книги / Основы механики сплошной среды

Из (15.36), (15.30) находим

Уравнения движения (15.2) для вязкой жидкости выведем, используя определяющие соотношения (15.28), (15.29). Эти урав­ нения имеют вид (9.52)

Итак, замкнутую систему уравнений вязкой ньютоновской жидкости составляют три уравнения движения (15.40), два уравнения состояния (15.38), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.5), которое с учётом закона Фурье можно переписать в виде

лой (15.39), а компоненты тензора скоростей деформации Д ?- связаны с компонентами вектора скорости соотношениями

положительно определена при pi > 0.

Заметим, что модель вязкой жидкости можно задать не с по­ мощью плотности свободной энергии Гельмгольца (15.27), из ко­ торой следуют определяющие соотношения (15.38), а с помощью плотности внутренней энергии (15.19), следствиями которой яв­ ляются определяющие соотношения (15.21).

Дадим теперь определение линейного упругого тела для неизотермических процессов [19]. Моделью такого тела на­ зовём обратимую среду (w* = 0), для которой свободная энергия Гельмгольца — функция температуры и тензора малых деформа­

Воспользуемся гипотезой Дюгамеля-Неймана, которая за­ ключается в том, что что аргументом в (15.46) может служить комбинация механической деформации и перепада температуры:

Здесь aij — компоненты симметричного тензора теплового расширения, ai? — перепад температуры, т. е. разность между текущей температурой Т и некоторой постоянной То *) :

Представим тогда функцию / в виде

выделив аддитивную составляющую /о(Г), зависящую лишь от температуры 2)* . Чтобы определяющие соотношения упругой сре­ ды были линейными, естественно выбрать свободную энергию

') Постоянная То вводится в связи с недостижимостью абсолютного нуля Т = 0 (третий закон термодинамики).

2)В дальнейшем “волну” над / во втором слагаемом правой ча­ сти (15.49) будем опускать.

квадратичной функцией “температурной” деформации е3':

где C'iki — компоненты тензора четвёртого ранга, обладающего симметрией:

v у

Выберем для простоты прямоугольную декартову систему координат. Тогда тензор напряжений Коши Р можно записать как а и из (15.52) и (15.8) будем иметь

Приравняем в (15.55) коэффициенты при независимых диффе­ ренциалах dT и dey:

Очевидно, что соотношения (15.56), (15.57) годятся для плот­ ности свободной энергии Гельмгольца, произвольно зависящей от тензора £Г Если же воспользоваться представлением (15.50),

a из (15.56), (15.57) будет следовать выражение энтропии для упругого тела:

Обозначим теперь аналогично /о аддитивные составляющие плотности энтропии и внутренней энергии, зависящие только

Следовательно, для плотности энтропии упругих тел спра­ ведливо выражение

Уравнения движения для упругой среды записываются в ви­ де (10.2)

Итак, замкнутая система уравнений связанной задачи термо­ упругости состоит из трёх уравнений движения (15.79) и уравне­ ния притока тепла (15.77) (последнее слагаемое в (15.77) можно записать в форме —Т ^ и 'ц ) относительно четырёх переменных: щ, Т. В большинстве случаев последним слагаемым в правой части (15.77) пренебрегают из-за малости безразмерных вели­ чин Totij. Поэтому, например, для изотропной среды уравнение

Из сравнения (15.58) и (15.87) находим значения адиабатических модулей:

задание которых полностью характеризует положение всех точек в любой момент f, и построить набор обобщённых скоростей q :

Компоненты радиусов-векторов Xk связаны с обобщёнными ко­ ординатами qi с помощью невырожденного преобразования

О Для сокращения записи в этой и следующей лекциях (в отличие от других) суммирование по повторяющимся два раза малым латин­ ским индексам производится не от i до 3, а от 1 до 3N.

и представляет собой положительно определённую квадратич­ ную форму, построенную на обобщённых скоростях, с коэффи­ циентами bij, зависящими от обобщённых координат. Потенциа­ льная энергия U системы зависит от обобщённых координат и, вообще говоря, времени:

Введём в рассмотрение функцию Лагранжа L:

зависящую явно от времени, а также от обобщённых переменных и обобщённых скоростей; 6N переменных {9,9 } называются

лагранжевыми переменными.

Из аналитической динамики известно, что для консерватив­ ных систем имеют место 3N обыкновенных дифференциальных уравнений

относительно переменных qu называемые уравнениями Лагран­ жа второго рода.

Наряду с лагранжевым формализмом используется и га­ мильтонов формализм. Для этого соотношениями

(16.10)

вводится набор р обобщённых импульсов р\ и с помощью преоб­ разования Лежандра

определяется функция Гамильтона Н. Она может явно зависеть от времени и 6N гамильтоновых переменных {q,p}. Следова­ тельно, её дифференциал записывается в виде