книги / Неустойчивость горения

корней. Первый индекс т корня а тп соответствует порядку функ­ ции Бесселя, второй—указывает на номер корня. Полагая Dm= = 0, a kr равным найденному значению, получим

Решение уравнения (3.1.17) запишем в виде Хт=Х'тпе‘'‘таХ- После подстановки последнего выражения и соотношения (3.1.21) в уравнение (3.1.17) получим характеристическое уравнение для определения волнового вектора kmn'•

71

где Z+rnn и X“mn — П р О И З В О Л Ь Н Ы в П О С Т О Я Н Н Ы в .

Из полученных результатов следует, что каждой паре целых чисел т, п соответствует некоторое решение <pmn волнового урав­ нения (3.1.8), которое согласно уравнениям (3.1.13), (3.1.20) и

Поскольку изучаемая система линейна, то каждое из решений вида выражения (3.1.26) может рассматриваться независимо, а полное решение является суммой по всем значениям фтп.

Первые два сомножителя выражения (3.1.26), зависящие от г и 0, описывают стоячую волну поперечных колебаний, послед­ ний — волны, бегущие вдоль оси х*.

3.2. АКУСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

КАМЕРЫ СГОРАНИЯ С КОРОТКОЙ ДОЗВУКОВОЙ ЧАСТЬЮ СОПЛА

Классификация мод и собственных-частот колебания в цилин­ дрической камере сгорания. Значения частот колебаний, на кото­ рых наблюдаются резонансные максимумы АФЧХ акустического звена, а также формы (моды) этих колебаний близки к собствен­ ным частотам и формам колебаний консервативной системы ана­ логичной рассматриваемому звену **. Последнее позволяет ис­ пользовать для оценки значений частот резонансных максимумов АФЧХ собственные частоты колебаний консервативной системыаналога и на этой основе осуществить классификацию частот и форм колебаний.

Для цилиндрической камеры сгорания консервативной систе­ мой-аналогом является цилиндрическая полость с непроницаемы­ ми тбрцевыми стенками (М =0). Свободные колебания в такой системе описываются суммами потенциалов скорости cpmn, опре­ деляемых формулой (3.1.26), и дополнительными граничными условиями на торцевых стенках. Воспользовавшись соотношения­ ми (3.1.6), запишем условие непроницаемости торцевых стенок в виде

где L — длина цилиндрической полости.

* Бегущие вдоль координаты 0 волны (вращающиеся моды поперечных колебаний), которые можно было бы получить использовав в разложении

(3.1.10) вместо cos т 0 функции е /т0, здесь не рассматриваются. Отметим, что границы устойчивости для стоящих и вращающихся мод колебаний при одних

итех же значениях т , п совпадают.

**Причины, приводящие к этому, уже рассмотрены в разд. 1.4.

72

Полагая в уравнениях (3.1.23) и (3.1.24) М = О, находим

Подставив найденные таким образом значения %тп в соотно­ шение (3.2.2), получим формулу, определяющую значения собст­ венных частот колебаний,

Таким образом, исследование свободных колебаний привело к спектру собственных частот колебаний, задаваемому формулой (3.2.5). Каждому значению собственной частоты колебаний и каждой гармонике потенциала скорости <pmnz соответствуют три индекса: т, п, I, значения которых пробегают натуральный ряд чисел. Наличие трех индексов отражает трехмерный характер движения. Индекс т связан с движением в тангенциальном на­ правлении (по касательным к окружностям с центром на оси трубы), а индексы п и / — с движением в радиальном и осевом направлениях.

При т = а = 0 корень а тп = 0 и, следовательно, <ртп не зави­ сит от г и 0. Потенциал скорости <pmn в этом случае описывает колебания газа только в одном продбльном направлении. Подоб­ ная задача уже рассматривалась в разд. 1.4 (трубопрбвод с дву­ мя закрытыми концами). Амплитуды колебаний скорости и дав­

ным в разд. 1.4 несколько другим путем. Найденным значениям

73

Формула (3.2.7) имеет ту же структуру, что и вторая формула (1.4.16), найденная для продольных колебаний, и отличается от последней значениями собственных чисел: для продольных ко­ лебаний они равны я/, а в рассматриваемом случае — а„т-

Различают три основных моды (формы) поперечных колеба­

Для тангенциальных мод колебаний потенциал скорости <pmoo согласно уравнению (3.2.6) при фиксированном 0 изменяется про­ порционально Jm(<tmor/ro), а при фиксированном г — пропорцио­

бр'. Поскольку для любых тфО Jm при г= 0 равно нулю и моно­ тонно растет при изменении г/г0 от 0 до 1, то бр' имеет макси­ мальное значение на стенке камеры сгорания и обращается в ноль на ее оси. Если cosm0=O, то 8р'= 0 при любых г, откуда следует, что существует т узловых диаметров, разбивающих круг на 2т одинаковых секторов. Таким образом, значение т определяет число узловых диаметров, вдоль которых 8р'=0. На рис. 3.1 представлены линии постоянных амплитуд давления для первых двух мод тангенциальных колебаний. При некоторой фиксированной фазе колебаний сплошные линии соответствуют бр'> 0, пунктирные — 6 //< 0 . На рис. 3.1 и далее знаком «+» от­ мечены области повышенного давления, знаком «—» — области пониженного давления.

