Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Основы механики сплошной среды

..pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
13.75 Mб
Скачать
☆

гией

..., fim, S) рассмотрим, в частности, следующие по­

тенциалы

[38,35]:

— энтальпия (теплосодержание) Я = Н {£ \,■. . , £ m, S):

т

 

 

 

Я = Я +

 

 

(14. 15)

j=i

 

 

 

— свободная энергия Гельмгольца F = F {

p \ рт,Т):

F = Е —TS;

~

~

(14.16)

— термодинамический потенциал

Гиббса

G =

GÇ£ \ , - ..

• • •. 'R.mi Т")’

 

 

(14.17)

G = H - TS.

 

 

Используя формулировки первого (12.5) и второго (14.12) законов термодинамики, можно записать (14.7) в виде

771

 

 

<M(i) = £ £ , - : dpj,

(14.18)

i=i

 

 

получим термодинамическое тождество (13.40) в виде

 

 

771

 

dE = TdS -

% •

(14.19)

j=i

Чтобы перейти от одного термодинамического потенциала к другому, воспользуемся преобразованием Лежандра функ­ ции (р(х\,Х2, ■■■), дифференциал которой равен

dtp = OX1dx14- ОХ2 dx2 + ... = Х\ dx1+ Х 2dx2 + . . .

(14.20)

Преобразование Лежандра ставит в соответствие

функции

<р(х1.Ж2. •••) Другую функцию Ф(Х\,Х2, .. ■) такую, что

Ф = Р - Х i x i - X 2x2- . . .

(14.21)

Тогда

 

 

 

dФ = dtp —Х\ dx\ - х\ dX1 -

Х 2dx2 — х2dX2 —...

(14.22)

Теперь можно перейти, например, от внутренней энергии Е

к энтальпии (14.15), вводя

 

 

 

ЭЕ

.

,

(14.23)

я —.

3 =

1....... тп.

Тогда

тп

 

J ^'E j-.d y + TdS,

(14.24)

и из (14.19) и (14.15) получим

771

771

dH = d E + ^ 2 j : df£j +

 

: <*£i = T d S + '£ '& : dQ ,

 

j=i

 

j=i

 

 

J=1

(14.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

I = T .

Ц =

«

,

04.26)

 

Аналогично для перехода H —>G имеем из (14.17) и (14.25):

 

 

 

 

т

 

 

 

 

dG = dH - T d S — SdT =

j=l

: ^Ej _ s dT,

(14.27)

 

откуда

 

 

 

 

 

 

с

_

 

 

а

с

_

а

 

 

ЭТ ~

 

&Ej ~

 

(14.28)

 

 

 

 

 

Точно так же для перехода Е -* F из (14.16) и (14.24) получим

 

 

 

 

771

 

 

 

 

dF = d E - T d S - S d T

= ~ Y ^ 'B j- d iij- S d T ,

(14.29)

 

откуда

 

 

з- 1

 

 

 

 

= _

 

ÔF

 

 

 

 

a F

 

-2з.

(14.30)

 

я г

 

’

д у

 

 

 

 

 

 

Заметим, что термодинамические параметры щ и их потоки Vj

 

должны задаваться при выборе модели.

~

 

 

Для описания моделей МСС удобнее использовать плотности

 

рассматриваемых термодинамических

функций и потенциалов.

 

Чтобы выразиться точнее, запишем ещё раз формулировку пер­ вого закона термодинамики в виде (12.51)

dE + dK = 6A^e)+ 6Q

(14.31)

или в виде (12.5)

 

dE = -Ô A ® + 8Q.

(14.32)

Запишем далее формулировку второго закона термодинамики

в форме (13.39)

 

T dS = 6Q + W*dt.

(14.33)

Исключая 8Q из (13.32) и (13.33), выпишем термодинамическое тождество, обобщающее (13.43):

dE = T d S - 6A® -W *dt.

