книги / Основы механики сплошной среды
..pdfг) Левый тензор Альманси М
М = F~T ■F~l = ëi ® Ë i Êj ® ëj = Gijëi ® ëj. |
(4.25) |
Ясно, что тензоры F, С, B> А, М могут служить мерами деформации. Из определений (5.18)—(5.21) легко заключить, что Q и М взаимообратны, так же как и В и А'-
Ç -M = M -Ç = I, |
В -А = А -В = 1. |
(4.26) |
|||
Умножив обе |
части |
равенства (4.1) |
на ёг® ё3 либо на |
||
Е1 ® Е3, с учётом |
(4.22), |
(4.24) |
получим |
выражения |
тензоров |
деформации (4.11), |
(4.12) в виде |
|
|
|
|
2 = j(C - X ). |
â=i(X-4)- |
(4.27) |
|||
Пользуясь введёнными обозначениями, тензоры деформации Лагранжа и Эйлера (4.27) можно выразить через тензоры дисторсии следующим образом:
7 = |
^ ( w + {VÛ)T + W • (W )2^ , |
(4.28) |
a = |
i ( v u + (V«)T - Vu ■(Vu)r>) . |
(4.29) |
Докажем далее важную в теории деформаций теорему о полярном разложении тензора второго ранга. Ниже в её дока зательстве под F и С подразумеваются тензоры, не обязательно
совпадающие с (4.15) и (4.22). |
Произвольный |
|
Т е о р е м а о |
п ол ярн ом р а з л о ж е н и и . |
|
тензор второго |
ранга F можно однозначно |
представить |
в виде О |
E = Q U = Y Q , |
(4.30) |
|
||
где Q — ортогональный тензор, m .e.Q T = Q~l, a U и V — симметричные положительно определённые тензоры второго ранга, имеющие одинаковые собственные значения.
Для доказательства образуем симметричный тензор Q = = F ■FT (QT = (F ■ET)T= {ET)T • ET — G)• С помощью преоб разования E Для каждого ненулевого вектора а построим вектор Ъ: b — а ■Е = ЕТ• 2- Тогда а ■Q ■а = а • F ЕТ• а = Ъ• b = |612 > > 0, т. е. тензор С положительно определён.
') Здесь F не обязательно градиент деформации (4.15).
Из его симметрии и положительной определённости следует, что в некоторой системе координат его компоненты образуют диагональную матрицу. Обозначим собственные значения этой матрицы через Л|, A3. Тогда в этой же системе координат некоторый тензор V имеет компонентами диагональную матрицу с элементами Ai > О, А2 > 0 и A3 > О, так что
|
|
C = Y |
V. |
|
|
|
(4.31) |
Итак, |
° |
\ |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
/ А . |
0 |
|||||
А§ |
° |
, г а |
= |
о |
а 2 |
(4.32) |
|
0 |
4 |
|
V |
0 |
0 |
Аз |
|
Докажем, что тензор V — искомый тензор представле ния (4.30). Действительно из (4.32) следует, что он симметричен и положительно определён. Осталось показать, что тензор
g = Vf-1 Е |
(4.33) |
является ортогональным, т. е. его компоненты в каждой системе координат суть ортогональные матрицы. В самом деле,
Q- QT = (Y~l |
F) - (FT Y~T) = Y ~ ' - Q |
Y~T = |
|
= Y ~ l |
Y Y Y~T = l l = L |
так как Y~T = |
(И-1)Т = Y~l- |
|
Построим симметричный положительно определённый тен |
||
зор U: |
U = QT Y Q, |
(4.34) |
|
||
с помощью симметричного, положительно определённого тензо ра Y- Очевидно, что из определения (4.34) следует (4.30). Таким образом, представление (4.30) доказано.
Для доказательства единственности этого разложения заме тим, что из вида [С] (4.32) следует много других тензоров Y> например,
/-Ai |
0 |
0 \ |
|
[Y] = |
о |
-Л 2 |
о |
V |
0 |
0 |
- A 3 / |
Но все такие тензоры, в отличие от [V] (4.32), не будут положи тельно определёнными.