74

Для того чтобы получить картину линий тока, вдоль которых в продессе колебаний движется газ, обратимся к уравнению (3.1.$). При й = 0 они могут быть записаны в виде

(3.2.8)

Выражения, стоящие в правой части последнего соотношения, представляют собой векторное поле, имеющее то же направление, что и би', и, следовательно, имеющее те же линии тока *. Уравне­ ние (3.2.8) показывает, что линии, вдоль которых умещаются частицы газа в волне, совпадают с линиями наискорейшего убы­ вания скалярной функции бр'. Последнее, как известно из век­ торного анализа, указывает на то, что линии, вдоль которых сме­ щаются частицы, перпендикулярны линиям постоянного уровня: 6 р '= const.

Таким образом, при й = 0 линии 6p'mno=const и q)mjl0=const совпадают, а линии тока, вдоль которых происходит смещение частиц газа, пересека'ют их под прямыми углами.

Направление смещения частиц газа в волне приведено в ниж­ ней части рис. 3.1.

Составляющая скорости би* достигает максимума при r/r0= 1 и обращается в нуль на оси камеры сгорания. При г Ф 0 она пе­ риодически меняется при изменении угла 0. Для всех тангенци­ альных мод колебаний, за исключрнирм пррчпй, радиальная ско­ рость на оси камеры сгорания равна нулю. Поскольку на стенке она тоже равна нулю, то амплитуды радиальных скоростей про­ ходят в интервале изменения г/г0 от 0 до 1 экстремальные зна­ чения. Радиальные пульсации всегда больше, чем тангенциаль- - ные. По мере повышения порядка тангенциальной моды основные изменения давления и скорости все в большей мере сосредоточи­ ваются в районе, примыкающем к стенке камеры сгорания.

Наиболее низкая частота тангенциальных колебаний реализу­ ется на первой тангенциальной моде, для которой согласно табл. 1 аю = 1,841.

Опишем теперь радиальные колебания. Поскольку для ради­ альных колебаний т = 0, то Ьр', бы/, бы/ не зависят от угла 0. В соответствии с этим линии 6p'=const представляют собой кон­ центрические окружности с центром, лежащим на оси камеры сгорания, а линии, по которым смещаются частицы газа в вол­ не,— их радиусы. В интервале изменения г/г0 от 0 до 1 функция /о (аопг/го) п раз обращается в ноль. Из этого следует, что при реализации п-й моды радиальных колебаний возникает п узловых окружностей, вдоль которых б //= 0 , а амплитуда бы/ макси­ мальна. На рис. 3.2 показаны линии 6p'=const и смещения час­ тиц газа для первых двух мод радиальных колебаний. Здесь, как

* Выражение — to)6u описывает колебания, фазы которых смещены отно сительно фазы скорости на —л/2.

75

В этом уравнении все параметры относятся к начальному се­ чению сопла.

Пренебрежём влиянием волн энтропии. Тогда колебания дав- v ления и температуры будут связаны уравнением адиабаты, вос­ пользовавшись которым приведем соотношение (3.2.9) к виду

Индексы тп, п в этих выражениях указывают на то, что рас­ сматривается тп-я гармоника поперечных колебаний, верхний индекс 0 относится к параметрам, соответствующим начальному сечению, в котором вычисляется импеданс.

Из соотношений (3.1.6) и (3.1.7) следует, что

^ ; *~=-«(тг-ЁГ+№«‘‘..)- (3'2Л2)

После подстановки в эти соотношения значения <pmn, задан­ ного выражениями (3.1.26) и (3.1.23), получим

+[1 + М (1 - М) k°mn] е"***} е'ш<,

где гр!_и ч|?2—^овые произвольные константы, связанные со ста­

рыми Х + тп и Х ~ тп С 0 0 Т Н 0 Ш 6 Н И Я М И

Из формулы (3.2.13) видно, что если k+тп и k~mn действительные положительные числа, то распространение возмущений давления и скорости вдоль оси определяется суперпозицией двух волн, од­ на из которых направлена по потоку, а другая — против него. Фа­ зовые скорости этих волн соответственно равны

77

Случай комплексных значений 'k+mn и k~mn будет рассмотрен

отдельно.

