книги / Неустойчивость горения

менное сопротивление. В зависимости от значения фазового сдвига между колебаниями давления и расхода это приводит к генерации или рассеиванию энергии колебаний [56].

Постановка задачи низкочастотной устойчивости в этом раз­ деле будет отличаться от использованной в разд. 1.1 учетом влияния колебаний массового соотношения компонентов на низ­ кочастотную устойчивость камеры сгорания. В качестве причи­ ны, вызывающей колебание массового соотношения компонен­ тов, будет принято различие в значениях давлений в баллонах системы подачи окислителя и горючего, см. соотношение (1.3.2). Соотношения, описывающие колебания k, возникающие вследст­ вие различия в динамических свойствах трубопроводов линий питания, приведены в работе [4], где рассмотрено влияние этих колебаний на акустические колебания в камере сгорания.

Рассматриваемая здесь постановка задачи в некотором смыс­ ле простейшая. Это позволяет провести достаточно полный ана­ лиз механизмов потери устойчивости и получить физическую ин­ терпретацию результатов расчетов.

Энтропийные волны и частотные характеристики звеньев. После линеаризации уравнений (1.3.1) и перехода к безразмер­ ным амплитудам колебаний получим

окислителя и горючего; Api и Ар2— стационарные значения пе­ репада давления по линиям горючего и окислителя.

Амплитуда колебаний суммарного расхода топлива, посту­

Множители, содержащие k, в формуле определяющей /г*, появля­ ются вследствие того, что 6G'i, 6G'2 и бG' отнесены к разным значениям стационарных расходов (Gi, G2, G). Воспользовав­ шись АФЧХ звена процесса горения (1.2.9) и соотношением (1.3.4), получим АФЧХ динамического звена, связывающего колебания давления в камере сгорания и скорость газообразо­ вания,

Перейдем теперь к описанию акустического звена. В задачах устойчивости горения колебания количества подводимой тепло­ ты удобно описывать, используя энтропию единицы массы газа. Зависимость энтропии идеального газа от давления и темпера­ туры имеет, как известно, вид

31

где s — энтропия; x — показатель адиабаты.

Линеаризируя это выражение и присваивая индекс «О» пара­

Для того чтобы определить амплитуду колебаний температу­ ры в начале камеры сгорания, воспользуемся следующим сооб­ ражением. Согласно модели постоянного запаздывания переход жидкости в продукты сгорания для каждой фиксированной пор­ ции топлива происходит мгновенно. Из этого непосредственно следует, что подвод теплоты происходит в процессе р = const, так как за время сгорания данной порции топлива давление не успе­ вает измениться (для плавной кривой выгорания это уже не так). Из сказанного следует, что амплитуда колебаний темпера­ туры в начале камеры сгорания связана с колебаниями теплоты сгорания топлива соотношением

где дН' — амплитуда колебания теплоты сгорания топлива. Теплота сгорания топлива зависит от массового соотношения

компонентов; H = H (k). Учитывая наличие времени запаздыва­ ния, после линеаризации этой функции находим

его АФЧХ. После использования для исключения членов 6(7i и 6бг2 уравнений (1.3.3) получим

Параметр а характеризует асимметрию системы подачи. Если давления в баллонах окислителя и горючего равны, то а = 0 . Ис­ ключив из уравнений (1.3.7) и (1.3.11) 67°, получим

32

Для того чтобы перейти к описанию следующих звеньев, не­ обходимо выбрать конкретную модель теплопередачи вдоль ка­ меры сгорания. Колебания тепловыделения в начале камеры сгорания приводят к тому, что к соплу движутся со скоростью газового потока порции газа, имеющие разные температуры. В зависимости от интенсивности теплопередачи вдоль продоль­ ной оси камеры сгорания амплитуды колебаний температуры га­ за у сопла будут различны. Идеализируя процесс, можно рас­ сматривать два крайних случая: полное отсутствие продольной теплопередачи в газе и столь высокую теплопередачу, что темпе­ ратура газа во всех точках камеры сгорания имеет одинаковое значение.

В этом разделе будем предполагать, что влияние теплопере­ дачи вдоль камеры сгорания несущественно *, а процесс горения сосредоточен в начале камеры сгорания у форсуночной головки. Дополнительный подвод теплоты при движении газа вдоль каме­ ры сгорания отсутствует. Будем также пренебрегать подводом теплоты, обусловленной работой сил трения. При описанных ус­ ловиях движение каждого элементарного объема вдоль камеры сгорания адиабатично, откуда следует, что его энтропия в про­ цессе движения сохраняется постоянной:

где т'п= х/й .

Согласно выражению (1.3.16) возмущение энтропии в мо­ мент t в сечении с координатой х равно возмущению энтропии за зоной горения в момент, отстоящий от рассматриваемого на вре­ мя, необходимое для того, чтобы порция газа переместилась от зоны горения до сечения с координатой х. Линеаризовав урав­ нение (1.3.6) и подставив в него значение 6s, определенное со­ отношением (1.3.16), получим выражение для колебаний темпе­ ратуры в камере сгорания

* В разд. 7 мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь же отметим, что ин­ тенсивность перемешивания существенно зависит от частоты колебаний. Низ­ ким частотам при этом собветствует слабое, а высоким — интенсивное пере­ мешивание.

Перейдем теперь к вычислению колебаний массы газа в ка­ мере сгорания. Так как давление во всех точках камеры сгора­ ния имеет по условию одно и то же значение, то

где L и F— длина и площадь сечения камеры сгорания. Из соотношения (1.3.18) непосредственно следует

Тп J

О

Переходя в уравнениях (1.3.17) и (1.3.19) к безразмерным амплитудам колебаний и используя выражение (1.3.13), после соответствующих вычислений получим соотношение, связываю­ щее амплитуды колебания давления и массы газа в камере сго­ рания,

Если давления в баллонах окислителя и горючего имеют оди­ наковые значения, то колебания массового соотношения компо­ нентов отсутствуют (а = 0 ). Тогда единственной причиной коле­ баний Q являются колебания расхода газа и в уравнении (1.3.20) остается только первый член. В разд. 1.1, где в аналогичной си­ туации при вычислении Q принималось T=const, связь между бQ и бр имела вид бQ =6p*. Из соотношения (1.3.20) видно,

что в рассматриваемом случае коэффициент, стоящий при бр, не равен единице и представляет собой сумму двух членов.

Происхождение первого члена, равного 1/х, обусловлено из­ менением температуры вследствие адиабатического сжатия. Что же касается второго члена, то он обусловлен распространением вдоль камеры энтропийных волн, не связанных с колебаниями теплоты сгорания. Волны возникают благодаря тому, что прира­ щение энтропии, вызванное подводом теплоты, зависит от уров­ ня давления, при котором оно подводится. Нетрудно видеть, что в области низких частот, при ©-М), сумма членов в скобках, как это и следовало ожидать, стремится к единице, а при <о-»-оо к 1/х. Член, пропорциональный а, описывает изменение массы га­ за в камере сгорания вследствие распространения вдоль нее эн­

* Это выражение непосредственно следует из выражения (1.1.6).

34

тропийных волн, генерируемых колебаниями теплоподвода в на­

чале камеры сгорания.

Перейдя к безразмерным амплитудам в уравнении (1.1.2),

Из выражения (1.3.23) видно, что при а = 0 и ю-И) 6£С= 8 р в соответствии с тем, что было принято в разд. 1.1. Подставляя выражения (1.3.20) и (1.3.23) в уравнение материального ба­ ланса камеры сгорания

АФЧХ акустического звена при отсутствии колебаний массового соотношения компонентов. Полученная таким образом АФЧХ не совпадает с найденной в разд. 1.2. Различие связано с тем, что

тропийных волн. Последние, как уже отмечалось, возникают да­ же в том случае, когда массовое соотношение компонентов не колеблется. Годограф обратной АФЧХ акустического звена, по­ лученный в разд. 1.2, представляет собой вертикальную прямую,

1,2, характерных для ЖРД, верхняя граница этого интервала от­ личается от нижней на 8... 17%. С другой стороны, производная

оценок следует, что обратная АФЧХ акустического звена пред­ ставляет собой вертикальную волнистую (без петель) линию с амплитудой, составляющей 5...20% единицы. Из рис. 1.8 видно, что замена прямой линии волнистой не приводит к каким-либо следствиям качественного характера. Что же касается неболь­ ших количественных поправок, то они в рамках качественной теории несущественны. Это тем более справедливо, что замена ступенчатой кривой выгорания плавной «размазывает» энтро­ пийные волны и, следовательно, приводит к уменьшению ампли­ туды волнистой линии, описывающей АФЧХ А-1а.

Проведенный анализ позволяет в выражении (1.3.25) упрос­ тить члены, не содержащие а, положив их равными тем значени­ ям, которые были получены в разд. 1.2 в предположении, что

Уравнение (1.3.28) содержит четыре параметра: А., а, х и тпИз последних двух параметров удобно образовать, подобно тому как это было сделано в разд. 1.1, один безразмерный параметр

ний безразмерных перепадов давления на линиях окислителя и горючего. Последнее не удобно, так как эти же величины входят в определение параметра А*. Введем в связи с этим параметр асимметрии Оо, зависящий от отношения перепадов давления на линиях окислителя и горючего. Использовав определение вели­ чин а и А*, после несложных вычислений получим

Параметр а<> пропорционален е—1 и д И / d k . В зависимости от сочетания знаков этих величин параметр оо может иметь как по-

36

ложителыюе, так и отрицательное значение. Если магистрали симметричны >(е=1) или дН /дБ= 0, то ао=0 и мы возвращаем­ ся к задаче, рассмотренной в разд. 1.1. Камеры сгорания ЖРД, предназначенные для создания тяги, работают вблизи оптималь­ ного массового соотношения компонентов. Значение параметра а<>для них в связи с этим близко к нулю. Для камер сгорания га­ зогенераторов ЖРД дН/дБфО, следовательно, параметр ао при

отличен от нуля [2]. Рассматриваемый механизм неустой­ чивости, таким образом, характерен для газогенераторов и несу­ щественен для камер сгорания, работающих вблизи оптималь­ ного массового соотношения компонентов.

В разд. 1.1 было показано, что при симметричных магистра- v лях, которым соответствует а0= 0 , система статически устойчи­ ва (см. рис. 1.2, а). Повторим проведенный там анализ для аоф ФО. Рассмотрим малые квазистационарные изменения парамет­ ров вблизи стационарного режима. Расход газа, поступающего из зоны горения и выходящего из камеры сгорания, определяет­

Из формул (1.3.31) видно, что при малых значениях а0 ха­ рактер пересечения кривых поступления и расхода газа тот же, что и на рис. 1.2, а, см. соответственно кривые / и 2, Следова­ тельно, система статически устойчива. Если же а<> достаточно велико, то характер пересечения кривых меняется и становится таким, как на рис. 1.2,6. Подобному характеру пересечения со­ гласно выводам, сделанным в разд. 1.1, соответствует статиче­ ская неустойчивость системы. Для того чтобы она имела место, необходимо, чтобы коэффициенты при бр' в уравнениях (1.3.31) удовлетворяли неравенству 1—а01г*-1< —А*-1, из которого сле­ дует

Согласно неравенству (1.3.32) граница устойчивости описывает­ ся соотношением а0=1+А*. С тем чтобы выяснить механизм по­ тери статической устойчивости, рассмотрим, подобно тому как это уже сделано в разд. 1.1, изменение баланса расхо­ дов газа при малом отклонении давления в камере сгорания от стационарного значения.

Расход газа, выходящего из камеры сгорания, пропорциона­ лен давлению и обратно пропорционален корню квадратному из температуры, см. уравнение (1.1.2). Рост температуры в силу этого приводит к увеличению сопротивления сопла.

Пусть давление в камере сгорания в результате флуктуации стало выше стационарного значения. При Оо=0 повышение дав­ ления не влияет на массовое соотношение компонентов и, следо­ вательно, на температуру газа в камере сгорания. Ответ на во-

37

прос о характере влияния давления на расход газа через сопло в этом слу­ чае однозначен: увеличе­ ние давления повышает расход газа, что способ­ ствует возвращению сис­ темы в состояние равно­ весия (см. рис. 1.2, а).

Если же а0ФО, то воз­ никает дополнительное влияние давления на рас­ ход газа через сопло, по­ скольку повышение дав­ ления вследствие ассимметрии системы подачи изменяет сопротивление сопла. Если а0>0, то рост давления сопровождает­ ся увеличением темпера­ туры газа и, следователь­

но, сопротивления сопла. При достаточно больших значениях а0 влияние этого фактора становится доминирующим, в результа­ те чего частичное запирание сопла, несмотря на повышение дав­ ления, приводит к уменьшению расхода газа. Угол наклона характеристики, связывающей расход газа через сопло с давле­ нием в камере сгорания, меняет в этом случае знак, как это показано на рис. 1.2, б. При неизменном расходе газа, посту­ пающего в камеру сгорания из зоны горения, уменьшение рас­ хода газа через сопло должно было бы привести к дополнитель­ ному повышению давления и т. д. В камере сгорания в резуль­ тате должна была бы возникнуть апериодическая неустойчи­

вость.

Повышение давления, однако, приводит к уменьшению расхо­ да газа, поступающего в камеру сгорания, что препятствует воз­ растанию давления. Таким образом, при достаточно больших значениях яо повышение давления сопровождается одновремен­ ным уменьшением расхода газа, поступающего в камеру сгора­ ния и выходящего из нее. Если расход газа через сопло больше расхода газа, поступающего из зоны горения (процесс опорожне­ ния превалирует над процессом поступления), то давление бу­ дет уменьшаться, стремясь к стационарному значению. В про­ тивном случае давление будет самопроизвольно расти. Первой ситуации соответствует устойчивое состояние системы, второй — неустойчивое !(см. рис. 1.2).

Качественный анализ, таким образом, показывает, что меха­ низм потери устойчивости при т = 0 обусловлен зависимостью со­ противления сопла от массового соотношения компонентов.

38

Пусть теперь т и тп не равны нулю. Разделив в уравнении (1.3.28) действительную и мнимую части и выразив а через а0, получим

(1 —2a0)h~1cos «>т+ ■ cos <о (т+ тп) + 1 = 0;

(1.3.33)

(отп — (1 — 2а0) h71 sin wt — aQh~lsin ш(т + тп)= 0 .

Разрешая уравнения (1.3.33) относительно Л. и Оо, получим уравнения

где со=о)Тп; т= т/тп.

Эти два уравнения задают в параметрической форме D -разбие- ние плоскости параметров ft*—а0 при фиксированном значении

7 (рис. 1.9). Определение направления штриховки можно осу­ ществить, воспользовавшись результатами построения границы устойчивости камеры сгорания с симметричными магистралями (см. рис. 1.5), для которой ао=0, и тем обстоятельством, что при а0= 0 ft*= ft. Из рис. 1.5 следует, что кривые D-разбиения, зада­ ваемые уравнениями (1.3.34), пересекая ось А* (а0= 0 ), имеют штриховку, направленную вверх. При этом существует некото­ рое наибольшее значение ft*, зависящее от т, выше которого при

7= 5 . Области неустойчивости лежат ниже кривых*. Около на­ несенных на кривые точек указаны значения со. Из рисунка сле­

дует, что при гфО колебания массового соотношения компонен­ тов могут приводить как к повышению, так и к понижению ус­ тойчивости. При симметричных магистралях (см. рис. 1.5), кото­ рым соответствует ао=0, граница устойчивости определялась одной ветвью кривой, вдоль которой сот менялось в пределах я/2... я. Более высокие значения сот, лежащие в интервале я/2 4 4 2 яя ...я + 2я/г, где я = 1 ,2 ..., на границе устойчивости не на­ блюдались, поскольку соответствующие им ветви целиком лежа­ ли в области неустойчивости. Из рис. 1.9 видно, что при а0фО D-разбиение может состоять из нескольких ветвей. В рассматри­

ваемом примере при т = 5 смена ветвей на границе устойчивости происходит при а0« 0,65. Переход с одной ветки на другую со­ провождается скачкообразным возрастанием частоты колебаний.

* С тем чтобы не загромождать рисунок, штриховка нанесена только на

границе с т = 5 .

39

Частоты колебаний в рассматриваемом случае в зависимости от того, какой из ветвей 'D-разбиения они пренадлежат, могут отли­ чаться в несколько раз. Низкочастотные колебания, имеющие повышенные значения частот, принято называть «промежуточ­ ными» * колебаниями, тем самым не совсем удачно противопос­ тавляя их низкочастотным.

На этом же рисунке приведена граница устойчивости д л я т = = 0. Механизм потери устойчивости, реализующийся в этом слу­ чае, уже обсуждался. Наличие динамических членов в уравне­ ниях (1.3.5) и (1.3.23) усложняет ту простую картину явления,

следний результат является следствием того, что при т = 0 время пребывания тп является единственным характерным временем задачи.

Из рис. 1.9 видно, что высокочастотная ветка границы устой­ чивости при т = 5 в довольно широкой области частот весьма

близка к границе устойчивости при т= 0 . Это указывает на то, что механизмы потери устойчивости в обоих случаях имеют од­ ну и ту же природу.

В предыдущих разделах течение жидкости в трубопроводе описывалось в квазистапионарном/приближении. Подобный под­ ход примёним, когда трубопроводы системы питания имеют не­ большую длину. В противном случае упругость и инерционность жидкости в трубопроводах оказывают существенное влияние на колебания расхода топлива, поступающего в камеру сгорания. Это, в свою очередь, приводит к появлению дополнительных факторов, влияющих на устойчивость системы.

Динамические свойства топливоподающей системы оказыва­ ют влияние не только на низкочастотную неустойчивость, но и на все другие виды неустойчивости горения, прямо или косвенно обусловленной колебаниями расхода топлива, поступающего в камеру сгорания. Динамика жидкости в системе подачи зависит от конструктивных параметров трубопроводов, характеристик источника питания (баллона или насоса), местных сопротивле­ ний, а иногда и других факторов. Особого рассмотрения заслу-

* Имеется в виду, что их частоты выше частот низкочастотных колеба­ ний, соответствующих низкочастотной ветви, но ниже частоты акустических колебаний (см. разд. 3).

40