книги / Основы механики сплошной среды
..pdfЛ Е К Ц И Я 7
О С Н О В Н Ы Е ПОСТУЛАТЫ (продолж ение)
Рассмотрим третий постулат механики сплошной среды — закон об изменении момента количества движения. Пусть тело в актуальной конфигурации занимает объём П € R3. Введём в рассмотрение вектор В
B = ^ r x ( p v ) d V |
(7.1) |
V
момента количества движения (кинетического момента)
сплошной среды, заключённой в жидком объёме V с границей Е (V G П). Аналогично вектору количества движения Q он явля ется обобщением момента количества движения материальной точки и абсолютно жёсткого тела.
З а к о н об |
и з м е н е н и и момента к о л ич е с т в а |
д в и |
||
ж е н и я |
(III постулат МСС). Пусть V — произвольный жидкий |
|||
объём в |
V € Q, |
а Е — его граница с единичной внешней |
||
нормалью N. Тогда в любой момент времени |
|
|||
|
^ |
= | |
г х (pF) dV + J V х & N) <ffi, |
(7.2) |
|
|
v |
s |
|
m. e. производная по времени от момента количества движе ния среды, заключённой в V, равна сумме моментов объёмных сил, приложенных к V, и моментов поверхностных сил, действующих на Е.
Для вывода соответствующих дифференциальных соотноше ний, как и ранее, сведём все слагаемые в (7.2) к объёмным интегралам, после чего воспользуемся основной леммой. По лем ме 1 (6.29) имеем
dV =
V |
|
V |
|
|
|
|
|
dV. |
(7.3) |
Подставляя |
далее |
в (7.2) вместо 5 ^ |
выражения |
(6.48), |
получим |
г х &Ni dE = J V i(f x P1) dV = |
|
||
= J |
|
|||
|
У |
|
|
|
X P* + f x V if*) dF = jÊi x P W + |
|
|||
v |
|
v |
|
|
|
|
+ | r |
x DivPdV^ |
(7.4) |
|
|
v |
|
|
С учётом (7.3) и (7.4) соотношение (7.2) может быть записано |
||||
следующим образом: |
pF - Div f ) dV = f |
|
|
|
f х |
( р ^ - |
Ei x P* dV. |
(7.5) |
|
v |
^ |
v |
|
|
Выражение, стоящее в скобках в левой части (7.5), в силу уравнений движения (6.58) равно нулю. Тогда по основной лемме в каждой точке
б = Êi x Р* = |
x ÊjPV = P1* VG eijk Èk, |
(7.6) |
откуда следует |
pij _ p ü |
(7.7) |
|
Итак, дифференциальным следствием закона об изменении момента количества движения является симметричность тензора напряжений Коши Р [38]. О геометрической интерпретации на пряжённого состояния в точке речь пойдёт в следующей лекции.
Заметим, что в прошлой лекции, когда говорилось о мно гофазной среде, предполагалось, что скорость макрочастицы совпадает со скоростью центра масс микрочастиц (6.22). Это означает, что центр масс микрочастиц совпадает с координатами макрочастицы. Если такое совпадение не осуществляется, то для распределения масс необходимо ввести ещё одну характеристи ку — тензор моментов инерции макрочастицы, компоненты
которого записываются, например, в виде
771 |
|
Ja = J 2 pa (4 e)4 a)<îü - *{0)*ja)) . |
(7 .8) |
а=1
где z\(a)J — координаты микрочастицы a относительно макроча стицы.
Введём гипотетический параметр la — ~ длину радиуса-вектора микрочастицы а относительно макрочастицы. В этом случае первый инвариант тензора (7.8) имеет вид
т
J = JÜ = 2 J 2 PJI- |
(7.9) |
a=l
Назовём J плотностью моментов инерции. Очевидно, что для неё можно записать уравнение, аналогичное уравнению нераз рывности (6.10) или (6.11):
^ |
+ Jdivu = 0, ^ + div (Jv) = 0. |
(7.10) |
Поэтому для J |
справедлива лемма 1. |
|
Кроме того, в такой среде должна появиться новая кине матическая характеристика, связанная с вращением микроча стиц. Назовём эту характеристику /2 вектором внутреннего вращения. В этом случае говорят о наличии в теле моментных напряжений и постулат об изменении момента количества движения (7.2) записывается в виде
= J (г х |
(рР) + М ) dV + j ( r х |
+ <3(ЛГ)) dZ. (7.11) |
V |
Е |
|
В(7.11) М — вектор распределённых объёмных моментов
втеле;
Q (n) = QiNi = QijNiÊj, |
(7.12) |
где QtJ — компоненты тензора моментных напряжений Q =
= Ê i ® <3* = Q i j Ê i <8> Ê j .
