книги / Основы механики сплошной среды

dV0 = у/g eijk dd1dlP dck.

(3.40)

ции (3.2). Введём ковариантный локальный базис Ei\

е , =

(3.41)

Gij = Gu = ê i-Ë j, G= \Gij\ ф 0.

(3.42)

Согласно (3.41) и (3.42)

|ü?a| =

\/Е(х Ea = \JGaa.

(3.43)

Матрица

обратная к Gij, удовлетворяет соотношениям

GikGkj = ô*j,

GjkGki = 5j\ K?ijï = ~

(3.44)

Ê 1 = GijÊj ,

(3.45)

причём

Ê i • Ë j = GikGjlÉk • Éi = GlkGjlGkl =

Gik5jk = Gij,

(3.46)

Ê { ■Êj = GjkÊ i ■Ê k = GjkGki = S/.

(3.47)

Единичный тензор 7 может быть выражен и с помощью диады

актуальной конфигурации:

J = Êi <g> = G iji{ ® Ë j =

GijÊi ® Êj.

(3.48)

d = daïÊi, dB = dlPÊj, dC = dckÊk.

(3.49)

Их

длины равны

\dÂ\ = y/Gijdaï dad,

|dB | = yJGijdtf dbd,

|d<71 = y 'Gij dé de?.

Для этих векторов

справедливы

ниже­

перечисленные операции.

а)

Скалярное произведение

dÂ-dB = Gij da* dV.

(3.50)

б) Векторное произведение

d  x d B = VGeijkda* dV Ê k = ~ e ijkdai dbj Êk,

(3.51)

VG

в)

Тензорное произведение

d 0 dB = da1 dtp Ê i ® Ê j.

(3.53)

г)

Смешанное произведение

(d x dB) • dC = VGeijkda1dV dck,

(3.54)

dV = VG eijkdaî dbd dck.

(3.55)

, _

м _

Gij da* dad

(3.56)

gmn dam dan

~

\dd\

~

'

Если a = f, то согласно (3.1) и (3.2)

\df\

_ d s

_

/

GydpdÇi

(3.57)

|df0|

dsо

y gmn d£m d£n

Относительное изменение площади dEо получим из (3.37)

и (3.52):

dE

_

па

[<G

(3.58)

—

= Ï9.

dVo

V f f ‘

cos(cLÏ, dB) =

= —

-G^

dam. dbn

.

\dA\ |<£В|

у/Gij da1 db>а/ G^I dak db1

Рассмотрим

теперь

некоторый вектор а с компонентами аг

в отсчётной и Л* в актуальной конфигурациях:

5= а% = А % ,

(3.61)

и возьмём частную производную по

от всех частей равенст­

ва (3.61). Получим

—

= —

ë*- + < Æ

= —

В | Ai d ê*

(3.62)

д&

д& г+

д&

д& Ьг + Л д& '

Равенства (3.62) запишем следующим образом:

да

__

з±

»._

л.д

(3.63)

— Vjfl =

V ja

efc — V jA Efc,

°

к

k

дак

°

Т-7 ylfc

^Л*

ГЛ

Vj-a

—a . j

—-Qçj

+ Гу kal,

V jA k = Л^- =

+ Г/ *Л‘.

■Щ = г

« * & .

(3.66)

Скалярно умножая обе части

равенств

(3.65) и (3.66) на е 1

и Е 1 соответственно и учитывая (3.11) и

(3.47), получим еле-

О .

и

,

дующие явные выражения для Г*/

:

Г - i

= ё*1•

-

- е - • —

Г{/

= Ê

d ë i

# д ё 1

ар

• —

-С'г *

ар

4

а р

1

а р ’

Покажем, что

(3.67)

.i -- l/7im Г % tm

а<£']тп

&9ij

(3.68)

-

2«

ар'

ар

а р

р

I _ 1 /~ч1т

( dGim

dGjm

dGij \

.

v

r ij - 2 G

[ ж ~w ~w )

( >

a^jm

dgjm

a9 ij _

aem

5éi

а р

а р

ар» ~~

■§p- + em - g |J +

, -

aem

-

ае,-

aê*.

г» -»

/Q чл\

+ ej ' ô ç r

+ e m ' â f ï _ e i

5 fm

Щ ^ - 2ет "Щ1-

(3 J 0 )

д ё { _

a2f _ a2r _

aej

(3.71)

â p ”

ap ap “ â p â p “

ap *

0

О

р к

р

к

р

к _р . к

,

(3.72)

1 ij

—1 ji

L ij

1 ji

•

о

Из символов I V

и Гу*

пУт^м опускания

индексов можно

f _ f

гл

- г

М

г - г i r - р

dEi

>

(3.73)

1 ij;n —1 ij

9ln

—en ‘

> 1 ij;n — y Wn —-c,n ‘

Р

_ f@9in

. dgjn dgij \

ij'n

2 V ар

ар а е ) •

_

1 / dGjn

dGjn

dGjj \

/о 7g\

lî j : n _

2 V açi

а ?

э е ;

(

'

Разложим вектор а (3.61) в базисах ег и Ег отсчётной и ак­

туальной конфигурадиий:

a = aiei = Аг&.

(3.76)

Щ = V,-o = Vjakëk = VjAkEk,

(3.77)

V,ak = akJ = Щ

- TkjW

Ъ А к = Акц = ^

- Г * Ч

При этом

(3.78)

^

— —Г иiek

——Г iEk

(3 79)

~ Vjk '

д& ~ Fjkb '

^ ' 79'

Vjê{ = 0,

VjÊi = 0,

Vje* = 0,

= 0.

