемое отдувом, приводит к возрастанию толщины пограничного слоя и, как следствие, к снижению коэффициента сопротивления. Эмпирические соотношения, служащие для вы­ числения cxs капли, согласно работе [47]'имеют вид

где c^xs — коэффициент сопротивления неиспаряющейся капли;

(6.2.8)

Vr<x>— массовая концентрация паров горючего на поверхности капли и в бесконечности соответственно (далее везде полагается Vroo=0); p s = p s ( T s) — давление паров горючего, являющееся за­ данной функцией температуры жидкой фазы; р — давление окру-

167

жающего каплю газа; р — отношение относительных молекуляр­ ных масс паров горючего и окружающего каплю газа; Ts— тем­ пература жидкости на поверхности капли.

Уравнение испарения капель. До сечения дробления ls(t) уравнение, описывающее изменение массы капли, относящейся к группе s, имеет вид

ловки камеры сгорания. После сечения ls(t) уравнение (6.2.9) следует заменить на уравнение

dt vs дх M f (x, t) (6.2. 10)

с граничными условиями, заданными на подвижной границе ls(t). При делении капли на две равные части это граничное условие имеет вид

Для упрощения сведем уравнения (6.2.9), (6.2.10) к одному уравнению вида (6.2.5). Введем с этой целью новую переменную ms, связанную со старыми переменными ms~ и ms+ соотношением

Физический смысл используемой замены переменных сводит­ ся к переходу от массы одной капли к сумме масс капель, обра­ зовавшихся из исходной в результате дробления. Из уравнения (6.2.12) следует, что функция fns непрерывна: ms(ls—0 ,0 = = ms(/s+ 0, (), а ее производная в сечении ls терпит разрыв. Ис­ пользуя непрерывность функции fhs, можно переписать цепочку уравнений (6.2.9) ... (6.2.11) в виде

Тильда в дальнейшем будет опущена.

Опишем теперь функцию Ms (индекс 5 временно опускаем). Закон испарения капли зависит от механизма сгорания паров го­ рючего, образующихся в результате испарения. При малых зна­ чениях скорости потока, обтекающего каплю, каждая капля ок­ ружена фронтом пламени. По мере увеличения относительной ско­ рости газа пламя сначала гаснет со стороны натекания потока, а

168

затем полностью срывается. После погасания капли скорость ис­ парения определяется разностью температур капли и газа, за­ полняющего межкапельный объем.

Согласно экспериментальным данным, приведенным в работе [26], срыв пламени для углеводородного горючего наблюдается при относительной скорости 2,5...5 м/с. С другой стороны, из тео­ рии горения известно, что критическая скорость, при которой еще возможно самовоспламенение капли, существенно меньше крити­ ческой скорости, при которой происходит срыв горения. В связи

сэтим в скоростных камерах сгорания складываются условия, при которых индивидуальные фронты пламени, окружающие единичные капли, не существуют. Здесь мы отходим от обычно используемого предположения о существовании индивидуальных фронтов пламени, окружающих единичные капли. В соответствии

сэтим примем, что скорость испарения определяется средней тем­ пературой газа, заполняющего межкапельный объем.

Отметим, что при малых значениях стехиометрического соот­ ношения компонентов, характерных для высококонцентрирован­ ных окислителей, имеется еще одно обстоятельство, исключающее возможность существования индивидуальных фронтов пламени, окружающих единичные капли. Расчеты показывают, что диа­ метры индивидуальных фронтов пламени уже при сравнительно невысоком давлении должны превосходить среднее расстояние между каплями, что из чисто геометрических соображений не­ возможно.

Согласно работам [47, 67] скорость испарения единичной кап­ ли может быть представлена в виде

задачах Рг«0,7); 0,27<с<;0,37. Числа Шмидта Sc и Льюиса Le принимаются равными единице. Иными словами, полагается

где \х— вязкость газа; К— коэффициент теплопроводности; ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Последнее со­ отношение позволяет не делать различия между тепловым и диф­ фузионным числами Нуссельта.

169

где ns — эффективное число капель в единице объема, при x<.ls(t) ns совпадает с действительным числом капель, по про­ хождении сечения дробления ns удваивается аналогично ms, см. уравнение (6.2.12); s = l , ..., г.

Уравнения прогрева капель. Вследствие теплообмена с ок­ ружающим газом температура капли в процессе ее движения вдоль камеры сгорания монотонно растет. Профиль температур по радиусу капли представляет собой некоторую кривую с мак­ симумом на границе капли и минимумом в ее центре. Крутизна этого профиля зависит от числа Фурье Fo=aox/r2, где а0— тем­ пературопроводность капли; т — время прогрева капли; г — ра­ диус капли.

Если Fo<^l, то температура в центре капли практически сов­ падает с начальной. При этом падение температуры от значения, соответствующего поверхности капли, до начальной сосредоточе­ но в весьма узкой области, примыкающей к поверхности. Таким образом, в предельном случае весьма малых значений числа Фурье температура капли в процессе испарения не меняется. Теплота, поступающая к капле за время dt, идет на прогрев и ис­ парение только той порции топлива, которая переходит в пар. Подобный режим будет в дальнейшем называться режимом по­ слойного испарения капли. Уравнение теплового баланса, соот­ ветствующее режиму послойного испарения, имеет вид

где Qs— тепловой поток, идущий к капле; Г«— температура по­ верхности капли; Ts° — начальная температура капли; сж — теп­ лоемкость жидкости; |(Г 8) — теплота испарения при температу­ ре Ts.

Тепловой поток, идущий к капле, можно записать в виде

где Г — температура газа в межкапельном пространстве; сР— среднее значение удельной теплоемкости при постоянном давле­ нии в интервале температур T...TS.

Подставляя соотношения (6.2.14) и (6.2. Г9) в формулу (6.2.18), получим соотношение, определяющее температуру по­ верхности капли в режиме послойного испарения:

cp{ T - T s) = V' s(T;± - Ы ^ - 7 1 ) - Н ( Г ,) ] .■ (6.2.20)

При больших значениях числа Фурье (практически достаточ­ но, чтобы Fo>0,3) капля успевает прогреваться по всему объ­ ему. В этом случае более реалистична другая модель прогрева: температура в каждой точке объема капли, включая ее поверх­ ность, имеет одно и то же значение, равное 7V, тепловой поток Qs, поступающий к капле, идет на ее прогрев и испарение. Этот ре­

170