Дифференциальным следствием постулата (7.11) являются уравнения моментов. Они могут быть получены стандартным путём: сведением всех слагаемых в (7.11) к объёмным инте-
гралам и использованием основной леммы. Не останавливаясь на выкладках, запишем уравнение моментов в векторной форме:
Æ = M + Êi x P i + V iÇji, |
(7.13) |
at |
|
или |
|
j ^ = M + Pij y/Geijk Ê k + ViQ \ |
(7.14) |
Из (7.14) видно, что в случае присутствия моментных напряже ний тензор напряжений Коши Р, вообще говоря, несимметричен.
Вернёмся к уравнениям движения сплошной среды, записан ным в векторном виде (6.58). Умножим их скалярно на dr = vdt и проинтегрируем по V В правой части получим
p ^ - v d t d V |
= ^ d t j \ p v - v d V = dK.y |
(7.15) |
v |
v |
|
Величину К, назовём кинетической энергией тела, занимающего объём V:
|
K = U p \ v ? d V . |
(7.16) |
|
|
|
V |
|
Второе слагаемое в левой части (6.58) приведёт к следующе |
|||
му выражению: |
|
* |
|
J |
pF • v dt dV |
|
|
pF ■drdV = <uje) |
(7.17) |
||
v |
|
V |
|
Скалярное произведение pF ■dir представляет собой элементар
ную |
работу |
объёмной силы pF на перемещении dr, поэто |
му |
величину |
естественно назвать приращением работы |
объёмных сил. Для выражений, вообще говоря, не являющихся полными дифференциалами, в отличие от интеграла (7.15), здесь и в дальнейшем будем использовать символ 5, а не d.
Преобразуем |
далее первое слагаемое |
в |
левой части (6.58) |
с помощью теоремы Остроградского-Гаусса: |
|
||
| ViP* ■v d t d V |
= d * k ( i * v ) d V - dt |
Pl |
4ivdV = |
v |
v |
= d t^ P i - W i d Y .- d t^ ? i ~ |
i dV = ^ &N) • drdZ - |
|
- d t \ P^Êj • ViVkËk dV = |
S A f - d t \ PijVj\i dV = |
|
v |
|
v |
= 6 A ^ - dt | P^Dij dV = <U$e) - J |
P y <feÿ dV = |
|
|
|
= <î4e) + SA®. |
Величину |
|
|
<Це) = J S {N) • dr dS |
(7-18) |
|
E |
|
|
назовём приращением работы поверхностных сил, а |
||
5Л « = - [p ^ d e y , |
(7.19) |
|
— приращением работы внутренних сил 0 .
Таким образом, из уравнений движения (6.58) следует одно интегральное скалярное равенство
dIC = SA® + SAW, |
(7.20) |
где |
|
SA® = SA?* + 6A $ |
(7.21) |
есть приращение работы внешних сил. Равенство (7.20) назы вается теоремой живых сил.
Рассмотрим теперь постулат об изменении количества дви жения (6.34), который сформулируем в отсчётной конфигура ции. Воспользуемся равенством (6.15) для объёмных интегралов и (3.58) — для поверхностного. Тогда получим
^ J PQ V dVo = |
J p0F dVo + |
|
dZ0. |
(7.22) |
К, |
К0 |
£o |
» |
|
') Верхние индексы (e) и (г) у приращений SA означают соот ветственно: external — “внешний” и internal — “внутренний”
Введём вектор напряжений на недеформированной пло щадке с единичной нормалью п следующим равенством [38] :
Г(п) = § { N ) ^ |
G |
Na |
(7.23) |
|
Из (7.23) очевидно, что векторы напряжений на недеформированных координатных площадках связаны с векторами напряжений на деформированных площадках Рг соотношениями
Рг |
(7.24) |
Подставляя теперь (7.23) |
в (7.22) и проводя уже знако |
мые преобразования интегралов, получим уравнения движения
сплошной среды в отсчётной конфигурации:
V # + тР = д, |
(7.25) |
В статическом или квазистатическом случаях имеем уравнения равновесия в отсчётной конфигурации:
V ip i + p0F = Q. |
(7.26) |
Разложим векторы напряжений р г по векторам |
базиса от |
счётной конфигурации: |
|
P1 = pliëj. |
(7.27) |
Введём на их основе тензор напряжений Пиолы, или тензор обобщённых напряжений:
7г = pl3‘ëi ® е) = ë i® pt. |
(7.28) |
Нетрудно установить связь междутензорами напряжений
Пиолы 7г и Коши |
Р. Для этого умножим скалярно |
справа |
||||
обе части равенства (4.19) на Ej и получим, что |
|
|||||
|
|
ëj = F~T |
Êj. |
|
(7.29) |
|
Тогда из (7.24) и (7.28) следует |
|
|
|
|
||
z = ë i ® p l = |
J |
£ F - t ■ Ё г |
® |
Р 1 = |
J - E ~ T P . |
(7.30) |
Иногда наряду |
с |
тензорами |
