книги / Основы механики сплошной среды
..pdfвводится так называемый вектор электрической индукции б :
б = Ê + 4vP = х ё , |
(18.38) |
Р = |
(18.39) |
где х — диэлектрическая проницаемость среды.
Если среда электрически анизотропна, то определяющие со отношения (18.38) следует записать в более общем виде
D = x Ê , |
(18.40) |
где х — симметричный тензор диэлектрической |
проницае |
мости. Тогда вместо (18.39) получаем |
|
P = ± ( S - l ) Ë . |
(18.41) |
В вакууме электрическое поле изотропно (Р = 0) и, следователь но, х — 1.
С помощью понятия поляризации (непосредственно нена блюдаемой) объясняются изменения электрического поля, воз никающие при внесении незаряженного диэлектрика в данное электрическое поле.
Проводник электричества — это тело, для которого в ста тических условиях потенциал у? постоянен, т. е. Ê = 0, ре = 0. Проводники могут нести только поверхностные заряды, следова тельно, статически ведут себя как тела с бесконечно большой диэлектрической проницаемостью х. Поляризационные заряды на проводниках называются индуцированными зарядами. Их можно считать истинными зарядами.
Итак, задача электростатики заключается в отыскании
векторных полей Ê и б |
при заданных по форме и положению |
|
в пространстве проводниках и изоляторах. При этом |
|
|
div б = 4тгре, |
б = хЕ, rot Ê — 0. |
(18.42) |
Как полную аналогию электростатики построим теперь магнитостатику. Для этого вместо электрического заряда е введём магнитный заряд те, т. е. везде сделаем замену е —* те. Вместо векторов электрической напряжённости É, поляриза ции Р и электрической индукции б введём в рассмотрение
векторы магнитной напряжённости Н, намагниченности М
и магнитной индукции В соответственно, т. е. È —>H, Р —►М,
D В.
Вместо диэлектрической проницаемости х (тензора диэлек трической проницаемости х) будем рассматривать магнитную проницаемость р (тензор магнитной проницаемости р), т. е. м —►р, х —>р.
Однако следует сразу отметить несколько различий между величинами магнитостатики и аналогичными им величинами электростатики.
1) Не существует никакой истинной плотности магнитных за рядов. Поэтому уравнения магнитостатики, в отличие от (18.42), приобретут вид
divВ = 0, ê = pH (В = р- H), rot Й = 0, |
(18.43) |
причём |
|
В = Й + 4-пМ. |
(18.44) |
2) Для некоторых веществ, например ферромагнетиков, маг нитная проницаемость р не является постоянной величиной и может сложным образом зависеть от магнитной индукции Я (случай гистерезиса). Поэтому намагниченность М может быть отличной от нуля и в отсутствие магнитной напряжённости Я . Это происходит, например, в постоянных магнитах.
3)Не существует никаких проводников магнетизма, а также магнитных аналогий диэлектриков и изоляторов. Однако неко торые вещества в силу своей большой магнитной проницаемо сти ведут себя как магнитные проводники (например, мягкое железо).
4)Поле магнитной индукции В, как следует из (18.43), соленоидально, что говорит о существовании векторного потен
циала Ф:
В = rot Ф |
(18.45) |
Из теоремы Гельмгольца следует, что
^ |
1 rrot ë g ) |
(18.46) |
|
|
4тг J |
г |
|
|
s |
||
v
или, согласно (18.43) и (18.44),
(18.47)
Для магнитного поля не существует других зарядов, кроме свободных, и
me = - ^ \ d W H d V = ± { |
div (В - |
4тгМ) dV = |
|
V |
V |
— Jdiv M d V = - ^ M - n d Z . (18.48) |
|
|
= |
||
|
|
V |
2 |
Соотношением (18.48) формально вводится магнитный заряд. Заметим, что взаимодействие электрического и магнитного полей в статике отсутствует. Действительно, величины, входя щие в группы соотношений (18.42), (18.38), с одной стороны, и (18.43), (18.44) — с другой, взаимно “не пересекаются” Отли чие математической структуры этих групп соотношений состоит лишь в том, что плотность магнитных зарядов положена рав
ной нулю.
Уже говорилось о том, что в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в тонком поверхностном слое. Если в какой-либо точке внутри проводника напряжённость электрического поля Ё отлична от нуля, то в про воднике возникает электрический ток, т. е. движение зарядов. При этом силой тока I называется количество электричества, протекающее через сечение проводника в единицу времени:
де
(18.49)
dt
V
Если за любые равные промежутки времени через поперечные сечения проводника проходят одинаковые заряды, ток называет ся постоянным (по величине и направлению) и обозначается IQ.
Согласно закону сохранения заряда (18.19)
J div (pev ) dV = |
—I pev • ndT.. |
(18.50) |
v |
2 |
|
С силой тока I тесно связан вектор плотности силы тока j,
но определяется он различными способами в зависимости от
причины, вызывающей ток. |
|
|
1) |
Ток называют конвективным в случае переноса заряда |
|
плотности ре со скоростью v. Тогда |
|
|
|
J = - р Д |
(18.51) |
и из (18.50) имеем
I = J j n d E . |
(18.52) |
2
2)Ток проводимости возникает в случае движения заряда
впроводнике под силовым воздействием электрического поля Е. Тогда плотность тока определяется так называемым дифферен циальным законом Ома
3 = а Ё , |
(18.53) |
где коэффициент а называется проводимостью среды.
