книги / Неустойчивость горения

где <J>s=Wes—We*; Wes — значение числа Вебера для капель, относящихся к группе 5; 5=1,..., г.

Каждое из этих уравнений в общем случае имеет несколько корней. Условимся под ls понимать всю совокупность корней уравнения (6.3.4) при фиксированном 5. Для конкретного корня введем обозначение 18ф, где / — порядковый номер корня.

В общем случае движение поверхностей задается некоторым алгоритмом, описывающим физическую модель процесса. Так, если принять, что дробление наступает через некоторое время тд, после того как число We достигло критического значения, то уравнение (6.3.4) будет определять значение координаты /*s(j), по прохождении которой начинается деформация капли, закан­ чивающаяся через время тд ее дроблением (см. предыдущий раз­

дел).

Конкретная функция G* зависит в общем случае не от всех ls. Для рациональной организации алгоритма расчетов на ЭВМ целесообразно объединить все сечения /S(j), от которых зависит данное Gh в одну совокупность Ц. При использовании этого обо­ значения аргументы правых частей уравнений (6.3.1), (6.3.2)

приобретают вид

Конкретные примеры разрывных правых частей были приведены

в предыдущем разделе.

Начальными условиями для системы дифференциальных уравнений (6.3.1) и (6.3.2) являются значения основных пере­ менных у головки смесеобразования (в сечении х = 0 ). Все пе­ ременные, относящиеся к этому сечению, будут в дальнейшем снабжаться верхним индексом ноль: F°i (^), Х0,-^).

Положив равными нулю производные по времени в уравне­ ниях (6.3.1) и (6.3.2) _и проинтегрировав их с начальными усло­ виями У^(0) = У 04 и Xj(0)=X°j, получим значения параметров Xj(x) и Уг(х) на стационарном режиме.

* Размеры окрестности ограничены условием отсутствия в ней других се­ чений дробления.

181

С тем чтобы осуществить линеаризацию системы уравнений (6.3.1), ( 6 . 3 . 4 ) вблизи стационарного режима, представим Yu

Xj и lS(j) в виде

Vi ( х у t) = Y i(x ) - \ - b Y i (х);

t's(j) ( 0 = ^s(j) “Ь ^ s(j) (0>

где 6Y'i, 6X'jy 8lS(j) — малые отклонения от стационарных значе­ ний. После подстановки уравнений (6.3.7) в уравнение (6.3.3) и линеаризации находим

Здесь и в дальнейшем по дважды повторяющимся индексам со штрихом производится суммирование.

Переходя к безразмерным отклонениям и более .компактной

где 6Х и 6Y— векторы с компонентами bX'j/X°j и bY'j/T0,; FA- и Fy — матрицы с элементами X°kdFj/dXk и Y°idFj/dYу, F°i и X°j— масштабные значения соответствующих величин, используемые

для получения безразмерных отклонений (бК,-= F ° j6Kj> 8X'j= X°j8Xj). Во всех особо не оговоренных случаях F °i= F °{ и X°j=

но имеет тот же порядок малости. Таким образом, по условию сечения дробления при колебаниях остаются в пределах выде­ ленных окрестностей.

Линеаризацию осуществим в два этапа: сначала линеари­ зуем уравнения вне выделенных окрестностей, а затем в их пре­

делах.

Произведя линеаризацию уравнений (6.3.1) и (6.3.2) вне вы­ деленных окрестностей, получим

182

Переходя к безразмерным переменным и исключив, восполь­ зовавшись уравнением (6.3.11), 6Xky после объединения уравне­ ний (6.3.12) и (6.3.13) в одну систему получим

ведливы и в том случае, когда окрестности 2е не выделены, од­ нако сечения lS(j) неподвижны.

Выполним теперь линеаризацию в окрестности подвижного сечения. Функция G2 согласно уравнению (6.3.5) в интервале 2е терпит разрыв.

Прежде чем приступить к линеаризации G* в этой окрестно­ сти, введем в интервале Ъи)—е... Zso) + e две непрерывные вмес­ те со своими первыми производными функции: G“<и G+t. Первая из них совпадает с G^ в левой части интервала вплоть до по­ движного сечения разрыва, а далее произвольна, вторая, напро­ тив, совпадает с G* правее поверхности разрыва, а слева от нее произвольна. Воспользовавшись функциями G+* и G“i, предста­

X

где у(х)'= J 8 (л:') dx' — ступенчатая функция, равная нулю при

— во

л;<0 и единице при х>0; 8 (х') — 6-функция Дирака.