ж и Р |
рассматривают |
тензор |
|
напряжений Кирхгофа К
который связан с тензором Пиолы следующим образом:
7г = ëi ®р г = F~T Êi®pl — F~T К. |
(7.32) |
Рассмотрим теперь формулировку закона об изменении мо мента количества движения в отсчётной конфигурации. Не оста навливаясь подробно на выкладках, аналогичных проделанным в этой лекции ранее, преобразуем интегральное равенство (7.2) к виду
г х ^ ) dVb = | р°(г х F) dVb + | г х s <*) dSо (7.33)
А
и после применения формулы Остроградского-Гаусса и основной леммы получим в каждой точке объёма V
Ê iX jr = Q. |
(7.34) |
Векторное равенство (7.34) — дифференциальное следствие закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. Из (7.34) не следует симметрия тензора Пиолы 7г. Действительно, согласно (3.41) и (1.16)
Êi x p i = |
x p l = ei x ëjpV + u^ëi x ëjpli — |
|
|
= ^ 9 Щк{Ь\ + и \№ ё к. |
(7.35) |
В силу (7.34) и (7.35) имеют место равенства |
|
|
|
tijk Ргз + tijk и1лр13 = 0, |
(7.36) |
показывающие, что тензор 7г, вообще говоря, несимметричен. Умножим теперь обе части (7.25) скалярно на вектор dr = ~vdt . Тогда правая часть полученного равенства запишется
в виде
(7.37)
откуда
Из второго слагаемого левой части получим |
|
||||
|
<Jaje) = J p0F • drdVQ, |
(7.39) |
|||
а из первого слагаемого |
|
|
|
||
dt J V i f ■vdVQ= |
J |
s (n) • drdZо - dt J |
p ijêj • |
dV0. (7.40) |
|
v0 |
E |
0 |
v0 |
|
|
4 |
s |
|
|
||
Тензорное равенство |
|
dv |
|
||
F |
|
= ëk ® E k = ëk ® |
(7.41) |
||
|
|
|
|
dÇ* |
|
говорит о том, что подынтегральное выражение в последнем слагаемом в (7.40) можно записать следующим образом:
a-, |
dv |
т |
(7.42) |
|
? |
eJ 'â|î = ï |
- Е |
||
С другой стороны, |
|
|
|
|
ргзё] • -щ; = p'3ëj • vk,ië* = pl3vj,i. |
(7.43) |
|||
Поэтому, обозначая |
|
|
|
|
8 a f = |
J s 1W • drdY.o, |
(7.44) |
||
|
|
£o |
|
|
8a® = - d t J 7гт |
: F |
dVQ= - dt J pijvjAdV0, |
(7.45) |
|
4 |
|
|
4 |
|
получим из (7.39), (7.40), (7.44), (7.45) теорему живых сил для отсчётной конфигурации:
dk = 6а{е) + 6а®. |
(7.46) |
О |
|
Так же как и в (4.57), тензор W представляется в виде сум мы своей симметричной части, тензора скоростей деформаций D = dijëг ® ё3 с компонентами
и антисимметричной |
части |
— |
спин-тензора R = г^е* ® eJ |
|
с компонентами |
. |
о |
0 |
|
rü = g |
|
—V J^ i) • |
(7-48) |
|
Наряду с (7.45) имеем ещё одну форму записи величины 5а(*): |
||||
5 а« = -d t |
JP{lj)dij dVо —dt F Tÿ dV(j, |
(7.49) |
||
|
A |
|
v& |
|
причём из-за несимметричности тензора Пиолы второй интеграл в правой части (7.49), вообще говоря, не равен нулю.
Л Е К Ц И Я 8
НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Рассмотрим тензор напряжений Коши Р и его представле ние (6.55) в актуальной конфигурации. Изучение будем вести в прямоугольной декартовой системе координат с базисными векторами к{, поэтому все индексы будем писать внизу. Соглас но (6.48) вектор истинных напряжений
§{N) = S {N)%. |
(8.1) |
на площадке с единичной нормалью N (рис. 28) представляется |
|
в виде |
|
S W = NjPj = NjPjiki. |
(8.2) |
Из (8.1) и (8.2) следует, что компоненты вектора § W |
На любой |
площадке связаны с компонентами нормали к этой |
площадке |
тензорным законом:
|
S\N) = PjiNj = PijNj. |
(8.3) |
|
|
На координатных площадках, |
||
где |
= ка, |
ЛГИ = 5ai, из |
|
(8.3) имеем |
|
|
|
|
^ а) = |
Pai. |
(8.4) |
Таким образом, компонентам тензора напряжений Коши мож но придать следующий физиче ский смысл: величина Pji (рав ная Pij в силу закона парности касательных напряжений (7.7))
в данной точке равна i-й компоненте вектора истинных нап ряжений, действующего на площадке, проведённой через эту точку, с нормалью в направлении оси с ортом kj. Напряжённое состояние в точке полностью определяется тензором напряже ний Р в этой точке [31,61]. Компоненты Раа будем называть
растягивающими, а Рар — сдвигающими.