книги / Основы механики сплошной среды

Попробуем упростить рассмотренную систему двадцати че­ тырёх уравнений. Для этого умножим вторую группу опре­ деляющих соотношений (20.39) на Стпу и просуммируем по индексам г и j:

Итак, относительно трёх компонент вектора перемещений щ, температуры Г и электрического потенциала ip получена система пяти уравнений: (20.46), (20.48) и (20.50). Причём благодаря “независимости” уравнения притока тепла (20.46), как уже бы­ ло замечено, оно решается отдельно, после чего функция Т подставляется в подсистему электроупругости (20.48), (20.50) относительно четырёх неизвестных щ и р.

Л Е К Ц И Я 21

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

Все сформулированные в лекциях 6 и 7 постулаты справедли­ вы для любой среды: жидкости, газа, твёрдого деформируемого тела, теплорода, плазмы. Для замыкания же системы дифферен­ циальных уравнений, полученных как следствие основных посту­ латов МСС, требуется введение так называемых определяющих соотношений [41]. Ранее уже были рассмотрены различные пара­ метры кинематического и статического толка. Некоторые из них были названы термодинамическими параметрами состояния.

Из всех рассмотренных параметров (скаляров, векторов, тен­ зоров второго ранга и т. д.) можно выделить два особенных типа. Первый — это так называемые основные параметры: перемеще­ ния, скорости, температура и т. п. Второй тип — это двойствен­ ные к ним параметры, называемые потоками основных величин. Двойственными они называются потому, что свёртка основного параметра и соответствующего ему потока описывает некоторый вид энергии. Примерами потоков могут служить напряжения или вектор теплового потока.

Связи между основными величинами и их потоками и на­ зываются определяющими соотношениями. Если эти основные величины и их потоки являются термодинамическими парамет­ рами состояния, то связывающие их определяющие соотношения часто называются уравнениями состояния. Модель сплошной среды по существу и задаётся определяющими соотношениями, которые могут иметь довольно сложную операторную природу.

В рассмотренных простейших моделях определяющие соот­ ношения имеют вид скалярных, векторных или тензорных функ­ ций. Эти определяющие соотношения полностью восстанавлива­ ются по экспериментально найденным числам либо функциям, которые называются материальными функциями, потому что в рамках выбранной математической модели показывают, чем один материал отличается от другого.

Приведём примеры некоторых определяющих соотношений. Вспомним, например:

— закон теплопроводности Фурье (14.41)

—соотношения, описывающие пьезоэлектрический эф­

фект (20.18)

и соотношения, описывающие пироэлектрический эффект (20.20)

В этих примерах материальными функциями являются тензор теплопроводности с компонентами Лÿ , тензор модулей упру­ гости Cijki, коэффициенты вязкости Ai, р\, тензор пьезомоду­ лей dijk и материальный вектор пироэлектричества р*.

Опишем некоторые свойства определяющих соотношений

иих материальных функций.

1.Определяющие соотношения подразделяются на линейные

инелинейные, причём линейность может быть геометрической

ифизической. Физически линейным называется оператор а —

— È(s)> для которого выполнен принцип суперпозиции

+ Û 2Ê 2 ) = < X \ Ë ( j i l ) + <X2Ê ( ë 2 )i < * 1 , 0 2 е R . ( 2 1 . 7 )

В противном случае соотношения называются физически нели­ нейными. Операторы, задающие связи (21.1) - ( 21.6), очевидно, физически линейны в смысле определения (21.7). Однако их несложно обобщить на нелинейный случай. Например, нели­ нейный пироэлектрический эффект описывается следующим об­

а нелинейный закон Фурье имеет вид

Как видно, нелинейность достигается тем, что материальные функции (р{, Лij) становятся зависящими от инвариантов ве­ личин, которые стоят в правых частях. Для тензоров второго ранга физическая нелинейность вводится сложнее. Так, общий вид тензорно нелинейной изотропной функции одного симмет­ ричного тензора от другого симметричного тензора (например, связывающей напряжения и деформации) следующий:

= F Q( I I >h> h )Sij + F i (I], I2, h)eij +

Если для тензорной функции (21.10) существует скалярный

то она называется потенциальной.

Геометрическая линейность имеет место, если деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши (5.5)

Если же деформации не являются малыми и не все компоненты тензора дисторсии много меньше единицы, то

что означает геометрическую нелинейность.

2. Различают изотропные и анизотропные определяющие соотношения. Назовём тензорную функцию gfe) инвариантной относительно некоторой группы преобразований S, если для каждой матрицы Q преобразования S справедливо свойство

Если S — полная группа движений евклидова пространства R3, то тензорная функция &(&), удовлетворяющая (21.14) для любой ортогональной матрицы Q, называется изотропной.

Тензор, который инвариантен относительно некоторой под­ группы полной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа инвариантных тензоров с некоторыми

скалярными коэффициентами. Набор этих тензоров называется тензорным базисом данной подгруппы преобразований. Каждая такая подгруппа характеризует определённый класс анизотропии в сплошной среде.

Тензорный базис изотропной среды, как среды, свойства ко­ торой одинаковы во всех направлениях и при отражении относи­ тельно любой плоскости, состоит только из единичного тензора с компонентами Sij, так что любой материальный тензор второго

Материальный же тензор четвёртого ранга А, симметричный хотя бы по первым двум индексам, выражается через тензорный базис в виде

В (21.15) и (21.16) Ъ, А\ и А2 — материальные коэффициенты. Из соображений чётности числа индексов ясно, что тензор нечётного ранга нельзя представить в виде комбинаций символов Кронекера 6^. К числу материальных тензоров нечётного ранга можно отнести введённые в лекции 20 материальные векторы pi и тензоры пьезомодулей dф . Отсюда сразу следует, что как пироэлектрический эффект (20.20), так и пьезоэлектрический

эффект (20.18) в изотропной среде невозможны.