Покажем, что тензоры Y нЦ имеют одинаковые собственные значения. Пусть А — одно из собственных значений Y и ему
соответствует собственный вектор к, т. е. V • к = Xk, а |
I = к • Q, |
или к = I QT = Q -I. Тогда |
|
Y Q ) t= Q T (Y■(Q• Г ) ) QT= (xg-T) = xi |
|
Если в качестве Е выбрать градиент деформации (4.15), то |
|
тензором С будет правый тензор Коши-Грина (4.22), |
a Q, Y |
и U будут называться тензором вращения, левым и правым |
|
тензорами растяжения соответственно. Кроме того, |
|
b = a -F = aj ëj ■ëi ®Èi = аЧ)Ё{ = aj Êjt |
(4.35) |
T. e. y векторов о и b, использовавшихся в доказательстве теоре мы, одинаковые компоненты в базисах е* и Д .
Так как Q = Y~ X• F, то согласно (4.34)
U = FT Y~T Y И-1 |
Е = Ет Y~x- Е = |
= Êi ®ëi - ( v - ') klëk ® ëi ■ëj ®Êj = |
|
= |
® Ëj = (V~l)ijËi <g>Ëj. (4.36) |
Таким образом, базисом левого тензора растяжения Y являет ся диада отсчётной конфигурации, а правого тензора растяже ния U — диада актуальной конфигурации:
Y = Vijë1 |
U = UijËi ® Ëj. |
(4.37) |
|
В самом деле, по определению (4.31) |
|
|
|
V2 = Е - Е Т = ëi ®Ëi - É j ® Ë j = Gijë1® ej , |
(4.38) |
||
U2 = ET E = Ê i® ë i -ëj ®Ëj =g ijËi ®Ëj . |
(4.39) |
||
Кроме того, из (4.33) легко видеть, что |
|
|
|
Q = (U~l)цё* ® Ё^ —(V-1 |
® Ë j. |
(4.40) |
|
где (V-1)1^ и (f/~')y — компоненты тензоров Y~l и U~X> обратных тензорам Y и U соответственно:
V -' = ly - 'Y ’ëitdëj, ГГ' = |
(4.41) |
Пусть задан закон движения сплошной среды:
f = Q - r 0 + c(t), |
(4.42) |
где Q — ортогональный тензор. Движение (4.42) называется жёстким. Найдём для него тензоры деформации Лагранжа, Эйлера и все определённые ранее меры деформации.
Дифференцируя (4.42) по |
получим |
Êi = Q li, F=re(g |
ëi) =ëieêi-g7’ =X gT = gT |
(4.43)
Из соотношений (4.22)-(4.27), (4.43) и ортогональности Q сле дуют выражения для всех мер деформаций
с = д Т - (дТ)г = 1 , |
4 = ( § Т ' q - ' = i |
|
|
М = С~х = I, |
В = Л -1 = 1 |
(4.44) |
|
V û - Q T - I, Vu = I - Q , V = U = I |
|
||
и тензоров деформации Лагранжа и Эйлера |
|
||
2 = 5 ( С - Д = о. |
*> = 5 « - 4 ) = й |
(4.45) |
|
Результат (4.45) следует и из (4.28), (4.29). Например: |
|
||
22 = (e T - û + ( s - û + ( g T - a - ( s - i ) = |
|
||
= gT +g-2X +X - g T - g +X = fl- |
(4.46) |
||
Итак, деформация при жёстком движении отсутствует. |
|||
Если градиент деформации |
F таков, что в его разложе |
||
нии (4.30) ортогональный тензор Q является единичным: Q = I, |
|||
то |
|
|
~ |
E = U = Y, |
(4.47) |
||
т. е. тензор F симметричен. Обратно, если тензор £ симмет ричен, то Q — L В этом случае в приложениях вводится так называемый тензор Генки Н:
Н — \nV= In (7. |
(4.48) |
Обратимся теперь к инвариантам симметричных тензоров второго ранга. По теореме Гамильтона-Кели у таких тензоров А = A^ëi ® ëj = Aijë1 ® ëi существует три независимых инвари анта, например, линейный tr А — след А , квадратичный tr 4 2 —
след 4 |
* 4 |
и кубический det 4 : |
|
|
|
|
|
|
||
t r 4 |
= |
= < 7 ^ |
= Д |
det4 |
= |
\ A % |
_ |
\Ajj I, |
/л ins |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(4.49) |
|
|
tr 4 2 = |
tr (4?4?е* ® efc) = |
4 | 4}. |
|
|
|
|||
Из |
(4.49) имеем |
инварианты |
правого тензора |
Коши—Грина |
||||||
ç = Giûë i ®ëi-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
trC = Gijgv, |
trÇ 2 - GikGjigijgkl, |
detG = | - |
(4.50) |
|||||||
Кроме того, из (4.22) следует, что |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
det F = det У = det ^ |
= |
Ж . |
|
|
(4.51) |
|||
Обозначим собственные значения Ç, как и в (4.32), через А?, А| |
||||||||||
и А2, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
trC |
= A? + Ai + A|, |
tr£ s = Л) + Aj + Л;, |
det Ç = А?А|Л^. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.52) |
Очевидно, что любая функция инвариантов (4.52) также будет |
||||||||||
инвариантом тензора Q, например: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 [(tf QŸ —tr С2] = |
А2А| + А|А| + А2А2, |
(4.53) |
||||||
| [ - (tr С)3 + 3 tr CirÇ2+ 6 det С] = |
Af + Af + Af = tr G3. |
|||||||||
Применим к вектору скорости v = vlë{ = V*Êi оператор наб- |
||||||||||
ла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = Vv = & ® V,v = Ê' e Ц |
= & ® (jg, |
= |
|
|||||||
- |
* |
® |
( |
s |
£ |
) ( 4 5- 4 ) * |
Найдём разложение тензора L, называемого градиентом скорос |
||||||
ти, по диадному базису Е1® Е |
|
|
|
|
||
L = |
ViV jêi |
|
= % £ * |
<g>Ëj . |
|
(4.55) |
Заметим далее, что |
|
|
|
|
|
|
E -L = ë i ®Êi Ê> ®Êj = ëi ®Ê-i = (ëi ®Êiy = F |
(4.56) |
|||||
в силу равенства нулю векторов (е1)' в отсчётной конфигура ции. Соотношение (4.56) говорит о том, что дифференцирование
по времени градиента деформации равносильно умножению его справа на градиент скорости.