183

Так как

у(/-[- Ы—х) = у (/ — х) -}-8 (/ — Xs) Ы—|—О (S/2);

у( х —! - Ы ) = у ( х - 1 ) - Ъ ( х - 1 ) 8/-(-0(8/2), после линеаризации уравнения (6.3.19) получим

О, (х, t) = О, + [у {lsU) - х) ЬО~ + Y (х - ls(j)) ЮТ] +

Второе слагаемое правой части выражения (6.3.20) есть ни что иное, как выражение, определяющее 6G/ при отсутствии дви­ жения сечения разрыва. Третье слагаемое описывает дополни­ тельное отклонение G* от стационарного значения, обусловлен­ ное движением сечения /5(/)е /‘. Формально это добавка сущест­ вует при всех значениях х. Фактически благодаря свойствам 6-функции она сосредоточена в сечении lS(j)9 однако имеет беско­ нечно большое значение.

Общий вклад от движения всех сечений будет, очевидно, вы­ ражаться суммой членов вида 6(д:—lS(j)) AGi6/S(j), взятой по всем

~lsW«l

Полное возмущение правых частей уравнений (6.3.1) и (6.3.2) будет равно сумме SG'i и 6G"it поэтому, исходя из уравнений (6.3.12),..., (6.3.15), получим

Для того чтобы замкнуть систему уравнений (6.3.22), необхо­ димо задать зависимость колебаний положений сечения дробле­ ния 6lS(j) от колебаний основных переменных бКг. Поскольку за­ дача линейна, то независимо от физической модели явления связь между 6/5(я и 6Кг тоже линейна:

от особенностей принятой модели дробления действие операто­

ра Си на переменную 6У* может сводиться к умножению на чис­ ло, дифференцированию, интегрированию или комбинации всех этих операций.

Поясним сказанное двумя примерами. В первом из них дроб­ ление наступает, когда число Вебера достигает критического

184

значения, во втором — по истечении времени тд после этого мо­ мента. Значение тд при этом зависит только от параметров в се­ чении lS(i), см., например, формулу (6.2.3).

Вычислим предварительно колебания параметров системы в подвижном сечении lS(j).

Отклонение функций Yi(Uy), t) и Xi(lS(j), t) от стационарных значений обусловлено двумя обстоятельствами: отклонением от стационарных значений переменных Yi(x, t) и Х г ( х , t) и смеще­ нием координаты La), которой определяется переменная. В соот­ ветствии с этим в линейном приближении получим

Производные по x в формулах (6.3.24) и во всех последующих формулах берутся слева от сечения х._Последнее существенно, так как функции У,- и ! ; в сечении x=Tsu) имеют излом (слабый разрыв).

Если предположить, что дробление капли происходит, сразу после того как число Вебера достигает критического значения (иными словами, пренебречь временем дробления), то положение сечений дробления определяется соотношениями типа (6.3.4). Подставив в них выражения (6.3.24), после линеаризации нахо­ дим

(dWe/dx)8l.

Из уравнения (6.3.25) после несложных преобразований, при которых используем формулу (6.3.11), получим

185

Из сопоставления формул (6.3.26) и (6.3.27) с формулой (6.3.23) следует, что в условиях первого примера действие опе­

ратора LKсводится к умножению компоненты 8 Yk(lS0 ), t) на не­ которое действительное число Lh(TS(j)), определяемое формулой (6.3.27).

Перейдем теперь ко второму примеру. Если момент дробления капли отдален от момента, когда число Вебера достигает крити­ ческого значения, временем тД5(/), то координата сечения дробле­ ния l*S(i) будет зависеть от трех параметров: координаты капли lS(i) в момент i/°, когда We=We*; значения Тд*^); скорости капли vs(x, t) в течение интервала времени t° ... /°+Тд*у).

Зависимость 81*sa) от 8lS(j), 8тЛЗ(п, vs(x, t) линейна. Воспользо­ вавшись этим, запишем ее, временно опустив индексы «$(/)»:

торая обусловлена изменением v(x, t) при стационарных значе­ ниях I и тд.

Для того чтобы вычислить 8L, положим v(x, t ) —v{x). Коор­ динату сечения, в котором при этих условиях происходит дроб­ ление, обозначим через lw. Капля, прошедшая в момент t° сече­ ние l=lo+8 l(t°), достигнет сечения дробления в момент <°+тд-|-

+ 6тд, отсюда /и)= 7«)+6М^0+Тд+6тд). На прохождение дополни­ тельного (по сравнению^ со стационарным) пути 81(t°) она затратит время 8l(t°)/v(lo), а на прохождение дополнительного

(6.3.26). В рамках принятой идеализации процесса тд является функцией параметров системы в подвижном сечении /, определя­ емом условием We=We*, см. уравнение (6.2.4),

186

рое— вследствие того, что это сечение сместилось относительно стационарного положения на 6/.

После подстановки соотношений (6.3.26) и (6.3.32) в уравне­

Для ТОГО чтобы ВЫЧИСЛИТЬ 6/ю, ПОЛОЖИМ 1= 1 о И Т д= Т д . Пусть

капля в момент t° находилась в сечении 1о. Обозначим ее коор­ динату в момент t через z(t, t°). Перейдем от эйлерового описа­ ния движения капель посредством поля скоростей v(x, t) к лагранжеву. Переменная t° в функции z(t, t°) будет играть в этом случае роль метки, указывающей на то, какая именно капля рассматривается. Воспользовавшись заданным полем скоростей

V (х, t)=v + 8v' (х, t), получим

Iо

где t(z) — время, в течение которого капля проходит путь от се­ чения Г0 до сечения z в стационарных условиях. Перейдем от пе­ ременной t к переменной т. Координата капли в новых перемен­ ных запишется в виде z(x, /°). Из уравнений (6.3.36) и (6.3.38)

следует z(0, t°)=l0; z(тд, (°) =М Г°+гд). После перехода в по­ следнем соотношении к текущему времени t=tt°+xR получим

сле линеаризации уравнения (6.3.35), перехода к переменной т и

187

использования уравнения (6.3.37) получим дифференциальное уравнение

Из уравнения (6.3.39) непосредственно следует

Таким образом, задача определения 8lv сводится к интегрирова­ нию уравнения (6.3.40) с начальным условием 8z(0, /°) =0.

Интегрирование линейного уравнения Бернулли при заданном граничном условии приводит к соотношению

После подстановки выражений (6.3.34) и (6.3.45) в формулу (6.3.28) окончательно находим

188

Итак, влияние времени тд приводит к тому, что движение сечения дробления определяется формулой (6.3.46). Напом­ ним, что для упрощения записей индекс «s(j)» был временно опущен. Из сопоставления выражения (6.3.46) с выражением (6.3.23) следует, что в рассматриваемом случае £K(?so)) пред­ ставляет собой сумму интегрального оператора и оператора вре­ менного сдвига.

Возвращаясь к уравнениям (6.3.22) и (6.3.23), запишем ре­ зультат линеаризации системы уравнений (6.3.1),..., (6.3.3) и не­ которой физической модели, описывающей движение сечений дробления, в виде

ния на ЭВМ форму, которая в дальнейшем применяется в каче­ стве стандартной. Из уравнения (6.3.47) следует, что слабый раз­ рыв функций бУ, имевший место при фиксированном положении

сильного разрыва (фронт пламени), то граничное условие в сече­ нии х = 0 определяет решение только на участке, лежащем до поверхности разрыва. Граничными условиями для интегрирова­ ния уравнений типа (6.3.47) на последующем участке являются значения бУ* непосредственно за поверхностью сильного разры­ ва. Поскольку задача рассматривается в линейном приближении, то связь между основными переменными до и после поверхности сильного разрыва линейна и может быть представлена, как это было показано в работе [56], в виде

где Тф— стационарная координата фронта пламени; б/ф — откло­ нение положения фронта пламени от стационарного значения; L*ik\ А** — элементы матрицы и вектора, полученные в резуль­ тате линеаризации соотношений, связывающих значения основ­ ных переменных до и после фронта пламени.

Первре слагаемое в правой части уравнения (6.3.48) связыва­ ет параметры до и после сечения сильного разрыва для непо-

189

Оконкретной физической моделью, принятой для описания движения фронта пламени, и

имеет ту же структуру, что и формулы (6.3.26):

ся выбранным законом движения фронта пламени. Соотношения, позволяющие найти значения L*ik и L***, при­

ведены в работе [56]. В качестве иллюстрации способа получе­ ния этих соотношений рассмотрим уравнение сохранения массы газа.

Для того чтобы описать динамические свойства поверхности сильного разрыва, поместим ее между неподвижными сечения­ ми 1 и 2 (рис. 6.2). Сечение 0 соответствует стационарному поло­ жению фронта пламени, а Ф — текущему, при котором он отстоиз от своего стационарного положения на 6/ф(/). Будем считать, что расстояние между сечениями 1 и 2, равное 2е, имеет тот же порядок малости, что и 6/ф(/), однако 8>тах6/ф.

Задача описания динамических свойств поверхности разрыва сводится к определению зависимостей между параметрами газа в сечениях 1 и 2 .

Уравнение сохранения массы газовой фазы в объеме vy огра­

где р — плотность газа; и — скорость; gm— плотность и с т о ч н и к о в вещества; а — поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем V.

В левой части этого уравнения записана скорость изменения массы газовой фазы в объеме v, возникающая вследствие поступ­ ления газовой фазы через поверхность, ограничивающую объем (первый член правой части), и из источников вещества (второй член). Роль последних в задачах горения играют испаряющиеся или горящие капли топлива. Обращаясь к рис. 6.2 и опуская чле­ ны второго порядка малости, получим выражение

— F { h — Рг) 8/ф+0(®2),

190