книги / Неустойчивость горения

Иными словами, звено воздействует само на себя. В подобных случаях принято говорить о наличии обратной связи*. Когда сигнал обратной связи, прежде чем поступить на вход звена, ко­ торое охватывает эта связь, преобразуется некоторым другим звеном, как это показано на рис. 1.7, б, то последнее называется

что ее наличие является необходимым условием возникновения неустойчивости.

После определения структурной схемы следующим этапом применения метода частотных характеристик является изучение динамических характеристик изолированных динамических звеньев. Обычно при этом изучаются малые отклонения парамет­ ров системы от их стационарных значений. Последнее позволяет осуществить линеаризацию уравнений динамики звеньев вблизи стационарного режима. Динамические свойства полученных та­ ким образом линейных звеньев описываются с помощью так на­ зываемых частотных характеристик.

Пусть в момент ^=0 на вход устойчивого линейного звена по­

где bz{— сигнал на входе в звено (входная координата); 16zi | — амплитуда колебаний на входе в звено; (pi — фаза колебаний на входе в звено; со — частота колебаний.

Так как звено устойчиво и линейно, переходной процесс, вы­ званный включением сигнала бzu по прошествии достаточно большого отрезка времени практически полностью угасает, пос­ ле чего на выходе звена устанавливаются гармонические колеба­

* В теории регулирования иногда этот термин используется в несколько -более узком смысле, а именно: под ним понимается сигнал воздействия уп­ равляемого процесса на орган управления, регулирующий процесс.

21

ния, имеющие то же значение частоты, что и входной сигнал, но другую амплитуду и фазу:

Здесь индекс «2» показывает, что параметр относится к выход­ ным координатам.

Каждому значению частоты в общем случае соответствуют свои значения \bz2\ и фг. В установившемся режиме, таким обра­ зом, воздействие гармонического сигнала на линейное звено мож­ но охарактеризовать двумя функциями частоты, одна из которых показывает, во сколько раз изменилась амплитуда, а вторая,— на сколько изменилась фаза гормонических колебаний в резуль­ тате прохождения через звено:

следуемое звено линейно, |Л(<о) | и q>(w) не зависят от амплиту­ ды входной координаты.

Воспользуемся теперь полярной системой координат, взяв в качестве угла фазу <р (со), а в качестве радиуса-вектора | Аг (со) (. Поскольку разным значениям со соответствуют различные значе­ ния | ^ (со) | и ф(со), то, меняя со в интересующем интервале час­ тот, мы получим некоторую кривую, которая носит название годо­ графа амплитудно-фазовой частотой характеристики (АФЧХ).

АФЧХ допускает компактную и удобную форму записи в виде

Нетрудно видеть, что при обычно принятой записи гармониче­ ских колебаний в комплексной форме (6z = 6zeiC0t)/5(/co) равно отношению комплексных амплитуд выходного и входного сиг­ налов:

k(i<s>)=bz2/bz1. (1.2.5)

АФЧХ содержат тот же объем информации, что и исходные уравнения математической модели, однако в отличие от послед­ них они в ряде практически важных случаев могут быть опреде­ лены экспериментально * и, кроме того, дают наглядное описа­ ние динамических свойств объекта (резонансов, фазовых сдви­ гов и т. п.). Помимо этого, АФЧХ допускают изолированное исследование отдельных динамических звеньев, что существенно упрощает исследования.

* Для^ экспериментального определения АФЧХ необходимо, чтобы звено было устойчиво. Если же АФЧХ определяется по системе дифференциальных уравнений, то подобное требование отсутствует.

22

= 6реш , 6Оф=бСфе‘0)*. Подставив эти выражения в выражение ( 1.2.6), после деления на бр получим

где 6(7ф и бр — комплексные амплитуды соответствующих ве­ личин.

Уравнение (1.2.7) является искомой АФЧХ. В данном случае она представлена всего лишь одной точкой, лежащей на дейст­ вительной оси, что соответствует фазовому сдвигу ф= я.

Записав уравнение (1.1.4) в малых безразмерных отклоне­ ниях:

точно так же как и в предыдущем случае, получим АФЧХ звена процесса горения

АЧХ и ФЧХ этого звена будут, как это следует из уравнения (1.2.9), равны

Уравнение (1.2.9) описывает окружность единичного радиуса, представленную на рис. 1.8, а, где в качестве параметра отло­

жена безразмерная частота и = (от в интервале от 0 до 2я. При

изменении о от 0 до 2яп, точка АФЧХ п раз обегает окружность. Таким образом, зона горения в рассматриваемом случае не уси­

23

Рис. 1.8. АФЧХ отдельных звеньев:

где kA— АФЧХ акустического звена.

