книги / Неустойчивость горения

Описанный пример показывает, что монотонное изменение параметров не­ линейной системы может сопровождаться скачкообразным изменением ее ди­ намических свойств. Подобное явление называется бифуркацией, а значения параметров, при которых оно наблюдается, — бифуркационными. Существует принципиальное различие между системами, имеющими бифуркационные и не­ бифуркационные значения параметров. В первом случае практически любое произвольно малое изменение параметров приводит к качественному измене­ нию динамических свойств системы, во втором — существует некоторая конеч­ ная область параметров, малые изменения значений параметров в которой при­ водят к малым количественным изменениям движения системы. Динамические системы последнего типа носят название грубых. Поскольку абсолютно точ­ ная реализация бифуркационных значений практически невозможна, все физи­ чески реализуемые системы являются грубыми. В следующем разделе явление бифуркации будет рассмотрено дополнительно.

5.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ

Использование нелинейных феноменологических моделей го­ рения менее эффективно, чем линейных. Это в первую очередь связано с тем, что нелинейные задачи требуют описания динами­ ческих процессов как вблизи, так и вдали от стационарного ре­ жима. Поскольку описание динамических свойств системы вдали от стационарных режимов требует при использовании феномено­ логических моделей привлечения дополнительных гипотез, вы­ воды, следующие из теории, основанной на этих моделях, приоб­ ретают более качественный характер, чем при использовании ли­ нейных моделей.

Тем не менее теория не теряет определенного практического интереса, поскольку показывает, что в принципе можно ожидать от эксперимента и как его надо поставить, с тем чтобы выявить влияние нелинейных факторов.

Простейшая феноменологическая модель. В предыдущем раз­ деле показано, что уравнения, описывающие динамические свой­ ства "нелинейного звена, после гармонической линеаризации за­ писываются в той же форме, что те же уравнения для линейно­ го звена. Однако отличаются от последних тем, что постоянные коэффициенты, полученные в результате гармонической линеа­ ризации, являются функциями амплитуд колебаний. Исходя из этого примем в качестве простейшего нелинейного обобщения уравнения (2.1.8), описывающего зависимость колебаний скоро­ сти газообразования от колебаний давления, уравнение вида

функции пЭф взято (6р)2, поскольку именно в таком виде зависит гармонический коэффициент усиления от амплитуды в случае степенных нелинейностей. В частности, если функцию f(p), фи­

141

гурирующую в уравнении (2.1.4), разложить в степенной ряд, сохранив первые пять степеней, осуществить гармоническую ли­ неаризацию, и после этого, воспользовавшись уравнением (2.1.4), найти уравнение (5.2.1), то функция пЭф будет иметь вид *

где /г, я2, Па— константы.

Не вдаваясь в подробности, отметим, что описанный способ получения уравнений (5.2.1) и (5.2.2) недостаточно строг, так что выражение (5.2.2) правильнее рассматривать не как прямое следствие уравнения (2.1.4), а как некоторую самостоятельную простейшую феноменологическую модель, обобщающую уравне­ ние (2.1.8) для нелинейного случая.

При малых значениях амплитуд колебаний, т. е. при пдф~пу уравнение (5.2.1) переходит в уравнение (2.1.8).

Так же как и в предшествующем разделе, рассмотрим внутрикамерную неустойчивость, положив в соответствии с этим б£?ф = 0. Уравнение (2.1.8) при 6(/ф= 0 приводит для продольных акустических колебаний к границе устойчивости (к D-разбие- нию), описываемой уравнениями (4.1.11).

По построению уравнения, описывающие £>-разбиения, можно рассматривать в качестве таких условий, накладываемых на па­ раметры системы, при выполнении которых реализуется режим гармонических колебаний. Рассматриваемая здесь нелинейная модель отличается от линейной только тем, что в ней вместо п фигурирует лЭф. Последнее позволяет, воспользовавшись уравне­ ниями (4.1.11), сразу выписать условия, которым должны удо­ влетворять параметры системы для того, чтобы в ней реализо­ вался режим гармонических колебаний.

Поскольку в приближении гармонического баланса предель­ ному циклу соответствуют гармонические колебания, уравнения

В отличие от уравнений, описывающих линейные системы, уравнение (5.2.3) помимо параметров системы содержит ампли­ туду предельного цикла 8р. Последнее позволяет, зафиксировав параметры системы, выразить через них 8р. Воспользовавшись

* Знак минус перед последним членом уравнения (5.2.2) взят из сообра­ жения удобства дальнейшего анализа.