(14.34)

Выражения для dK, и известны из соотноше­ ний (7.15), (7.21), (7.17), (7.18), (12.2). Запишем в интегральной форме неизвестные ещё выражения, входящие в формулировки первого (14.31) и второго (14.33) законов термодинамики. На­ зовём плотностью внутренней энергии, е, плотностью энтро­ пии s и плотностью рассеивания w* величины, определяемые следующим образом:

Е =

W* = J w* dV.

(14.35)

 

v

 

Чтобы записать выражение для величины 6Q, рассмотрим произвольный конечный объём V тела, ограниченный поверх­ ностью Е (рис. 48). Пусть в каждой материальной точке этого объёма задана массовая плотность

тепла q, а на границе объёма на ка­ ждом элементе площади действует q(n) _ нормальная составляющая вектора потока тепла q:

qW = qiTii = q-n. (14.36) Рис. 48

Тогда приток тепла 5Q в объёме V за промежуток времени dt будет равен

5Q = —dt

+ dt

pqdV,

(14.37)

 

 

v

 

а в силу (14.36)

 

 

 

6Q = —dt q • ndT, + dt

pqdV —dt

{pq —div q) dV.

(14.38)

V

Знак минус в первом слагаемом правой части (14.37) объясняет­ ся тем, что нормаль п является внешней, а положительный по­ верхностный приток тепла должен быть направлен извне внутрь тела с объёмом V

Заметим, что размерности вновь введённых величин таковы:

[е] = Ь2Т~2,

[s] = L2T - 2e ~ l [g] = L2T -3

[q^] = MT~3.

 

 

(14.39)

Итак, из (14.33) имеем в каждой материальной точке

объёма V :

,

 

 

p T - = p q - qiyi + w*

(14.40)

Уравнение (14.40) называется уравнением притока тепла. Оче­ видно, что оно является дифференциальным следствием второго закона термодинамики.

Для большинства тел справедливы определяющие соотно­ шения, связывающие вектор теплового потока q с градиентом температуры gradT. Эти соотношения называются законом теп­ лопроводности Фурье:

q = —А • grad Т, или g* = —AÿTj,

(14.41)

где Л — положительно определённый симметричный тензор вто­ рого ранга, называемый тензором теплопроводности. Исполь­ зуя (14.41), уравнение притока тепла (14.40) можно записать

в ф орм е

 

d s

 

 

(14.42)

 

 

p T - ^ p q + i b j T j l i + w*

Первый

и

второй законы термодинамики

формулируются

в виде постулатов МСС.

 

 

 

З а к о н

с о х р а н е н и я

эн ер ги и

(IV постулат МСС).

Пусть Cl € R3

— объём,

занимаемый

телом

в актуальной

конфигурации, V — произвольный жидкий объём в Cl, а £ —

его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени

Е

или, учитывая теорему живых сил (7.20),

В самом деле, из (7.20), (7.21), (7.16)-(7.18) имеем

(14.45)

Подставляя (14.45) в (14.43), получим (14.44).

Заменим в

(14.43) поверхностный интеграл на объёмный

с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:

| ( § W • V - q W ) d Z = J ( P i • V - q ^ N i d Z =

= JЩ Р * •v -

q{) dV = J(ViPi •v + PijDij - V i q*) dV, (14.46)

V

V

и получим в каждой точке объёма V :

+ P'^Dij - Vi q*. (14.47)

Учитывая уравнения движения сплошной среды (6.58), полу­ чим дифференциальное следствие закона сохранения энергии (четвёртого постулата МСС):

p j ^ p q - V i q ' + P'W iy

(14.48)

Точно к такому же результату придём, если в (14.44) заменим поверхностный интеграл на объёмный:

JqW dV = J tfNt dS = jVi dV,

(14.49)

E

E

V

 

и применим основную лемму.