Рассмотрим два распространённых вида анизотропии, или две подгруппы полной ортогональной группы в R3 [25, 36].

Трансверсально изотропная среда характеризуется тем, что в ней свойства не меняются при повороте на любой угол отно­ сительно некоторой оси (например, оси (Охз)) и при отражении относительно произвольной плоскости, содержащей эту ось. Тен­ зорный базис в данном случае состоит из единичного вектора вдоль оси трансверсальной изотропии с компонентами а также тензора

Материальные тензоры b и А в трансверсально изотропной среде представляются следующим образом:

В ортотропной среде свойства не меняются при отражении относительно каждой из трёх взаимно перпендикулярных плос­ костей, например координатных. Тензорный базис ортотропии состоит из трёх тензоров

Тензоры b и ^ в базисе (21.20) имеют вид з3

а=1

3. Если вид материальных функций определяющих соот­ ношений зависит от пространственных координат х*, напри­ мер, Cijki(x), Лу(х), dijk{x), говорят, что материал неодно­ роден. В частном случае неоднородности, когда имеет место зависимость только от одной координаты, например хз, т. е. dCijki/dx 1 = dCijki/dx4 = 0, речь идёт о стратифицированном

вдоль оси хз материале. Типичным стратифицированным мате­ риалом явлется земной шар вблизи его поверхности.

Если зависимость материальных функций от координат непрерывна, то имеет место непрерывная неоднородность. Если же данная зависимость описывается разрывными функциями координат, то такое тело называется композитом [37]. Эти

разрывные функции зачастую являются кусочно постоянными, что соответствует композиту с однородными компонентами. По геометрической структуре различают слоистые, т. е. стра­ тифицированные вдоль определённого направления (рис. 55),

о_-_о

- Ь _ : ] о у . 6 _

Рис. 57 Рис. 58

волокнистые (рис. 56), гранулированные, или зернистые, ком­ позиты (рис. 57) и др. Часто материальные функции перио­ дичны по координатам и в композите можно выделить геомет­ рическую ячейку периодичности. Тогда говорят, что он имеет периодическую структуру (все изображённые на рис. 55-57 композиты имеют периодическую структуру), в противном слу­ чае — непериодическую (рис. 58).

В неоднородных телах (в частности, в композитах) труд­ но создать однородное напряжённо-деформированное состояние. Поэтому часто экспериментально находят только осреднённые, или эффективные, характеристики материала.

4. В материальные функции может явно входить время f, тогда среды, описываемые такими определяющими соотношени­ ями, называются реономными [41, 49]. Примерами реономных соотношений служат связи напряжений и деформаций в теории

вязкоупругости:

t

где R(t) — функция релаксации, T(t, т) — ядро релаксации, яв­ ляющиеся материальными функциями вязкоупругого материала. При этом, если выбраны соотношения разностного типа, такие как (21.23), то связь o(t) с e{t) инвариантна относительно сдвига по времени (такие реономные материалы называются нестарею­ щими). Для соотношений неразностного типа, таких как (21.24), связь o(f) с e(t) неинвариантна относительно сдвига по времени. В этом случае реономные материалы называется стареющими.

Эффект нестарения можно объяснить на следующем примере. Зададим два процесса деформирования: £ï(f) = f(t)h(t) и ег(*) = = ei(t —to), отличающиеся друг от друга только сдвигом по времени на fo (рис 59). Подсчитаем для некоторой выбранной функции релаксации R(t) согласно (21.23) oi(f) и 02(f). Получим

о нестарении материала. Если же функции а\ (t) и 02(f) находить на основании определяющего соотношения (21.24) для произ­ вольно выбранного ядра релаксации T(f, г), то, вообще говоря, 02(f) ф сг\ (f —fo), что по определению соответствует стареющему материалу.

Рис. 59

Если в материальные функции время явно не входит, то среда называется склерономной. Простейшим примером скле­ рономной среды служит упругая среда. Для проверки гипотезы

осклерономности среды можно, например, задать поверхностные силы, не зависящие от времени, и снять показания деформа­ ций в течение контрольного времени в рабочей части образца. Неизменность деформаций во времени подтверждает допущение

осклерономности модели.

5. Среды можно разделить на обратимые, для которых плотность рассеивания w*, определяемая равенством (14.35), а следовательно, и сама функция рассеивания W* тождественно равны нулю, и необратимые, для которых w* > 0. Обратимыми средами являются упругая среда и идеальная жидкость. Рассмот­ ренная ранее вязкая жидкость с коэффициентами вязкости Ai и /ii и функцией w* в форме (15.39) относится к необратимым средам.

6. Если свойства в каждой точке тела зависят от состоя­ ния только в этой точке, то говорят, что среда локальна по координатам. Все рассмотренные ранее определяющие соотно­ шения соответствуют локальным средам. Для локальных сред справедлив постулат макроскопической определимости Илью­ шина [16], согласно которому каждой точке среды может быть поставлено в соответствие тело конечных размеров (макрообра­ зец, или М-образец), находящееся в однородном напряжённо-