книги / Основы механики сплошной среды
..pdfдеформируемом состоянии, на котором могут быть изучены все процессы, протекающие в выделенной точке среды.
Примером нелокальной среды по координатам может слу жить среда, для которой связь напряжений и деформаций в лю бой точке х описывается соотношениями
<Tij{x)= C ijki(^)£ki{() dV^, (21.26)
va(x)
где Fa(5) — шар радиуса а > 0 с центром в х. Для нелокальной среды постулат макроскопической определимости несправедлив.
7. Среды различаются свойствами локальности и нелокаль ное™ по времени. Локальной по времени называется среда, в которой свойства в каждый момент времени зависят от па раметров состояния в этот же момент. Такими свойствами об ладают упругий материал, идеальная и вязкая жидкости. Там же, где напряжения в любой момент t зависят от всей истории деформирования на интервале 0 < т ^ t, т. е являются функцио налами процесса деформации, говорят о нелокальности среды
по времени, или о средах с памятью. Примером такого рода определяющих соотношений служит связь напряжений и дефор маций (21.23) или (21.24) в теории вязкоупругости, а также в большинстве теорий пластичности.
8. Как уже отмечалось, материальные функции не могут вы числяться или быть решениями каких-либо уравнений, а должны определяться лишь опытным путём в результате установочных экспериментов [17, 37]. Во всех таких экспериментах суждение о приемлемости того или иного утверждения должно быть согла совано с точностью, которую необходимо достичь при расчёте по выбранной модели. К установочным также относят эксперимен ты, в которых устанавливаются общие свойства операторной свя зи напряжений и деформаций, например рассмотренные в этой лекции линейность и нелинейность, изотропия и анизотропия, склерономность и реономность и т. д.
Теорию, основанную на некоторой выбранной модели механи ки сплошной среды, будем называть "серьёзной”, или адекват ной, если описан полный набор экспериментов для нахождения всех материальных функций. В противном случае теория назы вается “несерьёзной” (неадекватной).
Л Е К Ц И Я 22
УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВА. ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Основные постулаты МСС в лекциях 6, 7 и 14 были представ лены в интегральной форме и в виде дифференциальных след ствий. До сих пор считалось, что все изучаемые функции диффе ренцируемы столько раз, сколько требуется. Рассмотрим теперь более общий случай и будем считать, что в сплошной среде движется так называе мая материальная поверхность разрыва So с единичной нормалью п(х), х е SoБу дем обозначать характеристики механиче ских величин с одной стороны от поверх ности S Q одним штрихом (условно “перед поверхностью”), а с другой стороны — дву мя штрихами (“за поверхностью”) (рис. 60).
Множество S Q может моделировать границу раздела двух различных сред, а может находиться внутри одно родной среды.
Эта поверхность S Q не будет поверхностью разрыва, если при переходе через неё векторы перемещения, скорости, а также напряжения не терпят разрыва, т. е.
[«*] = u'l - u 'i |
= |
0 , [crijUj] = [<Tij]nj = (a"j - |
(T ij)nj = 0 . |
(22.1) |
Величины [xti] |
и |
[oy-rij], заключённые в |
квадратные |
скобки |
в(22. 1), называются скачками перемещений и напряжений при переходе через поверхность So-
Если при переходе через Е0 терпят разрыв перемещения, или скорости, или температура, то So называется поверхно стью сильного разрыва. Если же эти величины непрерывны, но
вточках х € So терпят разрыв их производные по координатам
ивремени, то SQ называется поверхностью слабого разрыва.
Пусть движение этой поверхности задаётся соотношением
f = f ( t , a \ a 2), |
(2 2 .2 ) |
где а 1, а 2 — криволинейные координаты. Очевидно, что соотно шение (22.2) можно записать в виде
Xi = х ^ , а 1,а 2), |
(22.3) |
||
или |
|
|
|
д(х\,Х2,х$Л) = 0 . |
(22.4) |
||
Тогда вектор единичной нормали п имеет вид |
|
||
а |
- |
Л . |
(22.5) |
|
I grad si |
|
|
Будем обозначать скорость поверхности в направлении её |
|||
движения через |
|
|
|
D = |
Dn, |
D = \D\, |
(22.6) |
т. е. скорость поверхности |
So |
всегда направлена |
по нормали |
к ЕоВектор D(x), х € So, вообще говоря, отличается от вектора скорости v(x) материальной частицы, находящейся в момент времени t в точке х поверхности.
