книги / Основы механики сплошной среды

Идеальная жидкость называется баротропной, если давле­ ние является известной функцией от плотности или наоборот:

Функция (9.12) представляет собой определяющее соотноше­ ние идеальной жидкости, замыкающее систему (9.1), (9.9). При р(р) = PQ мы имеем дело с несжимаемой средой.

Для баротропной жидкости удобно ввести функцию давле­ ния V(x, t) такую, что *)

нии (9. 12), функцию давления можно записать в одном из двух видов:

Тогда, подставляя (9.14) и (9.17) в уравнения движения (9.9),

получим

dv

-J- + grad (P + И) = 0. (9.18) at

Возникает вопрос: можно ли ускорение w = dv/dt, входя­ щее в (9.18), как и остальные слагаемые, представить в виде градиента некоторой скалярной функции? Покажем, что вектор ускорения w(f,t) представйм в форме Громеки-Лэмба:

где ш — вектор вихря, определяемый в (2.29).

‘) Не путать функцию давления V с давлением р !

Будем считать, что в актуальной конфигурации задана прямо­ угольная декартова система координат с единичными ортами fc* так, что V = Viki, ш = Преобразуем fc-ю компоненту век­ тора, являющегося суммой двух последних слагаемых в (9.19):

и заметим, что она совпадает с к-й компонентой конвективной производной по времени вектора скорости. Сумма частной и кон­ вективной производных согласно (1.23) есть полная производная по времени от скорости, или ускорение w.

Воспользуемся доказанным результатом и подставим ускоре­ ние в форме Громеки-Лэмба в (9.18). Получим

вившееся, т. е. выполняется условие (2.11). Спроектируем в каж­ дой точке среды векторное уравнение (9.21) на линию тока (или на траекторию, совпадающую в силу стационарности с линией тока), которая проходит через эту точку. Так как по определению линии тока вектор v направлен в каждой точке и в каждый момент времени по касательной к этой линии, проекция правой части (9.21) равна нулю. В результате будем иметь

где С — постоянная величина вдоль каждой линии тока. Она не является константой для всей области течения.

Первый интеграл (9.23) уравнений движения (9.21) называ­ ется интегралом Бернулли. Он справедлив не только для линии тока, но и для каждой вихревой линии, т. е. линии, касательная к которой параллельна вектору и. В этом случае С постоянна вдоль каждой вихревой линии.

2. Возвратимся к уравнениям движения (9.21) и предпо­ ложим, что течение идеальной баротропной жидкости потен­ циально:

Первый интеграл (9.26) уравнений движения (9.21) называется интегралом Коши-Лагранжа. Функция /(£) определена во всей области течения V

Для нахождения константы С в интеграле Бернулли (9.23) и функции /(£) в интеграле Коши-Лагранжа (9.26) необходимо использовать начальные и граничные условия. Начальные усло­ вия задаются в момент времени £ = 0 во всех точках V :

Граничные условия задаются в любой момент времени, но лишь на границе Е = Е» U Es области V В случае идеальной жидкос­

нормаль N. В особых же точках, таких как рёбра, угловые точки, точки возврата, граничные условия имеют другой вид, на котором сейчас останавливаться не будем.

Приведём далее примеры задач механики идеальной жидкос­ ти, допускающих решение на основе первых интегралов уравне­ ний движения, в частности интеграла Бернулли. Во всех задачах будем полагать, что жидкость однородна и несжимаема, поэтому, как следует из (9.15), V = р/ро-

1. Тяжёлая жидкость вытекает из открытого резервуара, показанного на рис. 35, через малое отверстие в боковой стенке. Найти скорость истечения в тот момент, когда расстояние от этого отверстия до верхней границы жидкости равно h.

Направим ось х% = z вверх и выберем начало координат на уровне отверстия, как указано на рис. 35. Единственной массовой силой является сила тяжести F = ~gk$, обладающая потенциа­

лом

поверхности равны нулю (действительно, они много меньше искомой скорости истечения), поэтому движение за небольшой промежуток времени можно считать установившимся. Следова­ тельно, вдоль линии 7 справедлив интеграл Бернулли (9.23).