142

уравнениями (5.2.2) и (5.2.3), можно записать соотношение, служащее для определения амплитуды предельного цикла:

Решая уравнение (5.2.4) относительно бр2уполучим

Уравнение (5.2.5) позволяет построить амплитуды предель­

ных циклов в функции параметра т, характеризующего конст­ руктивные и режимные параметры камеры сгорания.

Для того чтобы исследовать устойчивость положений равно­ весия, положим 6р = 0. При 6/?=0 система линейна и имеет ко­ эффициент усиления п. Из результатов, полученных в предыду­ щем разделе, следует, что если п< п *, то положение равновесия будет устойчиво, если же п>п*у то оно неустойчиво. Таким об­ разом, зависимость п = п*(т) является бифуркационной кривой, описывающей границу устойчивости. На рис. 5.4 эта бифуркаци­ онная кривая обозначена буквой а. Она разбивает плоскость

п—т на две области: область I и всю остальную часть плоскости. В области / положение равновесия неустойчиво, а вне области 1 — устойчиво.

143

Согласно формуле (5.2.3) я* ограничена снизу минимальным значением

В целях дальнейшего анализа обратимся к графическому ре­ шению уравнения (5.2.4).

Ограничимся рассмотрением тех случаев, когда я4> 0 (в даль­ нейшем это условие специально не оговаривается). На рис. 5.5 представлена серия зависимостей яЭф от бр при различных зна­ чениях коэффициентов я, я2, я4.

Из уравнения (5.2.2) следует, что при бр = 0 яЭф = я. Каждо­

му значению т на рис. 5.4 согласно определению соответствует некоторое значение я*, равное значению абсциссы бифуркацион­ ной кривой а. Отложим эти значения на оси ординат графика, приведенного на рис. 5.5, и проведем горизонтальные прямые. Точка пересечения горизонтальной прямой я*(т) с кривой, опи­ сывающей зависимость яЭф от бр, дает графическое решение уравнения (5.2.4) и определяет тем самым амплитуду предель­

ного цикла при заданном т. Для наглядности это решение на рис. 5.4 и 5.5 получено для двух значений т:т = 1 (при этом

я* = я*тт) и некоторого т, при котором я*(т) =0,7.

Зависимости эффективного коэффициента усиления от амп­ литуды давления могут быть разбиты на два основных типа.

Зависимости первого типа характеризуются тем, что рост амплитуды колебаний приводит к монотонному снижению зна­ чения эффективного коэффициента усиления. Зависимость этого типа реализуется при я2< 0 и представлена на рис. 5.5 кривой 1.

При зависимостях второго типа монотонный рост амплитуды колебаний давления сначала (при малых бр) сопровождается ростом значения эффективного коэффициента усиления, а затем, после того, как амплитуда колебаний давления превысит неко­ торое предельное значение, уменьшением значения коэффициен­ та усиления. Описываемые зависимости имеют место при я2>0. Зависимости второго типа представлены на рис. 5.5 в виде кри­ вых 2 и 3.

При зависимости первого типа рост амплитуды колебаний давления приводит к снижению эффективности положительной обратной связи, вызывающей потерю устойчивости, при зависи­ мостях второго типа — при малых амплитудах колебаний эффек­ тивность обратной связи с ростом амплитуды колебаний растет, а при больших, напротив, уменьшается.

Рассмотрим сначала системы с зависимостью первого типа. Нетрудно видеть, что у любой зависимости рассматриваемого типа существует не более одной точки пересечения с горизон­

тальной прямой, соответствующей конкретному значению т. На рис. 5.5 в качестве примера показана точка пересечения а,\ го­

144

ризонтальной прямой n*=n*(l) = /г*т т с кривой 1. Эта точка пе­ ресечения определяет амплитуду предельного цикла бра\-

Для того чтобы исследовать устойчивость этого предельного цикла, рассмотрим переходной процесс в системе после малого отклонения от стационарного режима колебаний, соответствую­ щего точке а,\. В точке а\ эффективный коэффициент усиления яЭф по построению имеет в точности такое значение, которое обес­ печивает стационарный режим колебаний. Из этого следует, что при яЭф, превосходящем это значение, в системе должен возник­ нуть переходный процесс, сопровождающийся уменьшением амп­ литуд колебаний, а при пэф, меньших этого значения, переходной процесс должен сопровождаться ростом амплитуды.