Поскольку равенство (22.4) выполнено при любом t, возьмём полную производную по t от обеих его частей:
(22.7)
Разделим (22.7) на |grad<?| и учтём равенства (22.5) и (22.6). Тогда получим выражение для модуля скорости поверхности So:
” - i S
Выберем в пространстве некоторый подвижный (жидкий) объём V, который исследуемая поверхность EQ в каждый момент времени делит на два объёма: V и V" (рис. 61).
Обратимся теперь к общей интегральной записи постулатов МСС (14.55):
i f |
J |
padV = |
|
рА dV + 1 B W dS + J C dV, |
(22.9) |
|
dt |
|
|||||
V |
|
V |
E |
V |
|
|
описывающей изменение величины $v padV Дифференциаль ным следствием (22.9) является равенство (или равенства, в за висимости от ранга тензора о) (14.58)
P~JI = рА + Div В + С. |
(22.10) |
at |
|
|
|
Полагая |
а, А, В, |
С |
такими |
же, |
как |
||
|
в (14.59)-( 14.63), из (22.9), (22.10) получим |
||||||||
|
интегральные и дифференциальные форму |
||||||||
|
лировки всех пяти постулатов МСС. |
|
|
||||||
|
|
Воспользуемся леммой о дифференциро |
|||||||
вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4): |
|
|
|
||||||
î \ |
f ^ |
dV- \ % dV' |
fv n dZ, |
(22.11) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
и применим её последовательно к жидким объёмам |
V и |
V" |
|||||||
(рис. 61): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j t \f(r~ t)d V |
= |
д£ dV + |
J |
fv'n dZ + | |
f'D dZ . |
( |
22 |
12 |
|
dt |
|
. ) |
|||||||
V ' |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 1 M . W |
- |
ï d V + |
J |
/ < dZ - |
J |
f"D dZ. |
(22.13) |
||
V " |
V " |
|
E" |
|
E0 |
|
|
|
|
Здесь v'n и v" — значения нормальной составляющей вектора скорости на поверхностях Z' и Z" соответственно.
Выполним |
предельный |
переход при V = V U V" |
0, при |
||||
этом Z' —*Ео, |
—*■So- Обозначим f |
и f" предельные значения |
|||||
непрерывной |
функции /( f , t) |
при стремлении V —>0 со |
сторо |
||||
ны V |
и V" соответственно. Тогда |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
/Ч '< *Е . |
(22.14) |
Из (22.12)-(22.14) получим |
|
|
|
|
|||
й |
г |
J |
' ^ |
- |
й |
- D ) d S + |
з |
|
V |
|
V |
|
So |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J / > " - . D ) d E . |
(22.15) |
|
|
|
|
|
|
À |
|
Проделывая |
ту же процедуру разбиения V на V |
и V" |
|||||
с последующим |
устремлением |
V к нулю в (22.9), где положим |
|||||
ра —/ , |
будем иметь |
d |
B'n)dB + |
Urn 17 |
|
К-*0 dt |
|
|
+ Um J C dV. (22.16) |
|
v |
Если величины / , А и С ограничены, то все объёмные интегралы в (22.15) и (22.16) стремятся к нулю. Таким образом, в каждой точке поверхности So справедливо соотношение для разрывных на EQ функций / (/" —/ ' = [/]):
f " « - D) - Г К —О) = В" —В'п, |
(22.17) |
называемое условием на поверхности разрыва.
В формулировках каждого из известных постулатов МСС
объекты |
/ и В имеют конкретный вид (см. (14.59)-(14.63)). |
||
Рассмотрим условия на поверхности разрыва (22.17) примени |
|||
тельно к этим постулатам. |
|
|
|
1. |
Для первого постулата (6.8) (закона |
сохранения массы) |
|
f = р, В = 0. Получающееся из (22.17) скалярное соотношение |
|||
|
/ M - D ) = p ' K - £ > ) |
|
(22.18) |
описывает скачок плотности при переходе |
через |
поверх |
|
ность SoЕсли р" < р', то имеет место скачок разрежения, если |
|||
же р" > р', то скачок уплотнения. Из (22.18) |
видно, |
что если |
|
v'n — 0 (распад разрыва), то v'n < D. |
|
|
|
2. Для второго постулата (6.34) (закона об изменении ко личества движения) / следует заменить на вектор pv, а Вп на
Sn = SjUj = oijrijki. Из (22.17) получим |
|
А " « - D ) - р'у[{у'п - D ) = [oijjrij, |
(22.19) |
или, используя предыдущий закон (22.18), |
|
Р 'М К ~ D) = |
(22.20) |
3. Для третьего постулата (7.2) (закона об изменении момента количества движения) / заменим на г х pv, а В на р х Sn:
- D) - p'xjv'^v'n - £>)) = ечкХ][сгкт}пт. (22.21)
Видно, что три соотношения (22.21) являются лишь следствиями соотношений (22.19).