Выражение (9.32) и является ответом в данной задаче. Если внешние давления в точках А и В одинаковы и равны, например,

Любопытно, что формула (9.33) в точности совпадает с извест­ ной из классической механики формулой Торричелли для ско­ рости материальной точки, брошенной с высоты h из состояния покоя.

Можно поставить и иную задачу: каким должно быть ми­ нимальное давление рв вокруг резервуара, для того чтобы тяжёлая жидкость не вытекала из него? Для ответа надо вое-

пользоваться решением (9.32) и положить в нём |и |а = 0. Тогда

жидкости справа от вертикальной стенки (рис. 36).

Направим, как и в предыдущей задаче, ось x$ = z вверх, а начало координат выберем в точке О. Пусть глубина водоёма

ет вид (9.30). Записывая для двух точек А и В, принадлежа­ щих 7 , интеграл Бернулли согласно (9.31) и учитывая, что рА =

= РВ = Ратм, ПОЛУЧИМ

Если на свободной поверхности водоёма достаточно далеко от стенки жидкость покоилась (vA и 0), то из (9.35) вновь получим формулу (9.33), аналогичную формуле Торричелли. Выражение для скорости (9.35) используется при расчёте и проектировании водосливов, плотин, запруд и других гидроинженерных соору­ жений.

Интеграл Бернулли (9.23) также находит применение в за­ дачах, связанных с измерением скорости потока жидкости. Про­ стейшим измерительным прибором такого рода служит трубка Пито-Прандтля (рис. 37), представляющая собой узкое цилин­

каналам (коленам трубки) может течь жидкость. Трубка уста­ навливается вдоль стационарного горизонтального потока иде­ альной жидкости. Одно колено трубки выходит в её переднюю (лобовую) часть навстречу набегающему потоку. Конец А этого колена называется точкой торможения, в ней скорость потока тормозится до нуля, а давление равно давлению торможения, или заторможенному давлению р*. Другое колено выходит из трубки в точке В, расположенной достаточно далеко от А, так что vB и рв мало отличаются от скорости Voo и давления Роо набегающего потока.

Выберем линию тока, проходящую через точки А н В, и запишем для неё интеграл Бернулли в виде (9.31). Так как ZA ~ гв' будем иметь

(9.36)

Перепад давлений Ар пропорционален разности высот Ah уров­ ней жидкости в двух коленах трубки Пито-Прандтля. Коэффи­ ц и ен т этой пропорциональности равен р'д, где р' = аро — плот­ ность жидкости, находящейся в трубке (она может отличаться от жидкости в потоке). Поэтому

Рассмотрим теперь другую модель, а именно пористую сре­ ду [И]. В такой среде присутствуют две составляющие: недеформируемый каркас и поры, заполненные идеальной жидкостью, причём жидкость может фильтроваться сквозь стенки каркаса. В связи с этим модель пористой среды называется также фильт­ рационной моделью. Полагается, что в некотором бесконечно малом объёме dV, окружающем точку х тела в момент £, объём пор равен dV\, так что известная величина

= 0 и х = 1 имеем, очевидно, сплошной каркас без пор либо идеальную жидкость.

Общая масса т жидкости (6.1),

не меняется со временем, поэтому из закона сохранения мас­ сы (6.8) и леммы о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4) следует, что

скоростью фильтрации в отличие от физической скорости v. Тогда соотношение (9.40) можно переписать следующим об­ разом:

Скорость фильтрации пропорциональна силе трения FTp жид­ кости о стенки каркаса (закон Дарси):

(9.43)

где К — коэффициент проникания.

Аналогично уравнениям движения Эйлера (9.9) запишем век­ торные уравнения, описывающие фильтрацию. В них уже фигу­

Так как фильтрация осуществляется очень медленно, инер­

и носит название обобщённого закона Дарси.

Подставим теперь обобщённый закон Дарси в (9.42) и полу-

Если жидкость, движущаяся в порах, баротропна, то уравне­ ние (9.46) (с учётом (9.12)) полностью описывает фильтрацион­ ную модель.

