книги / Неустойчивость горения

жим будет в дальнейшем называться изотермическим объемным прогревом капли.

Уравнение прогрева капли, соответствующее этой модели, имеет вид

Уравнение сохранения массы газовой фазы. В типичной си­ туации доля объема, занимаемая каплями, весьма мала. Прене­ брегая ею и используя ранее введенные обозначения, запишем уравнение массы газовой фазы в виде

где Gpu — скорость образования газовой фазы в единице объема вследствие испарения капель.

Уравнение для концентраций. В описываемой модели вплоть до сечения /*, где полностью выгорает окислитель, концентрация паров горючего в газовой фазе равна нулю, в то время как кон­ центрация окислителя отлична от нуля. После сечения /*, напро­ тив, концентрация окислителя равна нулю, а концентрация па­

где vo— массовая концентрация окислителя; '£<>— стехиометриче­ ский коэффициент.

После сечения I* уравнение сохранения количества паров го­ рючего (точнее продуктов их диссоциации) имеет аналогичную форму:

М, при этом надо по-прежнему полагать vroo = 0, что соответствует предполо­ жению о полной диссоциации паров горючего.

171

Уравнение движения газовой фазы. В потоке газа, содержа­ щем испаряющиеся капли, возникают два специфических меха­ низма потери количества движения. Один из них обусловлен по­ терей импульса, идущего на разгон образующегося в процессе испарения капель газа от скорости, равной скорости капли vSy до скорости газового потока и, другой — потерями, возникающими от сил трения газа о капли. С учетом этих потерь уравнение дви­ жения газовой фазы имеет вид

(vs—u)Ms ns— msFs ns при

*

2 (vs— и) M f ns—2 mJFt tis при x > lsif)

(6.2.27)

Первый член правой части описывает изменение количества движения вследствие газообразования, второй — потерю количе­ ства движения вследствие трения газа о капли. Удобно, восполь­ зовавшись уравнением (6.2.22), привести уравнение (6.2.27) к виду

2 (M tvs—F f ) n s при x~>ls{t)

где q— p + ры2.

Уравнение для энтропии. В рассматриваемом классе задач в качестве уравнения, играющего ту же роль, что и закон сохране­ ния энергии, удобно использовать уравнение для энтропии газа

где 2 JEs— количество теплоты, подводимой в единицу времени к единице объема газа; s — энтропия газа.

Выражение, определяющее Еа, зависит от принятого способа идеализации процесса горения.

Если предположить, что теплоемкость газа не зависит от его температуры и состава, то выражение для Еа, соответствующее режиму послойного испарения, будет иметь вид

172

равная нулю вплоть до сечения, в котором полностью выгорает окислитель, и единице после этого сечения; Ts°— начальная тем­

пература капли.

Произведение Msns в этой формуле — скорость образования паров горючего в единицу времени в единице объема. Вплоть до сечения, в котором полностью выгорает окислитель, эта скорость в рамках рассматриваемой модели равна скорости горения. Ве­ личина, стоящая в квадратных скобках,— количество теплоты, подводимой к газу при образовании и сгорании единицы массы паров горючего. Первый член в квадратных скобках описывает теплоту, подводимую за счет горения, второй — теплоту, расхо­ дуемую на подогрев испаряющегося слоя капли от ее начальной температуры до температуры испаряющегося слоя, третий — теп­ лоту, идущую на испарение капли, четвертый — теплоту, расхо­ дуемую на нагрев вновь образующейся в результате испарения массы газа.

Предположения, в которых записано уравнение (6.2.30), спра­ ведливы в области сравнительно низких температур и малых из­ менений свойств продуктов реакции за счет изменения их состава.