4. Четвёртый постулат (14.44) представляет собой закон со хранения энергии в МСС. Положим / = е, Вп = —qn и из (22.17) получим скалярное условие
/ « " ( < - D) - |
- D) = -(?!' - й щ , |
(22.22) |
или, с учётом (22.18), |
|
|
P 'N K |
~D ) = —[ф]гч- |
(22.23) |
Этот же постулат можно записать и форме (14.43), при |
||
этом / = е + |V|2/2, Вп — Sn -v —qn. Тогда, принимая |
во вни |
|
мание (22.18), |
|
|
е + |г/121 (v'n-D) = [(JijV - qi}ni |
(22.25) |
|
5. Для пятого постулата о притоке тепла (14.50) необходимо положить / = ps, Вп = —qn/T :
Л " М - D) - |
- D ) = |
тц, |
(22.26) |
или, с учётом (22.18),
А Ф п - D) = - |
(22.27) |
6.Обратимся теперь к соотношению электромагнитодинами-
ки |
(19.25), для которого f = (и\Ё\2 + р\Й\2)/(8тг), Bn = —Sn, |
|
где |
S — вектор Пойнтинга. Условие на поверхности |
разры |
ва (22.17) запишется следующим образом: |
|
|
|
’(х |Я |2 + р\Н\2)(уп - £>)] = -8тг[й]п*. |
(22.28) |
В заключение рассмотрим вопрос о так называемой поста новке задач для изучаемых в этой книге моделей сплошных сред. Данному вопросу достаточного внимания ещё уделено не было; так как для этой цели требуется знание более серьёзно го математического аппарата, чем тот, который использовался до сих пор.
Начнём с простейшего примера. Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение-
S |
= т |
(22.29) |
при х ^ 0. Заданная функция |
f(x) |
называется правой частью |
уравнения (22.29). Чтобы решение было единственным, надо записать дополнительные условия (начальные данные) при х =
= |
|
|
и = Си |
du |
|
|
(22.30) |
|
|
|
|
-j- = C2. |
|
|
|||
Задача (22.29), (22.30) называется задачей Коши. Очевидно, |
||||||||
она имеет единственное решение |
|
|
|
|
||||
|
|
и(х) = |
(я - |
y)f(y) dy + С2х + Ci. |
(22.31) |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Если |
решается |
уравнение |
(22.29) |
на |
конечном |
отрезке |
||
0 < х ^ I, |
то |
дополнительные |
условия |
в |
граничных |
точках |
||
отрезка можно записать в виде |
|
|
|
|
||||
|
|
и(0) = |
С и |
и(1) = С2. |
|
(22.32) |
||
Эти условия |
называются |
краевыми или |
граничными, |
а зада |
||||
ча (22.29), (22.32) называется краевой задачей. Её единственное решение таково:
|
|
i |
и(х) |
(х ~ y)f(y) dy + Ci + j C2 - C i |
{l~y)f{y)dy . |
|
о |
о |
|
|
(22.33) |
В механике принято называть начальными данными (на чальными условиями) величины, которые задаются в начальный момент времени t —to или t = 0. Если уравнения МСС содержат производные по времени, то они называются начально-краевыми (нестационарными или, иногда, динамическими). Правые части
таких уравнений, |
а также заданные величины |
в начальных |
и краевых условиях называются входными данными. |
||
Статические |
задачи (как и стационарные) |
не содержат |
в своей формулировке времени. Для таких задач начальных условий во “входных данных” нет.
Если же время входит как параметр в правые части и краевые условия, но уравнения не содержат производных по времени, то
такие задачи называются квазистатическими или квазистационарными. Начальные условия для них также не задаются.
Область V, занимаемая сплошной средой, может быть огра ничена замкнутой поверхностью Е, но может быть и неог раниченной. В последнем случае нужно задавать ещё допол нительные условия на бесконечности. Может случиться, что поверхность Е содержит особые точки (например, рёбра или конические точки). Тогда в них также должны быть заданы некоторые дополнительные условия.
