книги / Основы механики сплошной среды

где xi — эйлеровы координаты или координаты места в ящи­ ке Я, занимаемого частицей, которая в момент t = to занимала место с координатами xf. Из (1.5), ( 1.6) следует, что соотноше­ ние (1.4) можно записать в виде

В соотношениях (1.5) и (1.6), как и всюду далее в книге, используются следующие общепринятые правила суммирования [29, 55]:

а) индекс, изображающийся малой латинской буквой, изме­ няется от 1 до 3;

б) индекс, изображающийся большой латинской буквой, из­ меняется от 1 до 2;

в) латинские индексы могут встречаться в каждом одночлене либо один, либо два раза; если индекс встречается два раза, он называется немым и по нему производится суммирование от 1 до 3 (если он изображается малой буквой) или от 1 до 2 (если большой), причём для краткости знаки суммы опускаются; если индекс встречается один раз, он называется свободным (во всех одночленах данной формулы свободные индексы должны

специально не написан знак суммы); разным греческим буквам в индексах в данной формуле обязательно соответствуют разные числовые индексы.

Так, например, компактная запись

<Ч Л ьЬ акС аЬ = fc d J

эквивалентна системе восемнадцати уравнений (каждое из сле­ дующих шести уравнений надо взять при а = 1,2,3):

Сравнение двух предыдущих формул, без сомнения, убедит чи­ тателя в преимуществах использования тензорной алгебры.

Вернёмся к соотношениям (1.7). Они устанавливают связь между отсчётной и актуальной конфигурациями, т. е. описывают закон движения сплошной среды. В силу условий непроницае­ мости

соотношения (1.7) можно обратить следующим образом:

Если в отсчётной конфигурации зафиксировать материаль­ ную частицу (например, имеющую лагранжевы координаты х? = = Cf), то из закона движения (1.7) получим уравнение линии:

Эта линия называется траекторией частицы.

т. е. зафиксируем прямую линию, составленную из материальных частиц, параллельную оси координат (Ох®), то в актуальной конфигурации в фиксированный момент времени t = T = const

Уравнения (1.12) описывают некую кривую, составленную из ма­ териальных частиц, которые в отсчётной конфигурации лежали на прямой (1.11).

Если теперь положим в отсчётной конфигурации

Уравнения (1.14) описывают поверхность, составленную из ма­ териальных частиц, в которую перешла при движении сплошной среды плоскость (1.13).

Из (1.11), (1.12) следует, что ортонормированный базис, составленный из материальных частиц в отсчётной конфигура­ ции, вообще говоря, превращается в актуальной конфигурации в “криволинейный” базис [36].

Заметим, что в силу (1.8) можно обратить соотношения (1.5) для мате­

Компоненты щ в базисе к{ можно считать функциями лагранжевых координат и времени: щ = щ {х\,хjj.xjj.t).

Продифференцируем обе части закона движения (1.7) по времени и определим вектор скорости v с компонентами Vi

в базисе ïq, являющимися функциями лагранжевых координат

и времени: Й

ч й 4 4 ‘) = = ( 4 .4 4 *) = ^ ( 4 Л 4 Л

или v(fa, t) = ^ ( Р 0, i) = ^?(?о, () = ^ ( ?«. *) = ^ { ^ 0. t)-

В (1.17) полные производные по времени совпадают с частными, поскольку лагранжевы координаты х® от времени не зависят.

Продифференцируем обе части (1.17) по времени ещё раз и определим вектор ускорения w с компонентами го{ в базисе ki, являющимися функциями лагранжевых координат и времени:

^(а^ .хз.хз,*) = ^-(x?,xj),x§,i) = ^p(x?,x§,X 3,f)>

Компоненты тех же самых векторов перемещения, скорости и ускорения в силу (1.9) можно представить и как функции

В (1.22) и (1.23) видно различие между полной производной и частной производной по времени. Для любой физической величи­ ны F (x\,x2,x3,t), зависящей от эйлеровых координат и времени,

полная производная по времени (её также будем обозначать точкой справа вверху буквы) представима в виде

= J ft(x i 'x*'x3't) + far(x i’xï ’x3’t) vi' (1-24)

т. е. в виде суммы частной производной по времени и конвек­ тивной производной по времени.

