книги / Неустойчивость горения

дет превышать стационарное значение. Однако вплоть до точки dy отстоящей от с на отрезок времени т, скорость образования продуктов сгорания будет меньше стационарного значения. Тем не менее, поскольку расход газа, истекающего из камеры, на участке cd меньше стационарного, давление после точки d' на­ чинает возрастать.

В окрестности точки d скорость роста давления увеличива­ ется, так как этому способствуют одновременно два фактора: меньший, чем на стационарном режиме, расход продуктов сго­ рания через сопло и большее, чем на стационарном режиме, по­ ступление газа за счет горения (на этом участке сгорает топли­ во, расход которого превышал стационарное значение). Увели­ чившись, давление превысит стационарное значение, и к момен­ ту /= 3 т (точка k) отклонение от стационарного значения станет равным бр2 , затем пройдет через максимум и т. д.

Из проведенного качествейного анализа следует, что при ко­ нечном значении времени т переходный режим, возникающий после возмущения, приобретает колебательный характер. Если размах этих колебаний будет с течением времени расти, то это по определению будет соответствовать потери устойчивости.

Уравнение динамики камеры сгорания. Для того чтобы полу­ чить уравнение динамики камеры сгорания, воспользуемся зако­ ном сохранения вещества. Изменение массы газа в камере сгора­ ния в единицу времени равно разности секундного расхода газа, поступающего за счет горения, и секундного расхода газа, выхо­ дящего из камеры через сопло:

где Q — масса газа в камере сгорания.

Для определения массы газа в камере сгорания пренебрежём объемом жидкой фазы (не сгоревшего топлива) и примем в пер­ вом приближении, что температура в камере сгорания постоянна по пространству и времени. Несколько позже (разд. 1.3) этот вопрос будет рассмотрен дополнительно. Здесь же ограничимся следующим замечанием. При бесконечно медленном изменении давления (очень низкие частоты колебаний) температура в каме­ ре практически не меняется и равна температуре горения. Если же скорость изменения давления велика, то изменение температу­ ры должно соответствовать закону адиабаты. Реальный процесс

где v — объем камеры сгорания; Т — среднее значение темпера­ туры в ней; R — газовая постоянная.

Расход газа, поступающего в камеру сгорания, Gr и расход жидкости через форсуночную головку 6 ф связаны соотношением

11

(1.1.4). Расход топлива через форсуночную головку в общем слу­ чае не подчиняется уравнению (1.1.1), поскольку при нестацио­ нарном течении становится существенным влияние инерции и уп­ ругости столба жидкости в питающих трубопроводах. Если пи­ тающие трубопроводы имеют малую длину, то влиянием этих факторов можно пренебречь и для определения G$ воспользо­ ваться формулой (1.1.1). Именно этот простейший случай и будет рассматриваться. Влияние упругоинерционных свойств трубопро­ вода на низкочастотные колебания будут рассмотрены в разд. Е4^Что же касается Gc, то для сопел с короткой дозвуковой частью в первом квазистатическом приближении остается спра­ ведливым выражение (1.1.2).

Подставляя соотношения (1.1.1), (1.1.2), (1.1.4), (1.1.6) в уравнение (1.1.5), получим

Уравнение (1.1.7) является нелинейным уравнением динамики камеры сгорания, устойчивость работы которой нам предстоит исследовать.

Линейное приближение. Исходные уравнения, описывающие эволюцию большинства реальных систем, нелинейны. Анализ устойчивости нелинейных систем по отношению к произвольно малым возмущениям или, иными словами, исследование условий возникновения мягких режимов потери устойчивости существен­ но упрощается благодаря известной теореме Ляпунова [3]. Со­ гласно этой теореме условия устойчивости исходной нелинейной системы и вспомогательной, получающейся из исходной путем ее линеаризации вблизи стационарного режима, идентичны *.

Теорема Ляпунова позволяет свести исследование сложной нелинейной задачи к значительно более простой линейной. Для этого необходимо:

найти параметры стационарного режима; представить все переменные в исходном нелинейном уравне­

нии в виде суммы стационарных значений и малых отклонений от них;

разложить все нелинейные чдены в ряд по малым отклонени­ ям и, отбросив все степени малых добавок выше первой, полу­ чить искомое линейное уравнение.

Описанная процедура, именуемая линеаризацией, будет нами в дальнейшем неоднократно использоваться. Нетрудно видеть, что полученная таким образом линейная система описывает ре­ жим малых колебаний вблизи стационарного режима.

* Ограничения области применения этой теоремы в классе интересующих нас задач несущественны.