 

 

П о с т у л а т

о притоке

тепла (V постулат МСС). Пусть

П е К 3 — объём, занимаемый телом в актуальной конфигура­ ции, V — произвольный жидкий объём в П, a Е — его граница с единичной нормалью N. Тогда в любой момент времени

(14.50)

Последний интеграл в правой части (14.50) называется

производством энтропии:

(14.51)

v 4 ^ и всегда неотрицателен. Покажем это.

Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объёмный,

j Ç

, E = j v

, ( £

W

= j

( M

_ ^ W

(14.52)

S

V

4

7

v

K

'

 

и применяя основную лемму, получим дифференциальное след­ ствие пятого постулата МСС — уравнение притока тепла:

d s

(14.53)

p T jt = p q - V iq' + w*

Согласно (13.40) tu* ^ 0, а в силу (13.25) Т > 0.

Поэтому пер­

вое слагаемое подынтегрального выражения в (14.51) неотрица­ тельно. Далее, согласно закону теплопроводности Фурье (14.41) производство энтропии S* записывается в виде

S* = J ( Y + A « ^ P ^ W > 0.

(14.54)

V 4 J

Тензор Л положительно определён, т. е. S* не может принимать отрицательные значения, что и доказывает неравенство (14.51).

Модель МСС, для которой tu* = 0, называется обратимой. Из (14.51) и (14.54) видно, что производство энтропии не равно нулю и для обратимой модели, если только рассматривается необратимый процесс (теплопроводности).

Все пять постулатов МСС допускают запись в едином виде. Пусть а — некоторая скалярная либо векторная величина, т. е. тензор нулевого либо первого ранга. Тогда закон изменения этой

величины представйм в интегральной форме:

 

j t \padV = ^ PAdV + 1 В™ d£ + j CdV,

(14.55)

где A — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый

источником величины о;

— поток величины а:

 

B W

= В -JV,

(14.56)

где тензор В имеет ранг, на единицу больший, чем а; С — неко­ торый тензор того же ранга, что и а, называемый производством величины а, причём для скалярной величины а

0.

(14.57)

Дифференциальное следствие интегрального

соотноше­

ния (14.55) имеет вид

 

= рА + DivB + С.

(14.58)

Если А — B W

С — 0, то

(14.55) называется законом сохра­

нения величины J v padV

 

 

 

 

 

Для первого постулата (6.8) имеем

 

 

 

 

а = 1 ,

А =

= с = 0,

 

(14.59)

для второго постулата (6.34)

 

 

 

 

о =

гГ,

A - F,

B(N) = § W ' С = 0

(14.60)

для третьего постулата (7.2)

 

 

 

 

а = г XV,

A = f x F ,

В ^ ) = ? х S w ,

С = 0,

(14.61)

для четвёртого постулата (14.44)

 

 

 

о = е, А = pq + Ft3Dij,

fiW

= - qW ,

C = 0,

(14.62)

для пятого постулата (14.50)

 

 

 

 

а = s,

 

 

 

 

 

у2

(14.63)

 

 

 

 

 

 

 

Как уже было отмечено, в задачах МСС удобней пользо­ ваться плотностями е, s термодинамических потенциалов Е, S (14.35). Это же относится и к теплоёмкостям cv (12.20) и ср (12.21). Будем пользоваться массовыми плотностями этих вели­ чин и называть их для сокращённости просто соответствующими

теплоёмкостями:

 

Су — ^ рСуdV, Ср — ^ рСрdV.

(14.64)

В силу (12.13) из (14.64) следует другое определение величин Сц

И С р 1.

СV

с™= — ^ М0'

В самом деле, при малых, но конечных величинах V следует: cv = pCyV

(14.65)

из (14.64)

Л Е К Ц И Я 15

НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Вооружившись знанием пяти основных постулатов МСС, вновь сформулируем рассмотренные ранее основные модели сплошных сред, но уже с учётом неизотермических процессов.

Выпишем дифференциальные следствия известных постула­ тов. Из постулата о сохранении масс имеем уравнение неразрыв­ ности (6.10)

^ + pdivv = 0.