При горении высококалорийных топлив соотношение (6.2.30) перестает быть справедливым вследствие диссоциации продук­ тов реакции. Диссоциация в этом случае существенно (до 1,5 раз)’ снижает температуру горения [2, 8]. Указанный эффект учитыва­ ется точными методами термодинамического расчета состава и температуры продуктов горения, предложенными в работе [8]. При решении задач устойчивости процесса горения непосредст­ венное использование термодинамических методов расчета весь­ ма затруднительно вследствие их громоздкости и ряда других причин. Кроме того, точное описание диссоциации в использу­ емых в настоящее время динамических моделях процесса горения излишне, поскольку их точность существенно ниже точности тер­ модинамического расчета.

Приближенный учет влияния диссоциации в рассматриваемом классе задач может быть проведен различными способами, по­ зволяющими получить заданную на основании точных расчетов температуру в конце зоны горения, например искусственным сни­ жением .теплоты реакции, введением переменной теплоемкости или некоторой дополнительной теплоты, идущей на диссоциацию газа, теплоемкость которого условно принимается постоянной. Для приближенной, но более *корректной записи выражения (6.2.30) воспользуемся последним способом, описанным в ра­ боте [28].

173

Искусственно введем теплоту ft, идущую на диссоциацию еди­ ницы массы продуктов горения заданного состава, — теплоту диссоциации. Для упрощения записи временно будем считать, что дробления капель не происходит. Тогда после введения теп­ лоты диссоциации ft с учетом выражения (6.2.30) уравнение (6.2.29) приобретет вид

Второй член правой части уравнения (6.2.31) представляет собой теплоту, затраченную на диссоциацию вновь образующе­ гося в единице объема газа, последний член определяет измене­ ние теплоты диссоциации единицы объема газа в единицу време­ ни вследствие изменения параметров газа.

Рассмотрим стационарный случай. Примем для упрощения, что температура Ts для всех капель имеет одно и то же значе­ ние и остается постоянной вдоль зоны горения: r s= 7 j= co n st. Будем пренебрегать помимо этого изменением стационарного значения давления вдоль зоны горения. Уравнение (6.2.31) с уче­ том указанных предположений и соотношения s = cplnT —R\np после преобразования приобретает вид

2 M sns уравнение (6.2.32) легко интегрируется. Результат ин­ тегрирования имеет вид

рйср (Т - Т ) = [(1 + Ао) Я о - В (Tj)] (рй-Р°й°) -'pah +

Здесь и далее верхним индексом «0» отмечены параметры в начале зоны горения, а индексом «1» — параметры в сечении, в котором полностью выгорает окислитель.

Температура Т является функцией состава газа и, следова-

тельно^может быть выражена через концентрацию v. Точное зна­ чение Т известно из результатов термодинамических расчетов. С тем чтобы подчеркнуть это обстоятельство, введем обозначе­

ние: f = f v(v). Термодинамический расчет проводится для сле­ дующих исходных агрегатных состояний компонентов: окисли­ тель находится в газообразном состоянии, горючее — в жидком.

174

Начальная температура капель и газа равна той, с которой они поступают в камеру сгорания.

Поскольку температура в начале зоны горения сравнительно невысока, то без ущерба для точности можно принять й°=0. Дальнейшего упрощения уравнения (6.2.33) можно достичь, вос­ пользовавшись легко получаемым балансовым соотношением [67]:

Колебания давления в камере сгорания сопровождаются ко­ лебаниями температуры, возникающими за счет работы сжатия. Строго говоря, колебания давления и температуры при неизмен­ ном элементарном составе топлива сопровождаются колебаниями теплоты диссоциации h вследствие изменения степени диссоциа­ ции. Значения h и h в связи с этим различны. Чтобы оценить, на­ сколько последнее обстоятельство существенно, достаточно срав­ нить изменения температуры при равновесном и неравновесном адиабатическом сжатии газа. В первом случае степень диссоциа­ ции меняется, во втором — нет. Термодинамические расчеты по­ казывают [8], что температура при равновесном и неравновесном расширении отличается менее чем на 5%. Последнее указывает на то, что с приемлемой степенью точности можно принять h(v)= h(v).