12

Полагая в уравнении (1.1.7) dp/dt = 0, получим соотношение (1.1.3Х, определяющее стационарные давление в камере сгорания и расход топлива.

Представим теперь давление в камере сгорания в виде суммы

где бр' — отклонение давления от стационарного значения; 6р = =8р'1р — безразмерное значение Ьр'.

Подставляя выражение (1.1.8) в уравнение (1.1.7), после не­ сложных преобразований получим

Qbp=0 1 — bp(t —x) — Q — Qbp, (1.1.9)

где Ар = рв—р — перепад давлений на участке от баллонов до газового объема камеры сгорания на стационарном режиме.

После разложения О 1 / 1---- IL-bp(t —x) в ряд, отбрасыва-

V

ния нелинейных членов и несложных преобразований получим

Величина тш равная отношению массы газа в камере сгорания к его секундному расходу, представляет собой время пребывания газа в камере сгорания. Определяя расход газа формулой (1.1.2)

При фиксированном роде топлива и постоянном массовом со­ отношении компонентов значение тп от давления практически не зависит и однозначно определяется геометрическими характери­ стиками камеры сгорания. Нетрудно также убедиться в том, что для цилиндрической камеры сгорания с короткой дозвуковой частью время пребывания газа в камере сгорания равно отноше­ нию длины камеры сгорания к скорости газа в ней:

длина; р и м — плотность и скорость газа.

13

Характеристическое уравнение в метод D -разбиения. Уравне­ ние (1.1.10) относится к классу линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и постоянными коэффи­ циентами. Подобные уравнения, а также их системы всегда удо­ влетворяются решениями вида

где бpi и Zi — некоторые постоянные, не зависящие от времени. Полное решение таких уравнений (или систем уравнений) пред­ ставляет собой сумму членов вида (1.1.14). Опустив в выражении (1.1.14) индекс iy после подстановки этого выражения в диффе­ ренциальное уравнение (1.1.10) и сокращения на общий множи­ тель бpezt получим

Уравнения типа (1.1.15), содержащие неизвестное z и задан­ ные параметры системы (в рассматриваемом случае это ти, т, h), называются характеристическими.

Очевидно, что любому линейному дифференциальному урав­ нению с постоянными коэффициентами соответствует свое ха­ рактеристическое уравнение. Решая характеристическое уравне­ ние Q (г) =0 относительно г, получим набор его корней: zu ..., гк. Каждому корню этого набора соответствует свое решение вида ре­ шения (1.1.14). Если коэффициенты характеристического урав­ нения действительные числа (в дальнейшем нам будут встре­ чаться только такие характеристические уравнения), то его кор­ ни, как в этом нетрудно убедиться, действительные или

где Ai и Bi — произвольные постоянные, определяемые началь­ ными условиями.

Из выражения (1.1.16) следует, что если все а»< 0, то реше-

,ние при любых начальных условиях стремится к нулю и система устойчива. Если же хотя бы у одного из корней характеристиче­ ского уравнения ai>0, то решение неограниченно растет и си­ стема неустойчива. Таким образом, для того чтобы система бы­ ла устойчива, необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения были меньше нуля.

Корни характеристического уравнения представляют собой некоторые функции параметров системы (в рассматриваемом случае тп, т, И). Если в процессе изменения некоторого парамет-

Случай кратных корней нами не рассматривается.

14

ра системы г действительная часть одного из корней обращает­ ся в нуль, и при этом dai/дгфО, то это значит, что в процессе изменения параметра г появился или исчез (в зависимости от направления изменения г) корень с положительной действитель­ ной частью.

Особое значение имеет тот случай, когда у одной из пар комп­ лексно-сопряженных корней аг= 0 , а у всех остальных щ<0. В та­ кого рода ситуациях принято говорить, что параметры системы ле­ жат на границе устойчивости. Важность понятия границы устой­ чивости определяется тем, что она выделяет в пространстве конструктивных и режимных параметров объекта области устой­ чивой работы.

Режиму работы системы, находящейся точно на границе ус­ тойчивости, как это видно из уравнения (1.1.16), соответствуют незатухающие гармонические колебания. Физически, однако, этот режим не реализуется, поскольку практически все произвольно малые изменения параметров системы переводят ее или в устой­ чивое, или в неустойчивое состояние. Из этого, в частности, сле­ дует, что в рамках линейной постановки задачи невозможно опи­ сать автоколебания, поскольку им соответствует постоянная амп­ литуда. Помимо этого, из выражения (1.1.16) видно, что жесткие режимы возбуждения, так же как и автоколебания, не допускают линейную трактовку. Нелинейные системы будут нами рассмат­ риваться в разд. 5.