(15.1)

Следствием постулата об изменении количества движения явля­ ются уравнения движения сплошной среды (6.58)

P § = V i P ‘ + p F .

( 1 5 . 2 )

При этом согласно постулату об изменении кинетического мо­ мента тензор напряжений Коши (6.55)

P = Êi ®Pi = PijÊi ®Êj

(15.3)

оказывается симметричным.

Дифференциальным следствием первого закона термодинами­ ки (14.48) является уравнение сохранения энергии

Pl& ~ Pq~ dlVq + pijDii ’

0l5 -4)

а следствием второго закона термодинамики — уравнение прито­ ка тепла (14.58)

d s

(15.5)

pT— = pq —divq + w*

Рассмотрим вначале модель идеальной жидкости, под кото­ рой будем понимать обратимую среду (w* = 0), обладающую шаровым тензором напряжений (9.6):

рч = -pG ij.

(15.6)

Тогда изменение работы внутренних сил

, учитывая (15.1),

(15.6), можно записать в виде

 

 

6А® = —dt J

PijDij dV = ^ 8а® dV,

(15.7)

v

v

 

 

где

 

 

 

8а® = ~dtPijDi:i = dtpGijDij = dtp divv =

 

 

 

= - - d p = ppd~.

(15.8)

 

P

P

 

Для идеальной жидкости уравнения движения (15.2) называют­ ся уравнениями движения Эйлера (9.9):

^ = - p gradp + ^ '

(15-9)

Уравнение сохранения энергии (15.4) согласно (15.7), (15.8) при­ мет вид

ръ = п ~ Аw* + p %

(1 5 |0 )

а уравнение притока тепла (15.5) для произвольной обратимой среды будет следующим:

ds

(15.11)

pT-^ = pq-divq.

Для совершенного газа имеется определяющее соотношение (уравнение состояния) (12.9). Согласно (12.25) и (14.35) внут­

ренняя энергия Е и её плотность е приобретают вид

 

Е = cvT + const,

ре — рСуТ + const.

(15.12)

Подставляя (15.12) в уравнение (15.10), получим

 

dT

..

_

р dp

. . . ...

= «

- 4

, , +

; Ï '

(16-13)

В случае несжимаемости (dpfdt = 0), учитывая закон теплопро­ водности Фурье (14.41) для изотропной среды

Aij = A5ijt ç%= —ЛГ,-,

(15.14)

получим из (15.13) уравнение теплопроводности

 

PCv-~j£ — PQ + ЛДТ,

(15.15)

которое с учётом (15.11) можно записать в виде

 

ds

p T jt =pq + AAT.

Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой

среды даёт связь

ds dT

(15.17)

откуда находим выражение плотности энтропии для несжимае­

мой идеальной жидкости:

 

s — с%)\йТ + const.

(15.18)

Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внут­ ренняя энергия Е и её плотность зависят от двух параметров

состояния:

. .

 

(15.19)

E = E(S,V),

e = e(s,p).

Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем

 

de = T ds + Д dp,

 

(15.20)

откуда имеем

Рг

 

 

 

 

 

«А =г

(д е \

Р

(15.21)

 

\ др )з

Р2'

 

Таким образом, замкнутую систему уравнений для совер­ шенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состоя­ ния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение при­ тока тепла (15.11) (или (15.16)), т.е. всего семь уравнений

относительно семи неизвестных: v, р, р, s, Т.

 

Для совершенного газа известно выражение

для энтро­

пии (13.50):

 

S = cv In (TV7" 1) + const.

(15.22)

Полагая термодинамические параметры для некоторого состоя­ ния фиксированными: SQ, Т о , VQ, запишем (15.22) в виде

S - S 0 = In

 

 

(15.23)

или, для плотности энтропии:

 

 

 

S-SQ = In

 

 

(15.24)

Cv

 

 

 

Тогда из (15.24) можно выразить температуру:

 

7 -1

 

 

 

Т = Тп\ — \

ехр

-

(15.25)

 

- т

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности