книги / Неустойчивость горения

что в подобных случаях область реализуемых частот лежит до первого антирезонанса (0<О о<я/2) и, следовательно, примыка­ ет к низкочастотным колебаниям. Колебания такого вида принято называть промежуточными, так как их частота выше частоты низкочастотных, но ниже частоты высокочастотных колебаний, которым будет посвящен следующий раздел.

Перейдем теперь к поперечным колебаниям (атп=И=0). Подста­ вив значение pmn> определяемое формулой (3.1.21), в выражение

Выражение, стоящее под корнем, при малых значениях со ста­ новится меньше нуля, a k+mn и krmn будут комплексными числа­ ми. После подстановки k+mn и krmn в формулы (3.2.13), опреде­ ляющие значения 8йтп и Ьртп, эти формулы приводятся к виду, содержащему множитель ехр (— |Jmt&mnX| ). Это указывает на то, что акустические волны в процессе распространения вдоль оси х затухают. Поскольку затухание экспоненциально зависит от х, с практической точки зрения можно считать, что возмущения не распространяются, локализуясь в узкой области, примыкающей к сечению х = 0 . Подобное положение имеет место для всех зна­ чений ©<(Окр, где свкр — критическая частота колебаний, опреде­ ляемая из условия обращения в ноль подкоренного выражения в формуле (3.2.26):

При М = 0 критическая частота, как это следует из сопоставле ния с формулой (3.2.6), совпадает с собственной частотой соот­ ветствующей моды поперечных колебаний.

Если о)>соКр, то k+mn и k~mn действительные числа, и, следо­ вательно, поперечные колебания распространяются вдоль оси х.

81

образом, в области достаточно высоких частот поперечные коле­

частот АЧХ содержит два резонансных максимума. Частота пер­ вого резонансного максимума близка к собственной частоте пер­ вой тангенциальной моды колебаний ююо, второго — к собствен­ ной частоте комбинированных продольно-поперечных колебаний о)юь соответствующих комбинации первой тангенциальной и пер­ вой продольной мод. Ддоль^лцры камеры сгорания,в эт<?м сдучз§ укладывается половина волны продольных колебаний. (■ г . '

В общем случае при умеренных значениях чисел М (М2<С1) частота первого резонансного максимума всегда лежит вблизи собственной частоты owo, несколько превышающей <окр, частота второго резонансного максимума близка к собственной частоте <Omni и т. д. Таким образом, при фиксированной моде поперечных колебаний АЧХ имеет бесконечно большое число резонансных максимумов на частотах, соответствующих собственным часто­ там продольно-поперечных колебаний.

По мере возрастания частоты (переход к более высоким I при фиксированных тп) резонансные максимумы уменьшаются и стремятся^к значению, соответствующему продольным колебани­ ям. Наибольшую величину имеет первый резонансный максимум. Он значительно превосходит резонансный максимум продольных колебаний.

(Это связано со следующим. В принятой постановке задачи рассеивание энергии реализуется на границах газового объема и равно работе, совершаемой силами давления на перемещениях, обусловленных колебаниями скорости, см. формулу (1.2.17). Ес­ ли бы колебания газа происходили только в поперечном направ­ лении, то амплитуды колебаний скорости газа на всей границе объема равнялись бы нулю (радиальных перемещений газа на боковой поверхности не было бы). Рассеивание энергии в этом случае отсутствовало бы, а высота резонансного максимума рав^ нялась бесконечности.

Из-за граничного условия (3.2.9) колебания давления при x — L сопровождаются колебаниями скорости, что приводит к рас­ сеиванию энергии и стабилизирует высоту резонансного макси­ мума на некотором конечном значении. Очевидно, что чем мень­ ше амплитуда колебаний продольной скорости при x — L, тем меньше рассеивание энергии и тем больше высота резонансного максимума. Наименьшую амплитуду продольных колебаний име­ ют чисто поперечные колебания (тпО), при которых газ колеб­ лется в основном в поперечном направлении. По мере возраста­ ния номера продольной гармоники (при фиксированном тп) ам­ плитуды продольных колебаний газа растут, что приводит к воз­ растанию рассеивания энергии и, как следствие, к снижению ре­ зонансных максимумов.