Пусть теперь тензор напряжений Коши (6.55) в жидкости не является шаровым, как в (9.6), а имеет вид

есть тензор вязких напряжений, представляющий собой линей­ ную изотропную тензорную функцию от скоростей деформации D (4.62):

Соотношения (9.49) являются определяющими соотношения­ ми среды, называемой ньютоновской вязкой жидкостью или просто вязкой жидкостью [7, 20, 23, 26, 53]. Коэффициенты Ai и р\, являющиеся материальными константами определяю­ щих соотношений (9.49), характеризуют жидкость и называются соответственно объёмной и сдвиговой вязкостью. Подставляя (9.48) и (9.49) в (9.47), выпишем компоненты тензора Р :

численные на основании (9.51). Получим уравнения движения сжимаемой вязкой жидкости:

дуют уравнения движения Навье-Стокса вязкой несжимаемой

В случае несжимаемости нет смысла говорить об объёмной вяз­ кости, поэтому р\ называют просто коэффициентом вязкости или

динамической вязкостью, тогда как rj = p\/p носит название

кинематической вязкости. Смысл этих названий станет ясным из лекции, посвящённой размерностям физических величин.

Итак, замкнутая система уравнений вязкой несжимаемой жидкости представляет собой векторное уравнение (9.53) или (9.54) и условие несжимаемости (9.10). При этом разыскиваются четыре величины: компоненты вектора скорости v и давление р.

Если в отличие от (9.49) тензор-функция, связывающая т и D, нелинейна, то жидкость называется нелинейно-вязкой или

неньютоновской [8].

Обратимся теперь к начальным и граничным условиям, необ­ ходимым для постановки начально-краевой задачи движения вязкой несжимаемой жидкости. Поскольку уравнения НавьеСтокса (9.54), как и уравнения Эйлера (9.9), имеют первый порядок по времени, начальные условия (9.27) остаются в силе. По координатам уравнения (9.54) имеют второй порядок (опе­ ратор Лапласа), поэтому граничных условий (9.28), (9.29) уже недостаточно.

Кинематические условия на границе £„ вязкой жидкости

Чаще всего по границе £„ вязкая жидкость соприкасается с твёрдым телом (“стенкой”), движущимся со скоростью щ (х,1), поэтому условия (9.55) называют также условиями прилипания.

Статические граничные условия записываются следующим образом:

Если вектор SQ(X , t) нулевой, то £ 5 называется свободной по­ верхностью. Если Ev = Е, то говорят о первой краевой задаче,

если Es = Е, то о второй краевой задаче, если же £„ Ф 0 и Е5 ф 0 — то о смешанной краевой задаче.

Л Е К Ц И Я 10

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Продолжим начатое в прошлой лекции изучение моделей сплошных сред и перейдём от жидкостей к твёрдым деформи­ руемым телам. В механике сплошной среды часто твёрдые тела отличают от жидкости не по агрегатному состоянию вещества. Обычно, если используется лагранжев подход и кинематика де­ формирования описывается вектором перемещения и тензором деформаций, то говорят о твёрдом теле [47]. Если же исполь­ зуется эйлеров подход и кинематика характеризуется вектором скорости и тензором скоростей деформаций, то речь идёт о жидкости или газе. При этом, как правило, несжимаемая среда называется жидкостью, а сжимаемая — газом.

Будем изучать малые деформации и введём прямоугольную декартову систему координат. Частную производную по коорди­ нате будем обозначать запятой в индексе. Тогда уравнения дви­ жения (6.58) в компонентах записываются следующим образом:

Три уравнения движения (10.2) и шесть соотношений Ко­ ши (5.5) содержат пятнадцать неизвестных величин: по шесть компонент симметричных тензоров напряжений сгу (8.43) и ма­ лых деформаций еу (5.4), а также и три компоненты вектора перемещений щ. Напомним, что плотность р не входит в число неизвестных, а определяется из уравнения неразрывности (6.17) в лагранжевых координатах после нахождения деформаций и ди­ латации 9. Система (10.2), (5.5) незамкнута, и для её замыка­ ния сплошную среду необходимо конкретизировать, т. е. задать определяющие соотношения среды. В предыдущей лекции уже встречались подобные соотношения для идеальной баротропной жидкости (9.12) и для ньютоновской вязкой жидкости (9.49).