Не будем здесь рассматривать вопрос о необходимом числе краевых и дополнительных условий, а приведём примеры для разобранных моделей. Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости (лекция 9). Уравнения движения Эйлера (9.9) в пря моугольной декартовой системе координат имеют вид
^± |
= - 2 i + Fi. |
(22.34) |
at |
р |
|
В силу того что в уравнениях (22.34) присутствует только первая производная по времени, начальное условие при t = 0 для вектора v будет одно:
Vi = Vi. |
(22.35) |
В правой части уравнений (22.34) имеются производные по координатам от одной скалярной величины — давления р. Следо вательно, граничное условие для р на поверхности Е с единичной нормалью п будет одно:
р |Е = р °. |
(22.36) |
Граничное условие (22.36) называется статическим.
Если же идеальная жидкость движется в области V, огра ниченной поверхностью Е, не протекает сквозь эту поверхность и не отрывается от неё, то граничное условие (условие непроте-
кания) на Е будет, разумеется, тоже одно: |
|
|
v»|E = |
= «£• |
(22.37) |
Граничное условие (22.37) называется кинематическим. Его единственность физически оправдана тем, что в идеальной жид кости на касательные составляющие вектора скорости v поверх ность Е не оказывает никакого влияния (вспомним парадокс Эйлера-Даламбера).
Иногда оказывается, что поверхность Е разбита на две час ти: Ei и Ег, такие что Ej U Ег = Е, Е| Г1Е2 = 0. При этом на части поверхности Ei задано статическое условие (22.36), а на части Ег кинематическое (22.37). Если же область V неограничена, то, как уже говорилось, требуется задать дополнительные условия на бесконечености.
Теперь можно говорить о постановке задачи, например, для идеальной несжимаемой жидкости. Эта задача заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления р из решения трёх уравнений Эйлера (22.34) при учёте одного уравнения несжимаемости (9.10). При этом должны удовлетво ряться начальные условия (22.35) и некоторые граничные усло вия, например (22.36), или (22.37), или смешанные: на части
границы Ei (22.36), а на оставшейся части Ег |
(22.37). |
|
Рассмотрим теперь уравнения Навье-Стокса (9.54) для тече |
||
ния вязкой несжимаемой жидкости: |
|
|
~ |
= ~ ^ + Г]АУг + Гг. |
(22.38) |
at |
р |
|
Что касается начальных условий, то и для вязкой жидкости они записываются в виде (22.35). Однако в силу того что в уравнениях (22.38) содержатся вторые производные по коор динатам от вектора скорости, граничных условий на поверхнос ти Е будет три. При этом кинематические условия (9.55) (усло вия прилипания)
(22.39)
означают, что на границе Е все три компоненты скорости жидкости совпадают с заданными компонентами vJB вектора скорости твёрдого тела, движущегося вместе с Е. Статические граничные условия (9.56) выглядят следующим образом:
= & |
(22.40) |
Разумеется, и здесь можно сформулировать смешанные гранич ные условия.
Итак, задача о движении вязкой несжимаемой жидкости заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v
идавления р из решения трёх уравнений Навье-Стокса (22.38)
иуравнения несжимаемости (9.10) при удовлетворении началь ным данным (22.35) и граничным условиям (22.39), или (22.40),
или смешанным. В последних двух случаях нужно в граничных условиях использовать определяющие соотношения вязкой жид кости
crij = - p S i j + 2 /U iA j, р,\ = rjp, |
(22.41) |
и выражения |
|
Dij = —(vi'j + Vj'i). |
(22.42) |
Постановка задачи линейной теории упругости была уже рассмотрена в лекции 10. Напомним, что для изотропной среды задача заключается в отыскании трёх компонент вектора пере мещений и из решения уравнений Ламе (10.36)
я2... |
|
|
|
= (А + ^ |
+ |
+ pFu |
(22'43) |
где |
|
|
|
в = uk,k = divw. |
|
(22.44) |
|
Так как в уравнения (22.43) входит вторая производная по времени от компонент перемещений, должны выполняться уже два векторных начальных условия при t = 0:
щ = Щ, |
дщ |
(22.45) |
|
|
~Вь |
Кроме того, необходимо удовлетворение кинематических
«il1S = «?. |
(22.46) |
или статических (22.40), или смешанных граничных условий. Как и в вязкой жидкости, в последних двух случаях должны учитываться определяющие соотношения линейной упругости
<тîj — XOSij H- 2fxEij |
(22.47) |
и соотношения Коши |
|
£ij = ^(«*о + «j.О- |
(22.48) |
В статической или квазистатической задаче теории упругости нужно найти перемещения из решения трёх уравнений равно весия:
(Л + |
+ ц/Хщ + pFi = 0, |
(22.49) |
при удовлетворении граничным условиям (2.40) либо (2.46).