82

зависимость первого резонансного максимума |^л|тах для первой моды тангенциальных поперечных колебаний (т = 1 , п = 0) от чи­

сгорания с квазистационарным (весьма коротким) соплом рас­ тет. К тому же приводит увеличение числа М. Увеличение значе­

источник колебаний, до сопла, в котором энергия рассеивается, диссипация энергии в системе уменьшается. В задачах акустики, как уже отмечалось, определяющую роль играет не длина сама noj^eiie* а то время, которое требуется волне, для того чтобы пройти эту длину. В связи с этим для продольных колебаний оказалось удобным ввести акустическую длину L^ (см. ранее), которая увеличивается с ростом числа М. Аналогичное положе­ ние имеет место и для поперечных колебаний *. Таким образом,

* Напомним, что скорости распространения волн вдоль оси для продоль­ ных и поперечных колебаний имеют различное значение. Помимо этого суще­ ствуют и другие особенности поперечных колебаний, затрудняющие введение акустических длин.

83

Рассмотрим адиабатическое безвихревое движение идеаль­ ного газа в цилиндрическом сопле*. Уравнения (3.1.1) запишем в виде

f j r o t u x u | + и ^ ё гааи2= —^ ^ ; ^ + div(pK)=0. (3.3.1)

Поскольку по условию движение газа безвихревое, то член, со­ держащий rot и в уравнении движения, равен нулю. Представим независимые переменные, входящие в уравнения (3.3.1), в виде сумм стационарных значений и малых возмущений, после чего осуществим линеаризацию системы уравнений (3.3.1), (3.1.3). В результате получим

В этих уравнениях стационарные значения величин зависят от пространственных координат. Определение стационарных зна­

чений р и д представляет собой достаточно сложную задачу. Стационарные решения, однако, обладают некоторыми легко устанавливаемыми свойствами, позволяющими несколько упро­ стить постановку задачи без использования конкретного вида

функций р (х, у, г) и и (х, у, г ) . Введем цилиндрическую систему координат. При стационарном безвихревом течении газ движет­ ся только в двух направлениях: осевом и радиальном. Из усло­

вия потенциальности стационарного течения frotuXuJ=0) и за­ кона сохранения массы вещества (divpu=0) следует

где й и «г— стационарные значения осевой и радиальной ско­ рости.

Первое из этих уравнений позволяет ввести потенциал тече­ ния |, а второе — функцию тока tj, определяемые соотношениями

и — д\!дх; иг= дЦ дг;

(3.3.4)

rpUf— dri/dr; rpur= — di]/dx.

Исключая из соотношений (3.3.4) и и иг, получим

* В работе [38] рассмотрен более общий случай, когда на входе в сопло заданы колебания энтропии и вйхря.

85

Нетрудно показать, что соотношение (3.3.5) эквива­ лентно условию ортогональ­ ности кривых, задаваемых в неявной форме соотношени­

ями тока. Поскольку и, по

В системе координат |, г), 0 особенно просто формулируется граничное условие на поверхности сопла. Если обозначить через rjo значение координаты т), при котором линии тока лежат на

86

/

поверхности сопла, то условие отсутствия течения по нормали к стенке сопла (условие непроницаемости) будет иметь вид

Если профиль сопла достаточно полбгий (реальные сопла, как правило, этому условию удовлетворяют), то для описания стационарного течения жидкости становится пригодным квазиодномерное (гидравлическое) приближение. Стационарные зна­ чения параметров газа в этом приближении постоянны вдоль плоскостей, перпендикулярных оси ccfcuia, и зависят только от продольной координаты | « JC. Поперечная координата rj, как это следует из третьего соотношения (3.3.4), определяется выра­ жением

Зависимость стационарных значений параметров от продоль­ ной координаты | при заданном прбфиле сопла [го=го(£)] опре­ деляется обычными соотношениями одномерной газовой дина­ мики.

Воспользовавшись гидравлическим приближением и предста­ вив искомые функции в виде произведения соответствующих

ЬЩу бйп, бй0 соответственно.

Введем теперь потенциал акустического поля соотношениями

8 й = -^ - ; 8йч= - ^ - ; . (3.3.11)

Тогда из системы уравнений (3.3.10) следует соотношение, выражающее амплитуду колебаний давления бp f через потен­ циал

(3.3.12)

После подстановки (3.3.11) и (3.3.12) в первое уравнение систе­ мы (3.3.10) и использования соотношения б р '= с 26р' получим

87

Разложим теперь функцию <р в ряд по собственным функ­ циям поперечных колебаний газа в цилиндрической части каме­ ры сгорания. Согласно результатам, полученным в разд. 3.1, полный набор этих функций состоит из выражений вида ]т{о.тпг1гй)cos mQ. В соответствии с выражением (3.3.9), опре­ деляющим т], отношение г/го в аргументе функции Бесселя сле­

дует заменить на Y V'*lо- • Таким образом, разложение в ряд функции ф имеет вид

тп

где фтп— коэффициенты разложения, являющиеся искбмыми функциями Если подставить это разложение во второе урав­ нение (3.3.11), то нетрудно показать, то 6йц на стенке обраща­ ется в ноль. Следовательно, форма, в которой ищется решение» автоматически удовлетворяет условию на стенке сопла. После подстановки разложения (3.3.14) в уравнение (3.3.13) и соот­ ветствующих преобразований получим

чений сопла. Поскольку при дозвуковом и сверхзвуковом исте­ чении из сопла эти граничные условия имеют различную форму» рассмотрим эти два случая раздельно.

Начнем с дозвукового истечения. Примем, что в начальном сечении сопла ( |= 0 ) заданы амплитуды колебаний давления Ьр' и осевой скорости Ьй'. Подставив выражение (3.3.14) в выра­

88

Верхний индекс ноль указывает на то, что переменные берутся в начальном сечении сопла. Граничные условия (3.3.18) одно­ значно определяют решение уравнения (3.3.15).

Из уравнений (3.3.15), (3.3.16), (3.3.18) следует, что, так же как и в коротком (квазистационарном) сопле, каждая тп-я гар­ моника колебания в длйнном сопле может исследоваться неза­ висимо от всех остальных.

В силу линейности уравнения (3.3.15) функции Yi(g) и У2(£) от <p°mn и ф0тп не зависят. Воспользовавшись этим, найдем гра­

ничные условия для Yu положив ср°тя= 0. Тогда из уравнения (3.3.19) получим Yi(0) = l. Для того чтобы найти УДО), продиф­

ференцируем уравнение (3.3.19) при ф°„и= 0 . В результате по­ лучим фтп(1Т=ЫЮф°»пл, откуда следует Yi(0)=0. Таким об­

Решения дифференциального уравнения (3.3.15) при задан­ ных граничных условиях можно найти путем численного инте­ грирования.

После того как срт „ найдено, соотношения (3.3.17) позволяют получить 6йтп и 6р'тп- Величины ф°т п и ф°тп при этом целесо-

89

обр/зно, воспользовавшись соотношениями (3.3.18), выразить через 8й°тп и 8(р'тп) 0. В результате выражения, связывающие колебания давления и скорости в начале сопла с колебаниями этих параметров в произвольном сечении, приобретают форму уравнения четырехполюсника:

^Рвгп 5)—#11 (W>, ?) ЪРтп”Ь#12(га)>£) в#/пя>

(3.3.22)

?)= #21 И<», S)8/>L + #2"(*4 £)««,

где bpmn— bp'mnlp, a*fe (tcо, I ) — АФЧХ, связывающие комплекс­ ные амплитуды колебаний скоростей и давлений в начале сопла и в его произвольном сечении I.

Ранее для удобства изложения было принято, что заданными являются колебания давления и скорости в начале сопла. При дозвуковом истечении из сопла в.неограниченное пространство граничное условие задается в конце сопла. В достаточно хоро­

ливо до тех пор, пока в узком сечении сопла не достигнута ме-

ность, приводящую к сингулярному решению.

Физические причины, приводящие к возникновению этой осо­ бенности, связаны со следующими обстоятельствами. В разд. 3.1, где рассматривалось распространение акустических волн в ци­ линдрическом канале, было показано, что общее решение фор­ мируется из выражений, описывающих две волны, одна из кото­ рых распространяется по потоку, а другая — против него. Оче­ видно, что возмущения, создаваемые в критическом сечении, не могут распространяться вверх по потоку, поскольку скорость течения газа в этом сечении равна скорости звука. Таким обра­ зом, волна конечной амплитуды в критическом сечении будет посылать вверх по потоку бесконечно малые возмущения, а для того чтобы посланная вверх по потоку волна имела конечную амплитуду, необходимо, чтобы в критическом сечении она была бесконечно большой. Из этого следует, что для устранения осо­ бенности необходимо исключить из решения, полученного для критического сечения, описание волны, распространяющейся вверх по потоку. Последнее возможно только в том случае, ког­ да между амплитудами давления и скорости в критическом се­

90