Как и любой тензор второго ранга, тензор L может быть представлен в виде суммы симметричной и антисимметричной частей:
b = D + R, D = ^(L + LT), R = ^ { L - L T), |
(4.57) |
где |
|
LT = Ê\ ® Êl = V ^Ê 1 ® Êj |
(4.58) |
— транспонирование тензора L, a |
|
D = Dij Êi ®Êi, R = RijE1 ® Êj |
(4.59) |
называются соответственно тензором скоростей деформаций и спин-тензором. О компонентах Vj,i, Vÿ и u/ÿ тензоров L, D и g
—#
в прямоугольной декартовой системе координат с базисом к{ уже шла речь в лекции 2.
Антисимметричному |
тензору g |
естественным образом ста |
|
вится в соответствие вектор вихря ш |
|
||
Я = JJQ tiikRi A |
= |
Vj V jâ = |r o t v, |
(4.60) |
введённый в (2.29). Умножая скалярно все части равенства (4.60) на Еп, а затем на y/GenimEl ® Ет, выразим g через й:
g = s/GenimujnEl ® Ёт, Rij = VG eijku)k |
(4.61) |
Проверим, является ли тензор скоростей деформаций D пол ной производной по времени от тензора Лагранжа 7 или тен зора Эйлера э. Производная по времени от компонент тензора деформации даёт компоненты тензора скоростей деформации. Действительно, продифференцируем по времени обе части (4.1) и получим
£ij ~ 2^'ÿ = 2 ^ * |
^ |
Ei |
Ej) = |
|
= î |
{ |
w |
= |
+ |
+ Д ■% # ) = l(V № + Ущ) = Dij, (4.62)
fi = ец Е 1® Èj . |
(4.63) |
Однако тензор D не является полной производной по времени ни от тензора Лагранжа, ни от тензора Эйлера. В самом деле, из определений (4.11), (4.12) имеем
|
7' = eÿe1 ® eJ, |
|
|
à = e'ijE1® Е3 + |
~ |
. . . . |
(4.64) |
® J3»)‘ = fi + |
<8>& )' |
|
Рассмотрим теперь, как изменится скорость щ некоторой частицы в бесконечно близком от неё окружении. Выберем неко торую точку в таком окружении и разложим вектор скорости v в ней в ряд:
9 m9> + w |
^ + 1t w |
k |
^ |
+ |
(4-6S) |
Благодаря (4.54) разложение (4.65) |
можно |
представить |
в виде |
||
v = гГ0 + d f • Vv + i^dr- |
® V ® f j |
■d f + |
= |
|
|
= vo + df- L + i d f ■(V |
® |
• df+ ... |
(4.66) |
||
|
|
|
|
|
. —#- |
В силу предполагаемой малости длины вектора d f = d£xEi со храним в правой части (4.66) только два первых слагаемых и воспользуемся соотношением (4.57):
v = г?о + d f - h = {TQ + d f ■fi + d f - R. |
(4-67) |
Введём квадратичную форму Ф относительно компонент век-
тора d f: |
|
Ф = l i f - D - d f = |
'-DiidCde |
Очевидно, что |
|
дФ |
|
э д а Е г ~ |
в dr - |
Соотношение (4.69) можно записать в виде grad Ф = fi • df.
