книги / Основы механики сплошной среды

Приравняем в правых частях (16.12) и (16.13) коэффициенты при независимых 6JV + 1 дифференциалах dqi, dpi и dt:

и выразим из (16.9), (16.10) dL/dqi:

dL

(16.15)

d<u~Pi'

Таким образом, из (16.14), (16.15) получим систему 6N канонических уравнений Гамильтона:

Так же как и уравнения Лагранжа (16.9), уравнения (16.16) являются обыкновенными относительно 6N гамильтоновых пере­ менных {q,p}- Для решения системы (16.16) необходимо задать начальные условия

Тогда решениями будут наборы q и р:

то да называются первыми интегралами уравнений (16.16). Ес­ ли размерность g совпадает с размерностью энергии, то первый интеграл (16.19) называется интегралом энергии.

Гамильтоновы переменные, не входящие в число аргументов функции Н, называются циклическими. Если m — число цикли­ ческих переменных ( т < 6N), то сразу можно написать т пер­ вых интегралов. Действительно, пусть, например, переменные q\ и рг циклические, т. е. dH/dqi = 0 и dH/dp2 = 0 . Но тогда из уравнений (1 6 .1 6 ) следует, что р \ = 0 и ç2 = 0 . Поэтому функции 9i(q,P>t) = Pi и g2{q,P,t) —92 являются первыми интегралами.

Разделим обе части соотношения (16.12) на dt и воспользу­ емся уравнениями (16.16):

т.е., если H не зависит явно от времени (такие системы назы­ ваются склерономными), то и dH/dt = 0, что говорит о суще­ ствовании интеграла энергии

где h — полная энергия системы.

Для описания движения системы N точек в R3 можно

состоянию системы. В этом фиксированном состоянии сис­ тема описывается обобщёнными координатами q\, дг, • • •, q3N и обобщёнными импульсами р\,Р2, • • • ,p3N- Траектория в фазо­ вом пространстве Г означает движение системы с параметрами

....... ?3N (0 ;PI (*)>P2(*)........ РзлЛ*)- Начальная точка траектории соответствует параметрам (16.17) при t = 0.

Фиксируем в Г конечный объём AqAp и достаточно большой промежуток времени (0;ii). Будем следить за теми промежут­ ками времени to, когда фазовая траектория находится внутри данного выделенного объёма. Тогда при fi —►оо величина

является вероятностью попадания фазовой траектории в объём AqAp при t > 0. Если теперь взять бесконечно малый объём

Коэффициент пропорциональности f{q,p,t) в (16.24) представ­ ляет собой плотность вероятности нахождения траектории системы внутри малого объёма d'y. Вероятность нахождения

траектории внутри макрообъёма 7 С Г выражается интегралом

Необходимо отметить следующие свойства функции /.

а) Вероятность нахождения траектории во всём пространст­

Г

б) Вероятность выхода траектории на границу дГ равна нулю. Другими словами, граница фазового пространства недостижима:

называемое скобками Пуассона функций A n В.

Рассмотрим векторное пространство М6ЛГ, элементами кото­ рого являются векторы R с компонентами (q\,- -,piN). Векторы

скорости V(q,p) в этом пространстве имеют вид

Фазовое пространство Г представляет собой 6^-мерный жидкий объём в М6^ Аналогом плотности р этого жидкого объёма будет служить плотность вероятности / Тогда “уравнение неразрыв­

ности” в каждой точке (q,p) G Г в любой момент времени' t записывается по аналогии с (6.10)

т. е. для истинного движения системы при любых начальных условиях плотность вероятности f(q,p,t) постоянна. В этом состоит утверждение теоремы Лиувилля. Подставляя (16.33) в (16.28), получим основное уравнение статистической механи­ ки — уравнение Лиувилля:

Уравнение (16.34)является линейнымдифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для функ­ ции f(q,p,t) с переменными коэффициентами. Эти коэффициен­ ты известны, если задана функция Гамильтона Я . “Граничным” условием для / является требование (16.27), а в качестве на­ чального условия можно взять следующее:

причём функция /о, зависящая от 6N переменных, задана. Реше­ ние начально-краевой задачи (16.34), (16.27), (16.35) и нахожде­ ние функции / представляют собой основную задачу статисти­ ческой механики.

Назовём интеграл

г

математическим ожиданием величины F(q,p,t), или её сред­ ним статистическим значением, или средним по ансамблю.

Оперирование сусловными вероятностями и средними вели­ чинами сильно упрощается с помощью аппарата 8-функций Ди­ рака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство J -функции, которое можно принять в качестве её определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке [а; 6] функции <р(х)

—е

для любого положительного числа е.

Кроме того, вводя в рассмотрение функцию Хевисайда h(x),

или “ступеньку”,

Для проведения стандартных операций математического ана­ лиза разрывные функции 5(х) и h(x) можно аппроксимиро­ вать последовательностями непрерывных J-образных (рис. 49)

и /г-образных (рис. 50) функций. При этом ^-образные функ­ ции 5а выглядят следующим образом:

лас—»0

аф(х) dx

—00

где ф(х) ^ 0 — произвольная интегрируемая на всей оси функ­ ция. Такими функциями могут быть, например,

В качестве же /i-образных функций ha(x) проще всего взять первообразные функций (16.48).

Продифференцируем по х соотношение (16.43) и воспользу­ емся формулой интегрирования по частям:

Тогда аналогично (16.43) и (16.44) будем иметь

свойств (16.53) и (16.54) теперь можно дать следующим образом:

F(r,t) r(q,p,t) f{q ,P ,t)S(r- qa)dqdp. (16.55)

%

Г

Л Е К Ц И Я 17

МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ

Овладев из прошлой лекции понятиями условной вероятности

исреднего по ансамблю и по времени, можно перейти к трактов­ ке уже известных макровеличин, таких как плотность, скорость

идр., как средних по ансамблю от объектов, с которыми опери­ рует статистическая механика [15].

Например, средним по объёму числом частиц, находящихся

в момент времени t в точке г, назовём сумму

где угловые скобки означают операцию (16.36). Среднее по объёму число частиц v, очевидно, имеет размерность L-3 . Для того чтобы получить общее число N частиц во всём объёме, занимаемом системой, необходимо проинтегрировать v{r,t) по всему этому объёму.

Величину

в точке г. Если массы всех частиц одинаковы и равны т, то из (17.1) и (17.2) следует, что

Наряду с определёнными в (16.41) векторами обобщённых координат q \,...,q N введём в рассмотрение векторы обобщённых импульсов ра, a = \,...,N :