Возвращаясь к уравнению (6.2.31), после подстановки в него найденного значения h и преобразований, при которых исполь­ зуется уравнение (6.2.26), получим

^7 = (П - 7’) - (1 + V)V ^ - ] 2 Msns. (6.2.36)

Учет наличия подвижных сечений в уравнении (6.2.36) сводит­ ся к замене множителя 2 ,Msns правой частью уравнения (6.2.22).

По построению уравнение (6.2.36) в стационарном случае обеспечивает равенство T = T V при любом выборе значения ср. С другой стороны, среднее значение теплоемкости сР в интервале температур ДТ = Т —Ts, фигурирующем в формуле (6.2.19), долж­ но быть связано с ср соотношением

175

Второе слагаемое правой части этого выражения описывает дополнительное количество теплоты, выделяемой при охлажде­ нии газа за счет теплоты диссоциации.

Физическая интерпретация уравнения (6.2.36), приведенного в работе [28], подсказывает удобный путь нахождения уравнения для энтропии в тех случаях, когда часть теплоты идет на про.л грев капли. Воспользовавшись уравнением (6.2.26), приведем уравнение (6.2.36) к форме*

ницы объема газа, а само слагаемое характеризует подвод теп­ лоты за счет сгорания в единице объема газа в единицу времени горючего, имеющего массу 2 Msns. Сгорание этого горючего приводит к соответствующему изменению концентрации v. Тем­ пература газа в нестационарных условиях определяется не толь­ ко подводом теплоты, но и работой сжатия, в результате чего Т ф Т х(\). Поскольку работа сжатия газа не изменяет температу­ ру жидкой фазы, то вновь образовавшийся из жидкой фазы газ, имеющий массу, равную ^ M sns, необходимо нагреть от темпе­ ратуры Ty(v) до Г. Теплота, расходуемая на этот нагрев, описы­ вается последним членом правой части уравнения (6.2.38).

Рассмотрим теперь модель изотермического прогрева капли. При послойном испарении начальная температура капли была постоянна и равнялась Ts°. В рассматриваемой модели температу­ ра равна Ts и является функцией х и t. Дополнительное количест­ во теплоты, которое выделяется в единицу времени в единице объема за счет того, что начальная температура испаряющейся

Помимо этого, в модели изотермического прогрева капли по­ является дополнительный расход теплоты, идущей на повышение температуры капли:

at

В стационарном случае полное дополнительное количество теплоты, подведенной к газу, Q\ должно быть равно суммарному количеству теплоты, пошедшей на прогрев капель.

Покажем, что уравнения (6.2.39) и (6.2.40) удовлетворяют этому требованию. Выразим в уравнении (6.2.39), воспользовав­ шись уравнением (6.2.13), Ms через градиент ms, и, так как в ста­

* Чтобы избежать громоздких записей, временно не учитываем непринци­ пиальное в данном случае наличие подвижных сечений.

176

ционарном случае согласно уравнению (6.2.17) nsz;s=const, по­ лучим

горения х = 1 равен нулю, поскольку его первообразная функция па обоих пределах интегрирования равна нулю (при * = 0 Ts— = TS°, при x — l ms= 0 ). Таким образом, суммарное количество теплоты, отведенной от газа в капли, равно суммарному количе­ ству теплоты, возвращенной газу парами горючего.

Дополнив уравнение (6.2.36) слагаемыми Qx и Q2, после ис­ пользования уравнений (6.2.21) и преобразований получим урав­ нение, описывающее энтропию для модели изотермического про­ грева капли

Алгебраические связи. Для того чтобы замкнуть систему, со­ стоящую из дифференциальных уравнений (6.2.5), (6.2.13), (6.2.17), (6.2.21), (6.2.22), (6.2.26), (6.2.27), (6.2.36) или (6.2.42), ее надо дополнить уравнениями (6.2.4), определяющи­ ми значение 18 (число этих уравнений равно г), а также всеми необходимыми алгебраическими связями. К ним относятся

Приведенный пример типичен для систем смесеобразования без зон рециркуляции. Он, в частности, иллюстрирует громозд­ кость задачи. Так, если спектр капель разбивается на г групп, то общее число дифференциальных уравнений будет 4г+3, а алгеб­ раических связей и условий, определяющих 4, 6г-г2.