Пусть теперь в результате некоторого возмущения амплитуда колебаний давления стала меньше браь Тогда, как это видно из рис. 5.5, эффективный коэффициент усиления станет больше того значения, которое обеспечивает стационарный режим колебаний, в результате чего возникнет переходный процесс, сопровождаю­ щийся ростом амплитуды колебаний. Возмущения стационарного режима колебаний, приводящие к превышению амплитуды коле­ баний давления над стационарным значением, будут по анало­ гичным причинам порождать переходный процесс, сопровождаю­ щийся уменьшением амплитуд колебаний. В обоих случаях пере­ ходный процесс стремится восстановить стационарный режим колебаний (см. направление стрелок на рис. 5.5). Таким образом предельный цикл устойчив и, следовательно, соответствует авто­ колебаниям.

Из рис. 5.5 видно, что при п2< 0 предельные циклы существу­ ют для всех значений т, удовлетворяющих условию п*(%)<п

(для кривой 1 /г= 0,5). Если п*(т) =/г, то горизонтальная прямая касается кривой пЭф(8р2) при 6р = 0 и, следовательно, ампли­ туда предельного цикла становится равной нулю. Итак би­ фуркация, происходящая при пересечении кривой а на рис. 5.4, приводит не только к изменению состояния равновесия, но и к исчезновению или появлению устойчивого предельного цикла (автоколебаний). Описанная бифуркация в рассматриваемом случае (п2<0) является единственной. Она разбивает плоскость

п—%на две области, в одной из которых имеет место мягкий ре­ жим возникновения автоколебаний, а в другой — система абсо­ лютно устойчива. Области II, III и дополнительная линия би­ фуркации b относятся к системе с п2> 0, которая будет рассмот­ рена несколько позже (см. рис. 5.4).

Последим теперь, как будет вести себя рассматриваемая си­ стема (я2<0) при медленном (квазистационарном) изменении ее параметров. Под медленным в данном случае следует пони­ мать такое изменение параметров, характерное время которого много больше характерного времени переходного колебательно­ го процесса.

145

Пусть, например, в процессе запуска характерное время го­

рения т уменьшается от некоторого начального значения, соот­ ветствующего устойчивой области, до значений, близких к нулю. Для упрощения анализа примем, что коэффициенты /г, п2 и щ остаются при этом постоянными. На рис. 5.4 подобное изменение параметров системы_описывается вертикальной прямой 1 (п =

= 0,5). Значение п* (т) в рассматриваемом случае сначала умень­ шается до п*Ш1П, а затем растет. Если значение п<п*т\п,то в лю­

бом диапазоне изменения т система, как это видно из рис. 5.4, остается в устойчивой области. Тот же результат можно полу­ чить, используя графики, приведенные на рис. 5.5, заметив, что кривые типа 1 при п<пт\п не могут иметь точек пересечения ни

с одной из горизонтальных прямых п*(т) (чтобы не загромож­ дать рис. 5.5, кривые типа 7, имеющие п<п*тщ, на нем не при­ ведены) .

Если же п>п*тт, то картина существенно меняется: система

в процессе монотонного уменьшения т проходит область само­ произвольного возбуждения автоколебаний, ограниченную в

плоскости параметров п—т, кривой бифуркации а (см. рис. 5.4). Из уравнения (5.2.5) следует, что вблизи границы устойчивости,

из-за того что я*(т)~ п, амплитуда автоколебаний мала, а на самой границе она обращается в нуль. Наибольшее значение

146

усиления от амплитуды давления второго типа. Напомним, что эти зависимости реализуются при п2>О и отличаются от только что рассмотренных (га2<;0) тем, что кривая пЭф(6р2) имеет мак­ симум. Типичные виды подобных зависимостей представлены на рис. 5.5 кривыми 2 и 3 . Для кривой 2 /г>я*т ш, для кривой 3

П < С .Т 1^ m in .

Определив экстремум функции (5.2.2), получим, что значение Ар2, при котором достигается максимальное значение /гэф, и са­ мо максимальное значение пэф, соответственно равны

где б^с — амплитуда колебаний, соответствующая максимально­ му значению /гэф; пэФтах— максимальное значение эффективно­

<п*х<п предельный цикл один. Рассмотрим теперь более по­ дробно тот случай, когда п>п*т\п (кривые вида 2 на рис. 5.5).

