книги / Основы механики сплошной среды

Из (12.25) и (12.26) для такого газа следует формула Майера

Сделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент “1” объём, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис. 43), равен Vj. Давление, при

котором поршень находился бы в равновесии, равно

в момент “2” остановится в положении Vz, в котором дав­ ление р2 уравновешивает внешнее давление ро. Кинетическая энергия, связанная с колебательными движениями поршня, пе­ рейдёт в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу:

Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счёт по­ вышения внешнего давления ро. Однако его нельзя сделать большим чем “равновесное” давление (12.30), ведь иначе пор­ шень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным бу­ дет равновесное давление ро. Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно. Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т.е. неосущест­ вимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовём обратимой:

Это наибольшее значение работы при изотермическом расшире­ нии газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для ро выражением (12.30), получим

Каким бы способом не осуществлялся необратимый процесс между двумя фиксированными значениями объёма V\ и Vi, в любом случае будет выполняться неравенство (12.33). При PQ= 0 необратимая работа равна нулю (опыт Гей-Люссака), а работу (12.32) можно сделать бесконечной при неограниченном объёме.

Итак, необратимые процессы приводят к рассеиванию энер­ гии, её диссипации. Был рассмотрен изотермический процесс. Процесс, происходящий без изменения тепла (6Q = 0) называет­

Чтобы процесс был обратимым, внешнее давление ро, дейст­ вующее на поршень, должно, как и прежде, очень мало отличать­ ся от равновесного давления, определяемого уравнением состоя­ ния (12.23). Однако теперь температура не является постоянной, поэтому из (12.34) и (12.22) имеем

(w)TdV+(w)TdT+pdV=0- <12'35>

Для совершенного газа в силу (12.26) и (12.20) из (12.35) получим

откуда с учётом уравнения состояния ( 12.11) имеет место диф­ ференциальное уравнение

Тогда уравнение адиабаты (12.38) на основании формулы Майе­ ра (12.29) переписывается в форме

Пользуясь уравнением состояния (12.11), можно получить урав­ нение адиабаты, называемой адиабатой Пуассона, в виде

На рис. 44 показаны адиабата (12.40)

Чтобы распространить полученные результаты на “реальные” газы, подчиняющиеся уравнению со­

стояния (12.23), нужно воспользоваться соотношением (12.35):

где а и 6 — некоторые постоянные. Можно рассмотреть не только изотермический и адиабатический процессы. Если в уравнени­ ях (12.40) и (12.41) вместо показателя адиабаты 7 поставить произвольное число п > 0, то получим уравнение политропы. Например,

В этом случае необходимо использовать уравнение (12.17), ко­ торое запишем в виде

Вычислим величину dQ для политропного процесса. Из (12.44)

Наконец, подставляя (12.48) в (12.45), будем иметь

Итак, количество тепла, подводимого к системе при повыше­ нии температуры на один градус, остаётся постоянным. Поэто­ му политропный процесс можно определить как процесс, иду­ щий при постоянной теплоёмкости: cv = const или ср = const. Постоянная величина в (12.49)

Заметим, что до сих пор рассматривались системы, нахо­ дящиеся в равновесии. Если же учитывать движение данных систем, то необходимо принимать во внимание кинетическую энергию. Тогда формулировку первого закона термодинамики можно несколько изменить, воспользовавшись теоремой живых

Обратим внимание, что уже неоднократно ранее употребля­ лось слово “энергия”, например: кинетическая энергия JC (7.16), потенциальная энергия деформации <р (10.43), полная энер­ гия С (10.45). Все эти величины имеют одну и ту же размерность

В дальнейшем встретятся ещё тепловая и электромагнитная энергии. Существуют гравитационная, ядерная энергии, энергия массы тс2, где с — скорость света, и т.д. Так что же такое энергия?

Дать чёткое определение этой величины скорее всего невоз­ можно. Будет важно лишь знать, что, во-первых, энергия имеет размерность ( 12.1) и, во-вторых, она всегда является произве­ дением обобщённой силы на обобщённое перемещение. Энергия вводится для расчёта численных величин, после сложения кото­ рых получается постоянная величина — полная энергия. Соглас­ но универсальному закону сохранения энергии, эта величина не меняется ни при каких превращениях, происходящих в природе (химические реакции, фазовые переходы, разрушение).

Л Е К Ц И Я 13

ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

В предыдущей лекции говорилось, что механическую энер­ гию можно всегда перевести в тепло. Обратное возможно не всегда. Возникающие ограничения связаны со вторым законом термодинамики [14,42], который, как и первый, имеет нес­ колько формулировок. Рассмотрим сначала две самые распро­ странённые.

1. Формулировка Клаузиуса. Тепло не может самопроиз­ вольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому.

2. Формулировка Кельвина и Планка. Невозможно постро­ ить периодически действующую машину, единственным резуль­ татом действия которой было бы совершение механической рабо­ ты за счёт охлаждения теплового резервуара.

Эти две формулировки эквивалентны, что следует из ниже приведённых рассуждений. Тепловые машины работают таким образом, что рабочее вещество расширяется в результате погло­ щения тепла от резервуара, находящегося при некоторой темпе­ ратуре Т\. Чтобы вернуться к первоначальному состоянию, это вещество нужно снова сжать, т. е. передать тепло резервуару с температурой То (То < Ti). Однако на сжатие (Т\ —» То) необхо­ димо затратить меньше работы, чем было получено при расши­ рении (То —>Ti). Согласно формулировке 1 невозможно передать это тепло резервуару с температурой Т\ > То без каких-либо изменений. Отсюда вытекает справедливость формулировки 2.

Обратно, в силу 2 невозможно извлечь тепло из некоторого резервуара, превратив его в работу, и снова превратить в тепло (например, трением) в резервуаре с температурой Ti (Ti > То). Следовательно, из формулировки 2 вытекает формулировка 1.

Заметим, что если бы утверждения 1 и 2 не выполнялись, то можно было бы получить тепло из резервуара (Ti) и превратить его в работу при помощи циклического процесса (Ti —►То —►Ti). Это не нарушало бы первого закона термодинамики (12.5), т. е. соотношения (12.7). Такая машина обладала бы способностью

Основываясь на втором законе термодинамики, покажем, что к.п.д. г) максимален в случае, если рассматриваемый нами термо­ динамический процесс обратим. Для этого рассмотрим тепловую машину, в которой цикл проводится (не обязательно обратимым путём) между резервуарами с температурами Тг и Т\ (Т\ < < Т2). К.п.д. такой машины подсчитывается на основании фор­ мулы (13.2). Нужно доказать, что

где т?обр — к.п.д. машины с обратимым процессом. Из (13.2) следует, что неравенство (13.4) эквивалентно неравенству

Oi. « Г

(13.5)

<?2 " e jp '

где Q|6р и Q yр — соответственно отдаваемое и поглощаемое тепло в обратимом цикле: 1 —>2 —>3 —>4 —>1.

Предположим, что машина с необратимым циклом спарена с обратимой машиной, которая работает в обратном направлении между резервуарами с теми же температурами, причём резер­ вуару с более высокой температурой Т2 отдаётся количество тепла Q°2 ?, а от резервуара с более низкой температурой Т\

поглощается количество тепла <3°6p Согласно первому закону термодинамики обратимая машина за один цикл совершит рабо­

Предположим далее, что обратимая машина отдаёт резервуа­ ру с более высокой температурой как раз то количество тепла, которое поглощает обратимая машина:

Тогда из (13.7) и (13.8) следует