Наиболее удобным и распространенным методом построения границы устойчивости является метод £>-разбиения. Дадим крат­ кое описание метода применительно к построению границ устой­ чивости в плоскости двух параметров. Обоснование изложенных далее правил можно найти в работах [1, 56]. Пусть характерис­ тическое уравнение исследуемой системы

содержит два параметра М и N, в плоскости которых строится граница устойчивости. В этом уравнении М и N произвольны (если, разумеется, не учитывать физических ограничений, выде­ ляющих область их изменений). Каждой паре М, N соответству­ ет некоторый набор комплексных корней z,-, получаемый путем решения уравнения (1.1.17) относительно г. На границе устойчи­ вости (но не только на ней) действительная часть одного из кор­ ней обращается в нуль; г*=шг-. Подставляя г = ш в характерис­ тическое уравнение (1.1.17), получим

В отличие от уравнения (1.1.17) значения параметров M H JVB уравнении (1.1.18) не произвольные, а только такие, при кото­ рых действительная часть некоторой пары комплексно-сопря­ женных корней обращается в нуль. Из этого следует, что меж­ ду парами М и N существует некоторая зависимость. Для того

15

чтобы получить эту зависимость, разделим в уравнении (>.1.18) действительную Q* и мнимую Q** части:

Система уравнений (1.1.19) определяет в плоскости цйраметров М, N некоторое семейство кривых, разбивающих плоскость на отдельные области. При использовании метода Ь-ра^биения сре­ ди кривых, задаваемых уравнениями (1.1.19), иногда приходится выделять так называемые особые кривые. Они возйикают в двух случаях:

когда при некотором значении со = со* уравнение Q*= 0 явля­ ется следствием уравнения Q**= 0 (иными словами, эти уравне­ ния эквивалентны). Особая кривая в этом случае определяется любым из этих уравнений;

когда коэффициент при старшем члене * характеристического уравнения является некоторой функцией <p (М, N). Уравнение особой кривой в этом случае будет <p(M, N) =0.

Поскольку исследуемые далее характеристические уравнения не определяют представляющих интерес особых кривых, они на­ ми рассматриваться не будут. Так как действительные части кор­ ней принимают нулевые значения только на границах области, число корней с положительными значениями действительной час­ ти в пределах каждой области постоянно. Если о какой-либо про­ извольной точке с координатами М0, N0 известно, что ей соответ­ ствует устойчивая система, то вся область, к которой принадле­ жит эта точка, тоже будет устойчива. Все области, соседние с устойчивой, будут, разумеется, неустойчивы. Для выделения об­ ласти устойчивости служит правило штриховки. Это правило для не особых кривых сводится к следующему [1, 56]. Вычисля­ ется якобиан вида

Далее перемещаясь вдоль границы, построенной в правой системе координат, в сторону возрастания со штрихуют ее с ле­ вой стороны, если Д>0, и с правой, — если Д<0. Поскольку ре­ шением характеристического уравнения являются, как правило, комплексно-сопряженные корни, каждая из кривых проходится дважды: один раз при изменении со от —оо до 0, другой — от 0 до + о о , однако направление штриховки в обоих случаях оказы­ вается одинаковым вследствие изменения знака со. Зная число

* Старший член характеристического уравнения обладает тем свойством, что при Z - + Q O он уходит в бесконечность быстрее остальных членов. В уравне­

нии (1.1.15) старшим членом, очевидно, будет e ~ ~ z x *

16

Рис. 1.5. Граница устойчивости для низкочастотных колебаний

положительных (неустойчивых) корней в одной из областей, можно определить их число в любой соседней области, пользу­ ясь правилом: при пересечении линии D-разбиения с заштрихо­ ванной стороны появляются один дополнительный корень с по­ ложительной действительной частью, если кривая штриховалась один раз, и два таких корня, если кривая штриховалась дваж­ ды. Пересечение кривых D-разбиения в обратном порядке соот­ ветствует исчезновению положительных корней.

Построение и анализ границ устойчивости. Применим теперь метод D-разбиения к характеристическому уравнению (1.1.15). Полагая в этом уравнении 2= /со, после разделения действитель­ ной и мнимой частей и умножения на h получим

где со и т — безразмерные частота и время запаздывания. Уравнения (1.1.22) задают в параметрической форме кривые

/)-разбиения в координатах h, т.

На рис. 1.5 представлены кривые, определяемые_уравнениями (1.1.22), в физически реализуемой области h > 0, т>0. Эти кри­ вые, как в этом нетрудно убедиться, имеют бесконечно большое

число ветвей. Ветвь 1 соответствует диапазонам изменения со от ±я/2 до ± я , ветвь п — диапазонам изменения от ±2ял±я/2 до

± 2яя± я . Каждая ветвь кривой, таким образом, проходится дважды: один раз при со<0 справа налево, другой раз при со>0

17

в противоположном направлении. Вычисляя согласно уравнени­ ям (1.1.20) и (1.1.21) якобиан, получим

Если Л, тп и со>0, то согласно выражению (1.1.23) Д>0'И, следо­ вательно, учитывая направление движения вдоль кривой, ее на­ до штриховать сверху; если же со<0, то Д<0, однако направле­ ние движения противоположное, так что направлений штриховки сохраняется. Каждая из ветвей кривых, таким образом, штриху­ ется дважды с одной стороны, как это показано на рис. 1.5.

Для того чтобы определить число корней с положительной действительной частью в каждой из областей, определим их чис­ ло на оси h. Полагая в характеристическом уравнении т = 0, полу­ чим, что вдоль оси h имеется всего один корень z0, который дей­ ствителен и меньше нуля:

_ 1 h - v 1

Из этого следует, что и во всей области I, лежащей выше вет­ ви 1 кривой D-разбиения, положительные корни отсутствуют. Та­ ким образом, область I является областью устойчивой работы. Поскольку, для того чтобы попасть из области / в область //, не­ обходимо пересечь дважды заштрихованную кривую, в области II появляются два корня с положительной действительной частью, аналогично в области III будет уже четыре корня и т. д. Итак, область / является единственной областью устойчивости.

Перейдем теперь к обсуждению полученных результатов. Из рис. 1.5 следует, что повышению устойчивости способствует:

возрастание h и уменьшение т. При этом существует предельное

Безразмерная частота со = сот на границе устойчивости меня­ ется в интервале я/2...я. Откуда следует, что частота на границе устойчивости лежит в пределах

баний имеет тот же порядок, что и время запаздывания т. Используя формулы (1.1.11), (1.1.12), (1.1.22), можно заклю­

чить, что повышению устойчивости способствуют:

увеличение суммарной потери давления на линии питания ка­ меры сгорания жидкими компонентами;

увеличение объема камеры сгорания и уменьшение площади ее критического сечения;

уменьшение времени запаздывания т.

18

1.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ

Метод частотных характеристик. В дальнейшем неоднократ­ но будут использоваться методы теории автоматического регули­ рования и, в частности, метод частотных характеристик. При ис­ пользовании метода частотных характеристик изучаемая система разбивается на отдельные динамические звенья. Воздействие од­ ного звена на другое изображается в виде линий со стрелками, указывающими направление воздействия. В зависимости от того, направлена ли стрелка к звену или от него, соответствующее воз­ действие носит название входной или выходной координаты зве­ на. Совокупность динамических звеньев, входных и выходных ко­ ординат, описывающая исследуемую систему, носит название структурной схемы.

На рис. 1.6 представлена структурная схема рассмотренной в предыдущем разделе модели низкочастотных колебаний. В нее входят три динамических звена:

звено системы подачи, входной координатой которого явля­ ются колебания давления в камере сгорания 6/?, а выходной — колебания расхода жидкого топлива ббф, поступающего в каме­ ру сгорания. Динамические свойства этого звена определяют за­ висимость колебаний расхода топлива, поступающего в камеру сгорания, от колебаний давления в ней;

звено процесса горения с входной координатой ббф и выход­ ной— колебаниями расхода газа на выходе из зоны горения бGr. Динамические свойства этого звена определяются принятой мо­ делью процесса горения;

акустическое звено, связывающее колебания расхода продук­ тов сгорания, поступающих в камеру сгорания из зоны горения, с колебаниями давления, возникающими в камере сгорания.

Представленная структурная схема автономна, так как в нее не поступают внешние воздействия. Подобные структурные схе­ мы и соответствующие им динамические системы принято назы­ вать замкнутыми. Разбить систему на отдельные звенья можно по-разному. Так, если объединить звенья системы подачи и про­ цесса горения, то получится новое объединенное звено, входной координатой которой будет бр, а выходной — бGr. Структурная схема, полученная в результате подобного укрупнения звеньев, представлена на рис. 1.7, а. В дальнейшем, звено, описывающее совместную работу системы подачи и зоны горения, будет имено­ ваться звеном рабочего процесса. Если же объединить все три звена, то структурная схема будет содержать одно звено, вход-

Рис. 1.6. Структурная схе­ ма модели низкочастотных колебаний:

20