В зависимости от того, какие координаты — лагранжевы я® или эйлеровы Xi — выбраны в качестве независимых перемен­ ных, различаются два подхода к описанию движения сплошной среды, связанные с именами Ж.Л. Лагранжа и Л. Эйлера [45]. При лагранжевом подходе целью является нахождение закона движения (1.7), т.е. траекторий всех частиц тела. Лагранжево описание деформирования сплошной среды применяется чаще

вмеханике деформируемого твёрдого тела, где удобно следить за движением границы тела.

При эйлеровом подходе целью является нахождение поля вектора скорости v как функции г и t. Эйлерово описание применяется в случаях, когда необходима информация о том, как изменяется со временем та или иная физическая величина

вданной точке пространства (ящика Я). Такой подход чаще используется в гидроаэромеханике при исследовании жидкости [10].

Оба подхода эквивалентны. Действительно, зная закон дви­ жения (1.7), можно найти согласно (1.17) и (1.18) векторы скорости v(ro,t) и ускорения w(ro,t) и, воспользовавшись со­ отношениями (1.9), в силу (1.20), (1.21) получить векторные поля v(f, t) и w(f, t).

Пусть теперь имеются три функции Vi(xi,x2,X3,t). Выпи­

шем систему дифференциальных уравнений относительно функ­

Решая систему (1.25) с начальными условиями я,(0) = я° (зада­ чу Коши), находим закон движения я^ЯрЯ^Яд, t).

Рассмотрим ниже три характерные задачи. Пусть имеется закон движения сплошной среды:

(1.26)

где а — постоянная. Надо найти поле скоростей ^(ац.яг.хз.Ё) в эйлеровом пространстве.

т.е. система (1.26) действительно представляет собой закон дви­ жения.

Подставим обратный закон движения (1.29) в (1.28) и выпишем решение задачи:

и V{(x\,X2,xz,t) существенно различен (хотя эти функции и обо­ значаются одной буквой).

где ÜJ и vo постоянны. Требуется определить закон движения частиц.

Для этого необходимо решить задачу Коши для трёх уравне-

с начальными условиями хДО) = i®. Следствием (1.32) является система

Выпишем её общее решение:

, X 3 = x° + VQL

Уравнения (1.35) представляют собой параметрические уравне­ ния спирали. Следовательно, каждая частица, не принадлежав­ шая в начальный момент оси хз, дви­ жется по спирали с постоянной осевой

скоростью Vo и постоянной угловой ско­

где а, Ь, с — некоторые постоянные. Необхо­ димо найти траектории частиц.

Исследуем систему уравнений задачи Коши, возникающей в данном случае:

Умножим первое уравнение (1.37) на а, второе на Ь, а третье на с и просуммируем:

dx\ ( и dx2 , dx3

Интегрируя (1.38) по времени с учётом начальных условий:

придём к выводу, что каждая частица, имевшая в начальный момент координаты Xj, х®, х®, будет оставаться в плоскости, определяемой (1.39), т.е. траектория каждой частицы является плоской.

Умножим далее первое уравнение (1.37) на х ь второе на хг, а третье на хз и просуммируем:

Интегрируя (1.40) по времени и опять же учитывая начальные условия, будем иметь

т.е. каждая частица, имевшая в начальный момент координа­ ты х®, х®, Хд, будет оставаться на сфере, определяемой уравне­ нием (1.41). Соотношения (1.39)

и (1.41) называются первыми инте­ гралами системы (1.37).

Итак, траекториями будут окруж­ ности (для каждой частицы своя), являющиеся пересечением плоскос­ ти (1.39) и сферы (1.41) (рис. 6). Ис­ ключение составляют лишь частицы, находившиеся при t = to на прямой I, которая проходит через начало коор­ динат и параллельна вектору {а;Ь\ с} (эти частицы, очевидно, будут нахо­ диться в покое).

Отметим некоторые часто встречающиеся законы движения сплошной среды.

а) Трёхмерное растяжение-сжатие:

причём а*(0) = 0 и aj(t) ф —1. Соответствующее поле скоростей v(f, t) имеет вид

Если аз(£) = 0, то говорят о двумерном растяжении-сжатии

в плоскости (Ох\Х2). Если аз(£) = аг(£) = 0, то имеет место

одномерное растяжение-сжатие вдоль оси (Oxi).

где А -1 — обратная к А матрица, т. е. А • А -1 = А -1 • А = I; I — единичная матрица, компонентами которой в декартовой системе координат являются Sij.