На рис. 5.5 точки, соответствующие предельным циклам для

значения я*(т)=0,7 и зависимости пэф от бр, описываемой кри­ вой 2 , обозначены через а2у и а2н. Точка а2у образуется в резуль­ тате пересечений такого же типа, что и точка а{. Ранее уже было показано, что подобный тип пересечения соответствует устойчи­ вому предельному циклу. Поступая совершенно аналогично тому, как это делалось применительно к точке пересечения а\, нетрудно показать, что точка а2н определяет неустойчивый предельный цикл. Описанная ситуация в рассматриваемой задаче^ сохраняет­

ся, как это видно из рис. 5.5, для всех значений /г* (т), лежащих в интервале п<п* (т) </гэф m a x .

устойчиво. Если же значения я* (т) таковы, что им соответствует

один устойчивый предельный цикл, то я=Яэф(0)>я*(т) и , следо­ вательно, положение равновесия неустойчиво. _

Пусть теперь т меняется таким образом, что я*(т) уменьшает­

ся от значения, равного 0,7*, до яЭф(0)=я. Уменьшение я*(т) (см. кривую 2 на рис. 5.5) сопровождается непрерывным умень­ шением амплитуды неустойчивого предельного цикла. По дости­

жении я* (т) значения, равного я, неустойчивый предельный

* Значение п*(т )= 0 ,7 выбрано в качестве примера конкретной реализа­

ция.

147

цикл исчезает. Описанный вид бифуркации возникает при

п*(х)=п. На рис. 5.4 этой зависимости соответствует кривая а, описывающая границу устойчивости. Во всей области /, лежа­ щей правее этой кривой, в системе реализуются мягкие режимы возбуждения автоколебаний. Таким образом, область / при п2>0 обладает теми же свойствами, что и при п2< 0. Однако типы бифуркаций при п2<С0 и п2>0 на границе а различны: в первом случае мягкие режимы самовозбуждения автоколебаний сменяются абсолютно устойчивыми режимами, во втором — мяг­ кие режимы возбуждения автоколебаний сменяются жесткими режимами.

Рассмотрим теперь изменение картины движения в процессе возрастания п*(т) от значения, равного 0,7, до пэфшах. По мере

возрастания п*(т), как это видно из рис. 5.5, амплитуда неус­ тойчивого предельного цикла растет, а устойчивого,_напротив,

уменьшается. В результате они сближаются. При п* (т) = пЭфшах устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются и «ней­ трализуют» друг друга. Единственным возможным _установив-

шимся состоянием при дальнейшем возрастании п*(т) является устойчивое положение равновесия, и, следовательно, система становится абсолютно устойчивой. Таким образом, при выполне­

нии условия п* (т) = пЭфmax происходит еще одна бифуркация, в результате которой система с жестким режимом возбуждения превращается в абсолютно устойчивую. Условие, при котором происходит этот вид бифуркации, можно получить, воспользовав­ шись вторым уравнением (5.2.7). Полагая в этом уравнении

Пэфшах= Л* (т) , ПОЛУЧИМ

где Ад = Я2/(4/г4).

Из соотношения (5.2.8) следует, что в плоскости параметров

п—т вторая бифуркационная кривая может быть получена из первой (кривая а на рис. 5.4) путем параллельного переноса влево на Дп. Эта новая бифуркационная кривая обозначена бук­ вой Ь. Из рис. 5.5 следует, что при п2> 0 бифуркационные кривые

разбивают плоскость параметров п—т на три области: область /, которой соответствуют мягкие режимы возбуждения автоколеба­ ний; область II, в которой возможно жесткое возбуждение авто­ колебаний; и, наконец, область III, в которой система абсолютно устойчива.

Напомним, что при п2< 0 область II отсутствует и область / непосредственно граничит с областью ///.