Подставив решения (3.2.13) в граничное условие при x = L , т. е. в уравнение (3.2.10), найдем отношение

АФЧХ, обратная импедансу камеры сгорания, называется про­ водимостью. Для того чтобы получить АФЧХ акустического зве­ на, воспользуемся соотношением, связывающим колебания ско­ рости газообразования с колебаниями скорости и давления в на­ чальном сечении,

Из уравнения (3.2.18) непосредственно следует выражение для АФЧХ акустического звена

Рассмотрим сначала продольные моды колебаний. Для про­ дольных колебаний <xmn = 0 . После подстановки этого значения в формулу (3.1.21), используя формулы (3.1.22), (3.1.23) и (3.2.15), находим ^+ = м + с и W~=й—с (индексы т и п для продольных колебаний в дальнейшем опускаются). Полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с найденным в разд. 1.4, где рассматривалась задача о вынужденных колебаниях жидкости в трубопроводе. Уравнения (3.2.13) в рассматриваемом случае приобретают вид

Нетрудно видеть, что последнее соотношение можно получить из формул (1.4.12). Для этого достаточно заметить, что в случае га­ за кв— кМ., и представить все переменные в виде произведения амплитуд на гармонический множитель ег“*.

78

Из формулы (3.2.17) нетрудно получить выражение для про­ водимости камеры сгорания в случае продольных колебаний, которое в дальнейшем будет использовано в разд. 7:

Можно показать, что годограф, описывающий проводимость т камеры сгорания, представляет собой окружность с радиусом R,

/?+ (* —1)/(2х) от начала координат. При возрастании о вектор годографа проводимости камеры сгорания вращается щх.часовой стрелке, совершая полный оборот при изменении Фо на я. Мини­ мальное значение | с (tco) | , и, следовательно, максимальное зна­ чение | вр°/би°|, которое соответствует резонансу, достигается при ■Оо=я/. Воспользовавшись формулой (3.2.22) для определения ■б’о, нетрудно получить выражение для резонансных частот колебаний

Из выражения (3.2.24) следует, что при М2<С1 резонансная час­ тота колебаний совпадает с собственной частотой трубы, закры­ той с обоих концов (см. разд. 1.4). Увеличение числа М приводит к снижению собственных частот колебаний.

Причина, приводящая к снижению собственных частот коле­ баний, заключается в следующем. Период собственной частоты колебаний определяется суммарным временем прохождения аку­ стической волной от начала трубы до ее конца и обратно. При движении газа в направлении возрастания х это время равно: T=L/(c-\-U)+L/{c—M) = 2L/[(1—М2)с]. С увеличением числа М оно возрастает, поскольку выигрыш во времени прохождения акустической волны по направлению потока газа меньше поте­ ри, возникающей при распространении волны против потока. В связи с этим акустическая длина камеры сгорания La= T c/2=

Если to и число М малы, то coL/c<Cl и sin 2б,о=2'0'о. Подставив эти значения величин в формулы (3.2.21) и (3.2.22), после отбра-

79

Рис. 3.3. АЧХ акустического звена при продольных колебаниях

сывания членов порядка М и использования формулы (3.2.19) получим приближенное выражение для обратной АФЧХ акусти­ ческого звена

Это выражение отличается от использованного в теории низ­ кочастотных колебаний множителем 1/х, происхождение которо­ го обсуждалось в разд. 1.3.

На рис. 3.3 представлено АЧХ акустического звена при про­ дольных колебаниях для числа Маха М =0,1. В качестве безраз­ мерной частоты на этом рисунке используется параметр ФоАЧХ содержит бесконечное число резонансных максимумов. Все они одинаковы, равны 2х/(х+1) и отстоит друг от друга на

Изменение числа М не влияет на значение резонансных мак­ симумов, что же касается минимальных значений, то они растут вместе со значением М, максимумы при этом уширяются.

Если потеря, устойчивости обусловлена тем, что колебания давления тем или иным способом меняют скорость горения, то чем больше |6p°/6Gr |, тем система при прочих равных условиях более склонна к потере устойчивости. При малых значениях этой величины возможность потери устойчивости затруднена.

Из сказанного следует, что потеря устойчивости в основном должна наблюдаться вблизи значений % = 0 (низкочастотные колебания) и Оо—Jtn (продольные колебания).

Исключения из этого правила имеют место в некоторых спе­ циальных случаях, когда возникает необходимость во внесении поправки на распределенность системы в задачах теории низко­ частотных колебаний. Наиболее часто подобного рода ситуация встречается при потере устойчивости, обусловленной колебания­ ми массового соотношения компонентов *. Следует подчеркнуть,

* См. рассмотренные в разд. 1.3 ветви границ устойчивости, соответствую­ щие сравнительно большим значениям частоты колебаний.

80