(3.80)

Аналогично имеем для любого тензора, например для тензо­

ра 6:

ь = tijëi ® ëj = B ijÊ i ® Ej ,

(3.81)

дЬ = Vjk 6 = Vjfcb*jëi ®e-> =

V kB ljÊ i ® ,

(3.82)

д£к

где

06%

о

°

I •

о .

Ш

M —w

- __ J

Г».

tM

0£fc

(3.83)

05%

-

Di

l Tyi

—___ 1

+ i y

в 1,. -

i y s * ,

V kB ‘j ш B ‘jlk = ^

Как следует

из

вышеприведённых

обозначений,

запятая

Из (3.80) следует

9ij,k —0, 5^ = 0, % fc = 0, Gij{k = 0.

(3.84)

влекут за собой тот

факт,

что

число

независимых

компо-

О

TV-мерном пространстве

равно

TV2(TV2 - ■

1) / 12.

нент Rjki1 в

В трёхмерном пространстве их всего шесть, в двумерном

-

одна.

Опуская с помощью gin индекс I в тензоре Римана:

Rjkin ~ Rjki 9Int

(3.88)

получим из (3.87) для евклидова пространства

— п(

О

р

g, . , -

, р

тпр

.А

I

__л

(3.89)

^ I

т 1 гк

1 т у,п

—

и *

V

)

[jit]

Выполняя описанные выше выкладки для актуальной конфи-

гурации, получим, аналогично (3.89):

Rjkin = 2 ( ^ p -

+ TilfmT.гк 1 m j,n

I

— 0 .

(3.90)

Л Ф

т

тензора деформации

полуразность компонент этих фундамен­

тальных матриц:

^

£ij =

~ 9ij)-

(4-1)

Д = | § + 3-

(4.2)

Тогда из (3.42) имеем

Gij = Éi • Ej —

( I

H

-

- ( I H

=

д и

д й

д и

е3 +

д й

№

d ÿ

+

д£

Qçj ' е‘ + 9tj (4-3)

д?

и из (4.1) и (4.3) получим

Л

дй

дй

дй

дй

Но соотношения (4.2) можно записать в виде

-

_

д

дй

(4.5)

е‘ -

Е‘ ~ Щ1-

Тогда из (4.4) имеем

« - « ■ * - ( * - £ )

( 4 - § ) =

= Gч

дй

р

дй

дй

дй

(4.6)

w

b j ~ w

Е{ + 7—т

д&

д?

13 2 \

г

д& +

3 др

д?

д& )

^

Разложим

вектор

перемещения

(1.16) по

векторам

базиса

в отсчётной и актуальной конфигурациях:

й = ulei = UlËi.

(4.8)

Дифференцируя (4.8) по координате

получим

Qu

о

.

(4.9)

_

= VjUlei =

VjU'Ei.

Подставляя (4.9) в (4.4) и (4.7), имеем

£ij =

+ Ui.j + uk,iUkj)

=

+ Ui\j -

ик[{и ки).

(4.10)

В зависимости от выбора базиса на основе (4.10) и (4.9)

можно построить различные тензоры. Тензор

2 = Etjë 1<8>е3

(4.11)

называется тензором деформации Лагранжа, а тензор

3 = eijÊi <S>Ej

(4.12)

— тензором деформации Эйлера. Тензор

Qu

°

0

(4.13)

е1® тг-т =

V ® й =

Vu

о

о . о

.

Я г

_*

F = V ® r = V r = e*®Vir = r ®

i ^

= ë '® E i. (4.15)

ос/

£ ~ l =

V ® r0 = V f0 = ^ «8) V if0 = Ê i ® ^ r = Ê i ®ëi.

(4.16)

açl

Тензоры (4.15) и (4.16) взаимообратны. Действительно,

f

• £ _1 = e £ ® Êi •

® ey = ëi ®ei = I.

(4.17)

Построим тензор FT, транспонированный к F:

_

/ ~ с 7

\ ^

V

о

о

(4.18)

£ T = ( V ® f j

= f ® V = (V f)T = Г V = Ei ® e \

и тензор F~T, транспонированный к F~x:

E T —

® f0j

= fo ® V = Vro = foV = ё{ ® £?'.

(4.19)

Заметим, что тензоры дисторсии (4.13), (4.14) связаны с

градиентом деформации следующим образом:

0

0

.

0

=

V ® и = Vu = е 1 ® ViU = е г ®

о?

= e l' ® ( £ i - e i) = F - X ,

(4.20)

V ® u = Vit = Æ* ® Vju = Êi ®

~

= Êi ®(Êi - ë i) = l -

£ _1.

âÇ1

(4.21)

С помощью градиентов деформации построим следующие

симметричные тензоры [59]:

а) Правый тензор Коши-Гоина Q

Q - F

FT = ? ® ËiÊj

= в ц ё 1 ® ej

(4.22)

б) Левый тензор Коши-Грина В

В

= Е Т ■Е = Ëi ® е* •ë j ® 4- = 4 <8>4 ’•

(4.23)

в) Правый тензор Альманси 4

4 = £ “ * £ “Т = Ëi ®ei ■ëj ®

= ÿ y # ® # .

(4.24)