Положим п> п*mm и, зафиксировав п2 и побудем квазиста­ ционарно изменять характерное время горения т. Для определен­ ности примем, что т монотонно уменьшается от некоторого на­

148

чального значения, соответствующего при выбранных значениях /г, Яг, Щ абсолютно устойчивой области III (см. стрелку на рис. 5.4) . Изменение параметров системы на рис. 5.4 будет при этом описываться вертикальной прямой 1. Из бифуркационной диа­ граммы видно, что подобное изменение сопровождается бифурка­ циями, соответствующими пересечению кривых b и а. Проследим,

Для качественного анализа, наряду с формулой (5.2.9), удобно использовать графическое решение уравнения (5.2.4), позволяю­ щее получить наглядное представление о характере зависимости

По условию исходное значение т лежит в устойчивой области III (см. рис. 5.4). Система находится в положении равновесия

По достижении значения т=тр1 в системе происходит бифурка­ ция, в результате которой появляются устойчивый и неустойчи­ вый предельные циклы. Возникшая в результате описанной би­

фуркации ситуация сохраняется вплоть до значения т=трг, кото­ рому соответствует вторая бифуркация (пересечение с кривой а).

Во всем интервале тр2< т < т Р1 уравнение (5.2.9) (см. также рис. 5.5) дает два значения для амплитуд предельных^циклов.

Зависимость амплитуд предельных циклов отт на рис. 5.6 для рассматриваемого случая описывается кривой 2. Несмотря на то,

что система в процессе квазистационарного уменьшения т при

T=Tpi претерпела бифуркацию, она по-прежнему остается в со­ стоянии покоя, поскольку для возникновения автоколебаний в области II (см. рис. 5.4) необходимо конечное возмущение. При

т= необходимые для возбуждения системы возмущения рав­

ны брс, по мере приближения т к тЭ2 это значение стремится к нулю. Таким образом, при движении справа налево в интерва­

ле тР2< т< тр1 (см. рис. 5.6) колебания системы не возбуждают­ ся, несмотря на существенное изменение ее динамических свойств (система, однако, становится чувствительной к возму­

л*(тр2)= я ], происходит еще одна бифуркация, в результате ко­ торой неустойчивый предельный цикл стягивается в точку, а ус­ тойчивое положение равновесия переходит в неустойчивое. В ре­ зультате система теряет устойчивость и в ней по окончании пере­ ходного режима устанавливаются автоколебания. Направления,

149

в которых в течение переходного процесса изменяются амплиту­ ды колебаний давления, на рис. 5.6 указаны стрелками. Дальней­

шее уменьшение т приводит при т= та2 к бифуркации, в результа­ те которой неустойчивое положение равновесия вновь превраща­ ется в устойчивое, одновременно с этим рождается неустойчивый предельный цикл. Система после этого вновь будет находиться в области II (см. рис. 5.4). Однако в отличие от первого прохож­ дения области II, в рассматриваемом случае в системе реализу­ ется режим автоколебаний, который сохраняется вплоть до сле­

срыве автоколебаний. Срыв автоколебаний возникает в резуль­ тате слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов, приводящего к их взаимному уничтожению.

Существует важное отличие поведения системы при п2>0 и п2< 0 для значений параметров, лежащих вблизи границы устой­

чивости (т^тр2 или Таг) - Мягкий режим возбуждения, возникаю­ щий вблизи границы устойчивости, приводит к автоколебаниям малой амплитуды, в то время как при п2> 0 амплитуда автоколе­ баний, даже вблизи границы, имеет большое значение. Это свя­ зано с тем, что при м2> 0 потере устойчивости предшествует та­ кое состояние системы, при котором возможны жесткие режимы возбуждения, в то время как при я2<С0 этого нет.

Таким образом, характер зависимости уровня амплитуд авто­ колебаний от режима работы вблизи границы устойчивости со­ держит некоторую косвенную информацию о том, существует ли вблизи границы устойчивости область с режимамжжесткого воз­ буждения или нет. Если уровень автоколебаний вблизи границы устойчивости незначителен, то это указывает на отсутствие в рас­ сматриваемой области режимов жесткого возбуждения. Если же уровень установившихся автоколебаний непосредственно около границы устойчивости весьма большой, то это позволяет предпо­ лагать, что вблизи границы устойчивости существует область жестких режимов возбуждения автоколебаний (В последнем случае для окончательного решения вопроса требуется детальное исследование весьма малой окрестности границы устойчивости, так как существенное увеличение амплитуды в сравнительно не­ большом, но конечном удалении от границы устойчивости может иметь место и для систем с мягким режимом возбуждения, имею­ щим большое значение градиента зависимости бр2 от параметров

в системе установились автоколебания, направление изменения т поменяло знак и его значение начало возрастать.'Тогда при про­

150