Тогда из (4.67) имеем
(4.68)
(4.69)
(4.70)
v = щ + grad Ф + d f - R. |
(4.71) |
Используя (4.61), получим |
|
dr &=y/G(dÇlÊi) ■(eijkи)к& ® Êi) = |
|
= VG eijk iVdÇÊ* = û x dr. |
(4.72) |
Подставляя (4.72) в (4.71), находим, что |
|
v = щ + ш х df+ grad Ф. |
(4.73) |
Формула (4.73) носит название теоремы Коши-Гельмгольца. Она представляет собой обобщение формулы Эйлера для выра
жения скорости абсолютно твёрдого тела на сплошную |
среду, |
в которой происходит деформирование. Заметим, что |
форму |
ла (4.73) отличается от формулы Эйлера не только наличием градиента функции Ф (4.68), но и тем, что она справедлива толь ко в бесконечно малой окрестности точки, имеющей скорость щ.
Л Е К Ц И Я 5
МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Деформации называются малыми, если перемещения малы: |й| С I, где I — диаметр рассматриваемого тела, и все компонен ты тензора дисторсии по модулю много меньше единицы:
|Vu| <С 1. |
(5.1) |
Согласно (4.20) и (4.17) в этом случае имеем
Vu = / - ( ! + V u ) " 1=
= I - ( / - Vu + (V u)2 - |
) « Vu, (5.2) |
о
так как слагаемые порядка (VÜ)n, п ^ 2, в (5.2) имеют в си-
О
лу (5.1) более высокий порядок малости, чем Vu. Таким об разом, тензоры дисторсии недеформированного и деформирован ного состояний совпадают:
<g>ej я Uj\i& О Ш. |
(5.3) |
Поэтому разница между лагранжевым и эйлеровым описанием (лагранжевыми и эйлеровыми координатами) в случае малых деформаций исчезает. Тензоры Лагранжа и Эйлера (4.11), (4.12) в этом случае совпадают:
7 = &= £ = еу-е1i 0 е> = | (Vu + (Vuf ) . |
(5.4) |
Компоненты £ÿ тензора малых деформаций £ выражаются че рез перемещения следующим образом:
Sij = |
+ Uj,i) = u(ij). |
(5.5) |
Соотношения (5.5) называются соотношениями Коши. Вычислим для рассматриваемого случая другие меры дефор
маций, введённые в прошлой лекции. Согласно определениям (4.22)-(4.25) имеем
Q = F £ T = (J + Vu)-(Z + Vu)T «
« X + Viï+(VÜ)T = X - Ь2£, (5.6)
В = FT • F = (L + Vu)r • (Z + Vu) « |
|
|
|
« X + ( V Ü ) T + V Ü = J + 2Ê, |
(5.7) |
4 = F " 1 F~T = ( I - V i ï ) - ( l - Vu)T « |
|
|
|
æ Z ~ Vu - (Vu)T = Z - 2e, |
(5.8) |
M — F~T F -1 = (Z - |
Vu)T • (Z - Vu) » |
|
|
« Z - ( V u ) T - Vit = Z - 2 e . |
(5.9) |
|
O |
|
Разложим тензор дисторсии Vu на симметричную и анти |
||
симметричную части: |
0 |
|
|
VU = £ + Q, |
(5.10) |
так что симметричный тензор деформаций е связан с и соотно шениями (5.4), а антисимметричный тензор поворотов Q и его компоненты имеют вид
Q = 2 (VS “ (W )T) ' |
= 2^** “ 4 |
J ) = |
(5-11) |
С тензором поворотов естественным образом свяжем |
вектор |
||
—* |
|
|
|
поворотов fl: |
|
|
|
Û = -j= e ^kü i:jÊk = |
- ^ e ^ V iU jF fc |
= rot fl, |
(5.12) |
и аналогично (4.60), (4.61) найдём |
|
|
|
Q = 2\fGenlmnnÊl ® Êm. |
(5.13) |
||
Выражения для левого и правого тензоров растяжения и тензора вращения примут вид
Y. = С 1/2 = л /1 + 2 1 « 1 + е, |
(5.14) |
Q = V~l •E=(l-e)-(l + Z + Q)~l+Q, |
(5.15) |
U = Q~l F = ( Z - 0 ) - ( Z + £ + 0 ) « Z + £ . |
(5.16) |
Выясним геометрический смысл компонент ец тензора ма лых деформаций. Рассмотрим для простоты в недеформированном состоянии ортонормированный базис к{, так что gij — 5{j
и g = 1. Выберем в этом состоянии материальное волокно d r ^
в направлении оси с |
номером а |
(координатное |
волокно): |
d f ^ |
= dxakat |
dxa > 0. |
(5.17) |
Если локальным базисом деформированного состояния является базис Е{, то это же координатное волокно описывается теперь