книги / Неустойчивость горения

сти высоки^ частот — феноменологическую модель, соответству­ ющую второй стадии (влияние первой стадии вследствие ее боль­ шой инерционности будет несущественно).

Модель постоянного времени запаздывания, использованная

впредыдущем разделе, является простейшим примером феноме­ нологической модели, описывающей динамику процесса горения

вобласти низких ^стот. В этом разделе описаны некоторые наи­ более часто применяемые в теории устойчивости феноменологи­ ческие модели процесса горения.

2.1.ПЕРЕМЕННОЕ ВРЕМЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Вмодели постоянного времени запаздывания не учитывалось, что т в общем случае зависит от колебаний давления, начального размера капель и всех других факторов, оказывающих влияние на процесс горения. Следующим шагом, уточняющим исходную модель, является учет колебаний времени запаздывания.

При ступенчатой кривой выгорания топливо, поступающее в момент t\ сгорает в момент /'+ т, где т в общем случае зависит от i:

Правая часть соотношения (2.1.3) содержит два члена. Пер­ вый описывает колебания скорости газообразования, возникшие из-за колебаний расхода топлива, поступающего в камеру сгора­ ния. Он совпадает с выражением, описывающим колебания ско­ рости газообразования в модели с постоянным запаздыванием, см. уравнение (1.2.8). Второй член является новым. Он не зави­ сит от колебаний расхода и может быть отличным от нуля даже в том случае, когда колебания расхода отсутствуют. Потерю устойчивости, обусловленную этим членом, принято называть внутрикамерной неустойчивостью^

Выражение для члена, описывающего внутрикамерную неус­ тойчивость, можно получить и другим способом.

_Пусть колебания расхода отсутствуют и, следовательно, бф=г: —Сф. Тогда массу жидкой фазы в камере сгорания можно пред­ ставить в виде ()ж=СфХ. Скорость образования продуктов сгора­ ния вследствие изменения времени т будет, очевидно, равна ско­ рости изменения массы жидкой фазы, взятой с обратным знаком:

51

6 G /= —б<Эж'=Офбт'. Переходя в последнем выражении к без­ размерному расходу газа, получим второй член правой части выражения (2.1.3).

Для того чтобы завершить построение модели горения с пе­ ременным временем запаздывания, необходимо задаться зави­ симостью т от текущего времени t.

Зависимость т от давления [30]. Предположим, что скорость горения в основном определяется значением давления. Эта за­ висимость необязательно должна быть непосредственной, она может реализоваться и через значения других параметров, одно­ значно связанных с давлением.

Если по-прежнему аппроксимировать плавную кривую выго­ рания ступенчатой функцией, то весь период от момента поступ­ ления топлива в камеру сгорания t '= t —т до сгорания в момент t следует рассматривать как время, в течение которого идет про­ цесс подготовки, по завершению которого топливо мгновенно превращается в продукты сгорания. Пусть степень завершенно­ сти подготовки характеризуется некоторым параметром Е. Обо­ значим через Е* критическое значение параметра Е, соответству­ ющее окончанию времени подготовки. Тогда если принять, что скорость процесса подготовки в конечном итоге зависит всего лишь от одного параметра — давления в камере сгорания р, то будет справедливо соотношение

(2.1.4) описывает в неявном виде зависимость т от t. Продиффе­ ренцировав уравнение (2.1.4) по t, получим

t—Ч

Положив в уравнении (2.1.5) р=^(1 +бр) и т=т~+6т', после ли­ неаризации найдем

52

эффициента усиления. Подставив найденное значение производ­ ной в уравнение (2.1.3), получим

Подставив скорость газообразования и расход ббф, определя­ емые соотношениями (2.1.8) и (1.2.6), в уравнение материально­ го баланса (1.2.11), получим уравнение, описывающее режим ма­ лых колебаний давления в камере сгорания,

Нетрудно видеть, что если это уравнение разделить на 1—п, то оно будет иметь тот же вид, что и уравнение (1.1.10), в кото­ ром постоянные тп и Л-1 заменены на некоторые эффективные значения

Следовательно, D-разбиение определяется уравнениями (1.1.22), в которых тп и Л следует заменить на тп.эф и ЛЭф. Решив

полученные таким образом уравнения относительно Ли т, полу­ чим

Из уравнений (2.1.11) видно, что даже в том случае, когда Л-^оо и, следовательно, колебаний расхода нет, система может терять устойчивость. Действительно, для того чтобы оо, необ­ ходимо и достаточно чтобы знаменатель в выражении для к обра­

тился в нуль. Из этого условия и выражения для х легко получить следующие уравнения для границы устойчивости в координатах

п—т при Л—>-оо (внутрикамерная неустойчивость):

Из уравнений (2.1.12) видно, что при внутрикамерной неустойчи­ вости существует некоторое минимальное значение п, ниже кото­ рого система всегда устойчива. Это значение достигается при

<о= (1+2т )я , где т — 0, 1, ..., и равно 0,5.