Остановимся в общих чертах на некоторых обобщениях, не нарушающих структуру системы уравнений рассмотренного при­ мера:

1. Пусть по-прежнему зоны рециркуляции отсутствуют и форсунки рав­ номерно распределены по плоскости головки камеры сгорания. В подобных условиях в ряде случаев могут оказаться существенными местные неравно­ мерности концентрации капель и всех остальных параметров потока на рас­ стояниях порядка шага между форсунками.

Разобьем плоскость форсуночной головки (сечение * = 0) на отдельные площадки, каждая из которых содержит одну форсунку. Эти площадки слу­ жат основанием однотипных расчетных элементов, на которые разбивается зо­ на горения. Граница расчетного элемента определяется из условия отсутствия

177

потоков теплоты и вещества через его боковую поверхность. Поскольку об­ ратные течения отсутствуют, а все форсунки имеют одинаковые характеристи­ ки, боковые поверхности расчетных элементов параллельны оси х. Для полу­ ченного таким образом расчетного элемента запишем трехмерные уравнения, описывающие процесс горения, для решения которых используется метод пря­ мых, см., например, работу [17]. В результате применения метода прямых каж­ дое из исходных уравнений распадается на несколько (по числу узлов сетки) однотипных уравнений, зависящих от продольной координаты х. Правые части полученных таким образом одномерных уравнений отличаются от рассмотрен­ ных ранее наличием дополнительных членов, описывающих обмен вещества и теплоты в поперечном направлении в пределах расчетного элемента.

Суммарные характеристики зоны горения: скорость газа, температура и т. п., используемые в расчетах устойчивости, находятся в этом случае путем осреднения соответствующих параметров в плоскости, перпендикулярной оси х.

2.В этом разделе были рассмотрены два предельных режима прогрева

капли: послойного испарения (Fo<Cl) и изотермического прогрева ( F o » l) . Режим послойного испарения можно получить, положив коэффициент тепло­ проводности капли Л = 0, а режим изотермического прогрева капли — поло­ жив Х=оо. При обоих режимах температура жидкости по всему объему капли

постоянна. При промежуточных режимах температура по объему капли су­

определения этой зависимости необходимо учитывать конечность значения Я. Один (но не единственный) способ приближенного учета влияния X на режим прогрева капли в рамках рассмотренной модели сводится к использованию ва­ риационных принципов.

Вариационный принцип * формулируется в виде некоторого функционала от искомого профиля температур TH= TK(r'f t). Функция Гк^', t ), миними­ зирующая значение функционала, удовлетворяет уравнению теплопроводности. При использовании вариационного принципа для получения приближенного

сказывается априорными соображениями о характере точного решения. Задача

После подстановки функции F в функционал и интегрирования по г' по­ лучим приближенную формулировку вариационного принципа с функционалом от функций ai(0* .••» ctn (0 , зависящих от t и не зависящих от г'. Вариацион­ ный принцип для этого функционала позволяет получить систему дифферен­

профилю температур, минимизирующему функционал исходного вариационного принципа, и, следовательно, дает приближенное выражение для искомого про­ филя температур. Точность результата возрастает с увеличением числа функ­ ций а*(/), так как это увеличивает гибкость функции F и тем самым ее спо­ собность описать точное решение TK(r\ t) (следует, однако, отметить, что да­ же при п= 2 описываемый подход дает вполне удовлетворительные резуль­ таты) .

Нетрудно видеть, что поскольку уравнение теплопроводности имеет пер­ вый порядок по t, то при надлежащем выборе функции F уравнения для a t-

Da.

будут того же вида, что и рассмотренные в описанной ранее модели: ----- : = d t

=о . .

*Вариационные принципы для диссипативных систем приведены в [41, 42]. Наиболее удобным для использования в рассматриваемом случае, как показывает опыт, является вариационный принцип, предложенный в [13].

178

3.В динамической модели процесса горения, описанной в этом разделе,

используются подвижные сечения в которых правые части дифференциаль­ ных уравнений терпят разрыв. Если длина зоны горения много меньше длины камеры сгорания (точнее длины акустической волны) и одновременно харак­ терное время горения много меньше периода колебаний, то хорошей идеали­ зацией реального процесса является представление зоны горения в виде по­ верхности сильного разрыва, которую удобно называть фронтом пламени. На поверхности сильного разрыва скачком изменяются значения таких парамет­

Типичным примером горения, для которого описание процесса с помощью фронта пламени позволяет получить ряд важных результатов, является го­ рение в камерах сгорания воздушно-реактивных двигателей. В камерах сгора­ ния воздушно-реактивных двигателей локализация зоны горения определяется местом установки стабилизирующих устройств.

Поверхность сильного разрыва разбивает объем камеры сгорания на две области: до и после поверхности разрыва. Условия на поверхности разрыва (они рассмотрены в следующем разделе) сшивают решения, принадлежащие к разным областям.

Описание зоны горения с помощью подвижной поверхности сильного раз­ рыва было введено в теорию вибрационного горения в работе [56].

В некоторых случаях может оказаться целесообразней такая идеализация, при которой считается, что процесс горения состоит из двух сравнительно мед­ ленно протекающих стадий (подготовки и догорания), описываемых диффе­ ренциальными уравнениями, решения которых сшиваются условиями на по­ верхности сильного разрыва (фронта пламени).

6.3. СТАНДАРТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [44]

Первым этапом исследования устойчивости процесса горения является определение параметров стационарного режима. Для моделей, описывающих горение без обратных токов, эта задача сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференци­ альных уравнений с граничными условиями, заданными в на­ чальном сечении. На следующем этапе производится линеариза­ ция исходных уравнений вблизи положения равновесия. Полу­ ченные в результате линеаризации уравнения описывают возму­ щенное движение системы. Согласно общему плану решения, из­ ложенному в разд. 6.1, система уравнений возмущенного дви­ жения служит для построения матрицы частотных характеристик зоны горения.

В этом разделе линеаризация систем уравнений моделей про­ цесса горения без обратных токов будет проведена в общем ви­ де. При этом особое внимание будет уделено приведению урав­ нений возмущенного движения к некоторой стандартной форме. Единообразная запись уравнений возмущенного движения от­ крывает возможность, как это будет показано в разд. 6.4, созда­ ния в известной мере универсального алгоритма их исследова­

ния.

Для упрощения изложения процедура линеаризации и приве­ дения к стандартному виду будет сначала осуществлена для низ­

179

кочастотных и продольных колебаний, а затем обобщена на слу­ чай использования поперечных колебаний.

Продольные колебания. Из достаточно типичного примера, приведенного в предыдущем разделе, следует, что уравнения, описывающие модель зоны горения, можно разбить на следую­ щие четыре группы:

1. Уравнения конвективного типа

(6.3.1)

где / = 1,... ,П\\ П\ — общее число уравнений конвективного типа; Yi — переменные, стоящие под знаком производной по продоль­ ной координате; п— общее число таких переменных; X j — все остальные переменные, не являющиеся У*; ап— общее число пе­ ременных типа Xj\ ls= l s(t) — координаты сечения дробления ка­ пель, принадлежащих к группе с номером s\ г — общее число групп капель. Примером уравнения такого типа может служить уравнение (6.2.5).

Условимся все переменные типа Yi называть основными, а типа Xj — вспомогательными. К числу основных переменных в

ит. д.

Вправую часть уравнения (6.3.1) в целях единообразия за­

писи последующих результатов, введен множитель W\ (путем де­ ления исходного выражения на су<).

2. Уравнения дивергентного типа

нений.

Если рассматривается модель, в которой дробление капель происходит, сразу после того как число Вебера достигло кри­ тического значения, то движение этих поверхностей определя­ ется уравнениями вида

(6.3.4)

180