На рис. 1.8, б представлен годограф этой АФЧХ. В качестве параметра на нем отложено значение <втп. Из рисунка видно, что чем больше частота колебаний со и время пребывания тп, тем меньше при одном и том же значении амплитуды колебаний •расхода газа амплитуда колебаний давления. Рост ютп приводит также к тому, что фаза колебаний давления отстает от фазы ко­ лебаний расхода. При отп-^оо отставание фазы стремится к я/2.

Зная АФЧХ отдельных звеньев, можно вновь получить ха­ рактеристическое уравнение (1.1.15). Поскольку система замк­ нута, то

Подставляя в соотношение (1.2.13) полученные ранее выра­ жения для АФЧХ отдельных звеньев, после несложных преобра­ зований перейдем к характеристическому уравнению.

^ Решим теперь характеристическое уравнение, воспользовав­ шись соотношением (1.2.13), графически. Подобные построения позволяют в дальнейшем получить простой качественный анализ влияния на устойчивость ряда дополнительных факторов.

Записав выражение (1.2.13) в виде k\k2=kA~x и подставив в это выражение полученные ранее расчетные соотношения для k u

24

где kp.n=kik2— АФЧХ укрупненного звена, объединяющего звенья системы подачи и процесса горения.

Это укрупненное звено ранее названо звеном рабочего процес­ са. Входной координатой этого звена являются колебания давле­ ния, выходной — колебания расхода газа, выходящего из зоны горения. Эта АФЧХ (см. рис. 1.8, в) описывается окружностью с радиусом, равным h~l. Точка, соответствующая со = 0, лежит на действительной оси слева от начала координат. Правая часть уравнения (1.2.14), являющаяся обратной АФЧХ акустического звена, соответствует вертикальной прямой линии, отсекающей на действительной оси отрезок единичной длины. Точки пересечения окружности и прямой дают, очевидно, такие значения постоянных /г, т и тп, при которых действительная часть корня характеристи­ ческого уравнения равна нулю. На рис. 1.8, в приведёно построе­ ние для трех значений h. Из построения видно, что при А_15>1 решение отсутствует и, следовательно, действительная часть корней не меняет знака. Поскольку, с другой^стороны, при А-*-оо

структурной схемы содержит тот же объем информации , что и полная система уравнений, описывающая её динамику. Это по­ зволяет найти специальные критерии определения устойчивости, основанные на непосредственном анализе годографа АФЧХ (кри­ терии Михайлова, Найквиста и т. д.). Применение подобных кри­ териев особенно удобно в тех случаях, когда требуется опреде­ лить устойчивость системы при конкретно заданных значениях ее параметров. Поскольку подобная постановка задачи нами в даль­ нейшем не рассматривается более подробно, на этом вопросе ос­ танавливаться не будем.

Энергетический метод. Рост амплитуды колебаний, возника­ ющий после потери устойчивости, свидетельствует о росте энер­ гии колебаний системы. В рассматриваемом классе задач энергия колебаний имеет механическую форму. Ее значение определяется амплитудами колебаний давления и скорости газа. Возрастание энергии колебаний в замкнутой системе возможно только в том случае, если она содержит динамическое звено, совершающее положительную работу. Таким образом, наличие подобного звена является необходимым (но недостаточным) условием потери устойчивости. Из этих же соображений следует, что отсутствие в в системе звена, способного генерировать колебательную энер­ гию, является достаточным условием устойчивости.

В своей простейшей форме энергетический метод при реше­ нии задач вибрационного горения формулируется в форме прин­ ципа Рэлея [60]. Согласно этому принципу необходимым услови­ ем потери устойчивости в системе, содержащей источники теп­ лоты, является такое фазовое соотношение между колебаниями давления и подводом теплоты, при котором подвод теплоты про­

25

исходит при более высоком давлении, чем его отвод*. Количе­ ственная формулировка принципа Рэлея сводится к вычислению работы, совершаемой зоной горения. Если условия принципа Рэлея выполнены, то часть тепловой энергии переходит в меха­ ническую, подобно тому, как это происходит при работе порш­ невого двигателя. В работе [56] было отмечено, что источником механической энергии при горении может быть не только тепло­ та, но и изменение массы газа и его кинематической энергии.

В рассмотренной модели возникновения низкочастотных ко­ лебаний количество теплоты, подводимой к единице массы газа, равной количеству теплоты сгорания топлива, имеет постоянное значение. Тем не менее среднее значение механичской работы, совершаемой газом за период колебаний, не равно нулю вслед­ ствие колебаний скорости газообразования. С энергетической точки зрения колебания количества подводимой теплоты и веще­

энергии выделенного объема газа в единицу времени. Из приве­ денного выражения видно, что энергия единицы массы газа складывается из кинетической энергии (и2/2) и внутренней теп­ ловой энергии (cvT).

Член рu(u?/2+cvT)do описывает энергию, вытекающую че­ рез элемент поверхности объема в единицу времени и равную скалярному произведению потока энергии на площадь элемента поверхности. Член pudo соответствует изменению энергии объе­ ма газа в единицу времени за счет работы внешних сил давле­ ния (работа, совершаемая на элементе поверхности do за время dt, равна скалярному произведению силы pdo на перемещение udt). Взятый с обратным знаком этот член равен работе, кото­ рую совершает газ, заключенный в выделенном объеме, над всем остальным газом.

Рассмотрим объем, образованный боковой стенкой камеры сгорания и двумя перпендикулярными оси камеры сгорания се­ чениями, одно из которых совпадает с плоскостью форсуночной головки (будем его называть левым), а другое отстоит от нее на небольшом, но достаточном, для того чтобы включить зону горе­

* Для этого необходимо, чтобы фазовый .сдвиг лежал в интервале —я /2 < < Ф < я /2 .

26

ния, расстоянии (будем называть его правым). Напомним, что под зоной горения, как и ранее, понимается весьма небольшая область, где сгорает основная масса топлива. Поскольку скорость газа по левой и боковой границам равна нулю, то работа, совер­ шаемая газом, заключенным в выделенном объеме, или, другими словами, механическая энергия, генерируемая зоной горения, за период колебания будет равна

скорость газа на выходе из зоны горения; to— период колебания. Представив теперь давление и скорость в виде р=р + 8р' и и=й+бы' и учитывая, что 8р' и би' периодические добавки, полу­

чим

Отметим, что при вычислении А причины, вызвавшие коле­ бания скорости бы, несущественны. Выражение (1.2.17), следо­ вательно, в равной степени справедливо как при возбуждении колебаний теплотой, так и расходом продуктов сгорания, посту­ пающих из зоны горения.

Воспользовавшись выражением, связывающим расход газа с плотностью и скоростью: GT=Fpu и уравнением состояния, не­ трудно получить соотношение

Согласно модели горения, основанной на времени запаздывания, сгорание жидкого топлива по прошествии времени т происходит за бесконечно малый отрезок времени (мгновенно). Из этого сле­ дует, что подвод теплоты реакции к газу, образующемуся из жид­ кого топлива, осуществляется в процессе р = const. В соответст­ вии с этим колебания теплоты сгорания бЯ' связаны с колеба­ ниями температуры соотношением

ЬН'=срТЬТ, или ЬН— ЬТ, или ЪН=ЪН'1(срТ), (1.2.19)

где бН' — отклонение теплоты сгорания топлива от его стацио­

где A0— средняя работа за период колебаний.

27

Из формулы (1.2.20) следует, что работа в зоне горения мо­ жет генерироваться как подводом газа бGr, так и подводом теп­ лоты 6Я. В рассматриваемой задаче работа на левой границе объема равна нулю. В противном случае из Л0 необходимо вы­ честь член, учитывающий работу сил давления на левой гра­ нице.

Для рассмотренного в предыдущем разделе расходного меха­ низма возбуждения низкочастотных колебаний 6Я=0, а бGT свя­ зано с колебаниями давления соотношениями (1.2.6) и (1.2.8), воспользовавшись которыми получим

Подставив это выражение в формулу (1.2.20), находим

о

Задавшись гармоническим законом колебаний давления

вычислим среднюю работу за период колебаний. В результате интегрирования получим

Выразим теперь параметр ©т через фазовый сдвиг между ко­ лебаниями давления и скорости газообразования. Из выражения (1.2.21) получаем

Откуда следует, что фазовый сдвиг между колебаниями давле­ ния и скорости газообразования равен

<р=—(<от-(-я). (1.2.26)

Возвращаясь к выражению (1.2.24), получим

Из уравнения (1.2.27) видно, что средняя работа за период ко­ лебаний при заданной амплитуде колебаний давления зависит от фазового сдвига между колебаниями давления и скорости газо­ образования ср, а также от безразмерного перепада давления на

форсунках h.

Если h> 1, то из выражения (1.2.27) следует, что Л0< 0 при любых значениях фазового сдвига. Колебания скорости газооб­ разования в этом случае сопровождаются рассеиванием энер­ гии. Выполнение условия h> 1 является, следовательно, доста­

28

точным условием устойчивости систем. Обращаясь к рис. 1.5, убеждаемся, что это соответствует ранее полученным выводам.

Если h< 1, то максимальное значение hr1cosq), равное /г-1, больше единицы и, следовательно, в интервале —я /2< ф < я /2 существует область значений <р, примыкающая к <р=0, в кото­ рой Ао>0. Зона горения в этой области значений <р генерирует колебательную энергию. Нетрудно видеть, что ширина области генерирования энергии тем больше, чем меньше значение h (при ft-Ч) она охватывает весь интервал от —я /2 до я/2). Из этого, в частности, следует, что в соответствии с ранее полученными выводами уменьшение h способствует потере устойчивости.

Возможность генерации энергии зоной горения является не­ обходимым, но не достаточным условием потери устойчивости.

При й< 1 потеря устойчивости может и не наступать, если т = =т/тц будет достаточно мало.

Приведенная ситуация в достаточной мере типична для про­ стейших форм энергетического метода. Получаемые на их осно­ ве критерии дают достаточное (но не необходимое) условие ус­ тойчивости и необходимое (но не достаточное) условие неустой­ чивости. К безусловным достоинствам энергетического метода следует отнести то, что в ряде случаев он позволяет лучше по­ нять физическую природу процессов, приводящих к потере ус­ тойчивости.

В частности, в рассмотренном случае наиболее просто выяв­ ляется роль времени запаздывания. Благодаря наличию време­ ни запаздывания возникает фазовый сдвиг между колебаниями скорости газообразования и давления, значение которого опреде­ ляет работу, совершаемую зоной горения.

Использование принципа Рэлея наиболее эффективно при вы­ явлении источников колебательной энергии. Однако он не поз­ воляет найти границы устойчивости. Для построения границ ус­ тойчивости, а в некоторых случаях и амплитуд автоколебаний, используется более полный анализ генерации и рассеивания энергии в системе. Он включает:

определение мощности генерации и рассеивания энергии во всех звеньях изучаемого объекта с последующим составлением уравнения баланса этих мощностей. Это уравнение называется уравнением баланса активной мощности;

составление аналогичного уравнения баланса для так назы­ ваемой реактивной мощности *, отличающейся от активной тем, что при ее вычислении используются колебания скорости, сдви­ нутой по отношению к фактической на фазу ф = я/4 [7].

Уравнения балансов активных и реактивных мощностей со­ держат тот же объем информации, что и соотношения, получае­ мые с помощью частотного подхода.

* Термин заимствован из электротехники.

29

При исследовании вибрационного горения полная программа подобного использования энергетического подхода не проводи­ лась. Однако, как это показано в работах [4, 56], сочетание энергетических и частотных методов является в ряде случаев весьма эффективным.

1.3. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ, ВОЗБУЖДАЕМАЯ ЭНТРОПИЙНЫМИ ВОЛНАМИ

В разд. 1.1 давление газов в баллонах окислителя и горюче­ го, из которых осуществляется питание камеры сгорания топли­ вом, было принято одинаковым. Помимо этого, рассматривалась система с короткими трубопроводами, что позволило не учиты­ вать влияние на устойчивость их динамических свойств. Выпол­ нение перечисленных условий гарантировало постоянство массо­ вого соотношения компонентов при колебаниях давления в ка­ мере сгорания.

Если в системе с короткими трубопроводами давления в бал­ лоне окислителя и горючего не равны, то колебания давления в камере сгорания сопровождаются колебаниями массового соот­ ношения компонентов. Действительно, поскольку

окислителя и горючего; pi, р2— давления газа в баллонах окис­ лителя и горючего; At, А 2— коэффициенты, характеризующие сопротивление линий питания камеры сгорания топливом.

Из выражения (1.3.2) следует, что при р \ф р 2 колебания дав­ ления приводят к колебаниям k. К аналогичному следствию при­ водит, как это будет показано в разд. 1.4, различие в динамиче­ ских свойствах трубопроводов окислителя и горючего.

Колебания массового соотношения компонентов сопровож­ даются колебаниями теплоты сгорания топлива и, следователь­ но, тепловыделения. В предыдущем разделе было показано, что при благоприятном фазовом сдвиге между колебаниями давле­ ния и тепловыделения в зоне горения генерируется энергия, что может служить причиной потери устойчивости системы.

Помимо этого, колебания температуры газа на выходе из зо­ ны горения, обусловленные колебаниями тепловыделения, приво­ дят к тому, что температура газа перед соплом камеры сгорания также колеблется. Из выражения (1.1.2) видно, что колебания температуры перед соплом приводят к колебаниям расхода газа, выходящего из камеры сгорания. Колебания температуры как бы периодически запирают и открывают сопло, создавая пере­

30