Область применимости той или иной феноменологической мо­ дели, как уже отмечено, определяется не только способом орга­ низации процесса горения и родом топлива, но и значением час­ тот колебаний, при которых используются модели. Поскольку, как показывает опыт, расходный механизм для низкочастотных колебаний играет определяющую роль, то следует считать, что значения п в области низких частот, как правило, меньше 0,5.

53

Для высоких частот, напротив, значение п может заметно пре­ восходить 0,5 [30, 47].

Из уравнений (2.1.12) следует, что при ц<0,5 граница устой­ чивости в качественном плане должна иметь ту же форму, что и в модели постоянного запаздывания. Рост п при этом, как пока­ зывает анализ, приводит к расширению области неустойчивости.

Если п >0,5, то в плоскости параметров А—т появляются об­ ласти, в которых система неустойчива при любых значениях А. Единственным способом стабилизации в этом случае является

уменьшение времени т.

Зависимость т от начального диаметра капель*. Важными стадиями горения жидкого топлива являются процессы прогре­ ва, испарения и движения капель. При некоторых способах орга­ низации горения перечисленные процессы носят определяющий характер. Особенно велика их роль, когда оба компонента по­ ступают в камеру сгорания в жидкой фазе.

Из теоретических соображений и опыта следует, что началь­ ный диаметр капель относится в ряде случаев к числу факторов, наиболее существенно влияющих на скорость горения [9, 47]. Это обстоятельство позволяет сформулировать модель, в которой вре­ мя запаздывания является функцией начального диаметра ка­

где a(t—т) — диаметр капли в момент ее образования (в момент t—т).

С ростом начального диаметра капель скорость горения умень­ шается. Следовательно, (df/da)> 0.

Начальный диаметр капель зависит от типа форсуночного эле­ мента и режима его работы. Для центробежных и струйных одно­ компонентных форсунок размер капель (при фиксированных ха­ рактеристиках жидкости) зависит от перепада давления на фор­ сунках, а при сравнительно низком уровне давления в камере сго­ рания от его величины [55]:

где Ар — перепад давления на форсунке; р — давление в камере сгорания.

* В разд. 7.4 описана конкретная (не феноменологическая) зависимость для системы смесеобразования, работающей *на газообразном окислителе и жидком горючем.

54

Экспериментальные исследования показывают, что с ростом перепада и уровня давления размеры капель уменьшаются.

Рассмотрим теперь камеру сгорания ЖРД с баллонной систе­ мой подачи и короткими трубопроводами. Перепад давления на форсунках в этом случае равен Др = р в—р. Воспользовавшись выражением для Ар и осуществив линеаризацию уравнений (2.1.14) и (2.1.15), получим

bx' — mxbp{t —т); т = - = - ^ [ —----- — ~\р- (2.1.16) т da \др дАр I

Поскольку да/др и да/дАр отрицательные, то т, в принципе, может быть как больше, так и меньше нуля. Однако зависимость размера капель от перепада давления превалирует над зависи­ мостью от давления (при высоких давлениях зависимость разме­ ра капель от давления вообще отсутствует), поэтому т > 0.

Подставив полученное выражение для 6т' в соотношение (2.1.3) и выразив колебания расхода топлива, поступающего в ка­ меру сгорания, через колебания давления, получим

Годограф АФЧХ, таким образом, представляет собой раскручива­ ющуюся спираль, охватывающую начало координат.

Для модели с постоянным запаздыванием АФЧХ представля­ ет окружность, охватывающую начало координат (см. рис. 1.8). Пересечение этой окружности с обратной АФЧХ акустического звена, годограф которой представляет собой вертикальную пря­ мую линию, определяет точки D-разбиения. Отсутствие точек пе­ ресечения указывает на устойчивость системы во всем возможном диапазоне частот. Последнее для т = 0 имеет место при ft> 1.

При т ф 0 всегда находится такое значение со, при котором годо­ граф АФЧХ, определяемой уравнением (2.1.18), пересекает вер­ тикальную прямую. Из этого следует, что предельного значения ft, выше которого система устойчива, нет.

В рассматриваемой модели присутствуют два механизма, вы­ зывающие колебания скорости газообразования: расходный и свя­ занный с колебаниями начального диаметра капель. Это находит

55

Рис. 2.1. Границы низкочастотной не­

h = — COSO)/(1 -|- аш sin w) .

При т = 0 уравнения (2.1.21) совпадают с уравнением (1i.2:22),is полученным для модели с постоянным временем запаздывания т. При тфО кривые, задаваемые уравнениями (2.1.21), имеют так же, как и при т = 0, бесконечно большое число ветвей.

На рис. 2.1 представлены границы устойчивости, соответству­ ющие первым ветвям кривых для различных значений т. Обла­ сти устойчивости лежат выше соответствующих кривых. Высоко­ частотные ветви на рис. 2.1 не представлены, так как в области более высоких частот колебаний ступенчатая аппроксимация кри­ вой выгорания приводит в рассматриваемой модели к результа­ там, качественно отличающимся от тех, которые дает аппрокси­ мация плавной кривой выгорания (см. далее).

2.2. ПЛАВНЫЕ КРИВЫЕ ВЫГОРАНИЯ

Кривая выгорания является некоторой суммарной характери­ стикой процесса горения и, как всякая другая суммарная харак­ теристика, не содержит исчерпывающей информации о процессе горения. Форма кривой выгорания зависит от способа организа­ ции процесса горения, начальных условий, формируемых системой

56

смесеобразования, и давления в камере сгорания. Таким образом, Ф = Ф ( z , р, х'), где р — давление; I — совокупность всех осталь­

ных параметров, влияющих на процесс горения; т' — текущее зна­ чение времени пребывания топлива в камере сгорания (черта над соответствующими переменными, как всегда, указывает на то, что рассматриваются стационарные значения соответствующих величин).

Во всех предыдущих разделах кривая выгорания аппрокси­ мировалась ступенчатой функцией. С тем чтобы отличить кри­ вую выгорания, заданную в виде ступеньки, от кривых выгора­ ния, не содержащих разрывов, услбвимся последние называть плавными кривыми выгорания.

В простейших феноменологических моделях, использующих плавные кривые выгорания, предполагается, что форма кривой выгорания от времени не зависит. Иными словами, кривая выго­ рания в процессе колебаний давления не деформируется. Это при­ ближение аналогично моделям с постоянным временем запазды­ вания и отличается от них только тем, что в первом случае горе­ ние сосредоточено в узком временном интервале, а во втором — «размазано» по некоторому интервалу.

На первый взгляд может показаться, что пренебрегать дефор­ мацией кривой выгорания можно только в том случае, когда име­

ет место слабая зависимость ф от z и р. В действительности ус­ ловия применимости этой модели менее жесткие. Это связано с с тем, что существует некоторое характерное время (время ре­ лаксации tp), необходимое для перехода процесса горения с од­ ного стационарного режима на другой. Если период колебаний интересующего нас процесса много меньше времени релаксации, то деформацией кривой выгорания можно пренебречь даже в том

случае, когда зависимость ф от z и р существенна. Учёт деформа­ ции кривой выгорания требует использования тех или иных гипо­ тез, восполняющих недостающую информацию о скорости дефор­ мации кривой выгорания.

Если' кривая выгорания в процессе колебаний не деформиру­ ется, то единственной причиной колебаний скорости газообразо­ вания является колебание расхода топлива, поступающего в ка­ меру сгорания. Аналогично при фиксированном расходе топлива единственной причиной колебаний скорости газообразования яв­ ляется деформация кривой выгорания. В общем случае на ско­ рость газообразования одновременно оказывают влияние оба фактора.

В режиме малых колебаний анализ общего случая упрощает­ ся, поскольку в линейной системе влияние каждого из факторов можно рассматривать изолированно.’В связи с этим колебания скорости газообразования можно представить в виде суммы двух членов, один из которых соответствует колебаниям расхода при фиксированной форме кривой выгорания, а другой — коле­

57

баниям формы кривой выгорания при отсутствии колебаний рас­ хода. Приведенные рассуждения позволяют провести раздельный анализ влияния на устойчивость деформации кривой выгорания при постоянном расходе и колебаний расхода при фиксированной кривой выгорания. t

'' Расходный механизм. Зафиксируем_момент t. Масса топлива,

7 поступившего в момент t—х за время dx, будет равна G$(t—x)dx. Скорость, с которой сгорает эта порция топлива, при фиксирова«-

ной форме кривой выгорания, равна <р(т), где <р(т)— функция, описывающая стационарную кривую выгорания (см. рис. 1.3), Таким образом, скорость газообразования в момент t, обуслов­

ленная порцией топлива, сгорающего через время т после поступ­

ления в камеру сгорания, равна dGT= G $ (t—т)<р(т)йт, а суммар­ ная скорость газообразования:

где хт— время пребывания жидкого топлива в камере сгорания. Конструктивные параметры камер сгорания обычно выбира­ ются таким образом, чтобы обеспечить высокую полноту сгора­

ния. Поэтому в конце камеры сгорания <р(т)«0и увеличение ее длины мало влияет на значение интеграла в формуле (2.2.1). Воспользовавшись этим, положим верхний предел интегрирова­ ния равным бесконечности.

Приведем еще один вывод уравнения (2.2.1). Он представляет некоторый самостоятельный интерес, поскольку развитие подоб­ ного подхода, как это будет показано в разд. 6, позволяет выйти за рамки феноменологических моделей.

Запишем уравнение сохранения массы вещества для газовой фазы в камере сгорания в виде

где р и и — плотность и скорость газа; g(x, t) — масса газа, вы­ деляющегося в единицу времени в единице объема камеры сгора­ ния в результате сгорания жидкого топлива.

Обозначим через р* (х, () ту массу жидкого топлива, которое содержалось бы в единице объема при отсутствии горения. Тогда g (х, t) может быть представлено в виде

58

где v — скорость движения жидкой фазы; F — площадь сечения камеры сгорания.

Из уравнений (2.2.2) ... (2.2.4) следует

Умножив уравнение (2.2.5) на F и проинтегрировав это уравне­ ние от х = 0 (форсуночная головка двигателя) до x = L (сопло камеры сгорания), получим

— масса газа в камере сгорания; Gc — расход газа через сопло;

Вправой части уравнения (2.2.6) стоит то же выражение, что

ив формуле (2.2.1).

Линеаризируя уравнение (2.2.6), в левой части получим вы­ ражение, описывающее акустическое звено (см. разд. 1), а в пра­ вой — колебания скорости газообразования:

Формула АФЧХ звена рабочего процесса, описываемого уравне­ нием (2.2.9), имеет вид

Производная от функции, описывающей кривую выгорания, имеющую вид ступеньки (см. рис. 1.3), равна функции Дирака

ф(т') = б (т —т'), где х — время запаздывания. Подставляя это значение производной в формулу (2.2.10), получим ранее исполь­ зованное выражение для АФЧХ звена рабочего процесса в моде­ ли постоянного запаздывания.

59

Для того чтобы выяснить, как влияет переход к плавной кри­ вой выгорания на устойчивость системы, представим интеграл, стоящий в правой части уравнения (2.2.10) в виде

где С — некоторое действительное число; т*— эффективное вре­ мя запаздывания.

Согласно определению величины Сит* являются некоторыми функциями частоты. Последнее, однако, для последующих выво­

дов несущественно. Решая уравнение для ф(т') относительно т',

которой модуль суммы меньше или равен сумме модулей. Равен­

ство достигается только, когда ф '(т')= б (т —т'). Таким образом, во всех случаях, кроме оговорённого, С <1.

Воспользовавшись выражением (2.2.11), представим АФЧХ

Если в уравнении (2.2.13) положить Нг1аф=СИг1, то оно с точ­ ностью до обозначений совпадает с уравнением (1.2.14), получен­ ным в моделе с постоянным временем запаздывания (см. разд. 1.2). Из этого следует, что граница устойчивости определя­

ется соотношениями (1.1.22), в которых Л и т следует заменить на ЛЭф и т*. Возвращаясь в полученных таким образом уравнени­ ях границы устойчивости к переменной Л, находим

Поскольку С <1, то значения h для плавной кривой выгорания всегда меньше, чем для ступенчатой. В частности, предельное значение h, выше которого система всегда устойчива, равно С и, следовательно, меньше единицы, в то время как при ступенчатой кривой выгорания оно было ей равно. Таким образом, переход от ступенчатой кривой выгорания к плавной, приводит к повыше­ нию устойчивости, т. е. чем более полога (растянута) кривая вы­ горания по времени, тем система устойчивее. Из этого следует, что одним из способов повышения устойчивости является растя­ гивание кривой выгорания.

Физический смысл полученного результата проще всего по­ яснить, воспользовавшись энергетическим подходом. В разд. 1.2

60