3) Из-за изменения со временем векторного поля магнитной индукции D возникает так называемый ток смещения с плот ностью
■»_ J _dD
^4тг dt
Тогда, пользуясь первым из соотношений электростатики (18.42), запишем
J _ d D |
a |
( Ê . |
дре |
(18.55) |
|
divj = div |
dt |
dt |
|||
47г |
dt |
1 4л |
|
||
Полный ток j складывается из составляющих, рассмотренных в (18.51), (18.53), (18.54), причём ток проводимости может быть одновременно и конвективным.
Если ток стационарен, то
d’V^ = l W = ° ’ |
0 = \j\= J -п = j n, |
(18.56) |
|
a длина j вектора j |
постоянна. Тогда из (18.56) следует |
|
|
I |
= p - n d E = ï j d E = j E , |
(18.57) |
|
22
т.е. вдоль проводника I является постоянной величиной. Отсюда
Jn = \1\ - |
(18.58) |
Предположим, что некоторый тонкий криволинейный про водник длины I с поперечным сечением Е соединяет две точ-
ки I и 2 сплошной |
среды (рис. |
54). |
Зна |
f i |
||
чения электрического |
потенциала |
f |
в |
этих |
|
|
точках обозначим ip\ и f%. В силу опреде |
|
|||||
ления f (18.22), |
а также равенства |
(18.52) |
|
|||
можно записать |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
Ч>\ -<Р2 = Е* dtxi — Е *ds
(18.59) В цепочке (18.59) использовано скалярное
следствие дифференциального закона Ома (18.53) j = aË-ds. Поэтому (18.59) часто называют интегральным законом Ома или просто законом Ома:
£ = IR, |
(18.60) |
где R = 1/(£<т) — сопротивление проводника, £ = —( f 2 —f\) —
так называемая электродвижущая сила.
Сформулируем далее закон Ампера, согласно которому сила тока I в замкнутом проводнике L пропорциональна циркуля ции Г магнитной напряжённости Я:
Г = ~ J , T = ^S - ds , |
(18.61) |
L
где с = 3 • 108 м/с — скорость света. Проводник L фактически является вихревой линией вектора магнитной напряжённости.
Обозначим хо\Н = ф и воспользуемся формулой (18.13), выве-
—*
денной в начале лекции, для выражения Я через ф:
X |
dVç, г£ = г - £ , |
rç = |f{ |. |
(18.62) |
|
3 |
||||
V |
|
|
|
|
Так как фdV = фdEds = фd£ ds и J фd£ = Г, то |
||||
|
Е |
|
|
|
|
Г |
Г ds х Л |
(18.63) |
|
|
47ГJ |
г | |
||
|
‘ |
|||
|
|
L |
ç |
|
Соотношение (18.63), связывающее Я и Г, называется законом Био-Савара.
Подставляя в (18.63) закон Ампера (18.61) получим формулу Эрстеда
|
XT |
" J' d sxrç |
|
|
|||
|
1 А, |
|
|
|
(18.64) |
||
|
# = |
—ф |
J - |
’ |
|
||
|
|
с |
|
|
|
||
или, в приращениях,. |
|
|
d sx fç |
|
|
||
|
<Ш = dl |
|
(18.65) |
||||
Согласно (18.52) |
заменим |
в |
(18.65) |
dl на j-ndT , |
и, далее: |
||
dl ds = j ■п dV, |
dl ds — j dV, |
|
|
|
|
|
|
dH = -3ï f d v . |
я |
= |
1 f J x |
dVf . |
(18.66) |
||
П |
|
||||||
|
сгй |
|
|
c J |
4ç |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
Применим теперь к обеим частям второго равенства (18.66) оператор rot по переменным Xi и преобразуем полученное под интегралом двойное векторное произведение по известной фор муле векторного анализа *)
V X ( J x ^ â ) |
grad- ) + grad- ( v J ) = |
|
= - J A -r = 4 T T j S ( r - I ) . |
Следовательно,
4.ТГ
-7Г
rot H = ip = — c
-> |
-» |
zL/7rO |
(18.67) |
jô (r-O d V ç = ^ - . |
|||
|
|
C |
|
l) Заметим, что в этой формуле двойного векторного произведения
V х (о х b) = b• Grad a —a -Grad bучтено, что оператор V применяется только к радиусу-вектору г.
|
|
|
Л Е К Ц И Я |
19 |
|
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА |
|||
Из предыдущей лекции ясно, что |
по заданному полю ф = |
|||
= r o t # |
(18.67) |
можно восстановить |
поле магнитной напря |
|
жённости Н : |
|
|
|
|
|
H = rot Ф, |
1 ’ |
(19.1) |
|
|
4тг |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
причём |
вектор |
Ф соленоидален, т. е. div Ф = 0. Однако если |
||
наряду с полем тока j имеется ещё поле постоянных магнитов
Ф = ’ rot Л?■dV, |
(19.2) |
—*
то соленоидальное поле Ф может быть представлено в виде
|
|
<■«> |
откуда следует, что |
|
|
—АФ = rot rot Ф = 4д ^ + rot MJ = |
|
|
= |
rot (Я + 47гМ) = rot В, |
(19.4) |
или |
|
|
rot Ф = В, |
div В = 0. |
(19.5) |
Напомним, что выражение потенциала (19.3) указывает на то, что вектор с rot М можно интерпретировать как плотность неко торого тока.
Итак, основные уравнения электромагнетизма записываются
в виде |
|
divB = 0, В = цН, r o t B = ^ |
(19.6) |
С |
|
Физическая размерность величин, описывающих электромагнит ные явления, так же как и механических величин, выражается
вклассе систем единиц измерения {MLT}. Подробнее на этом остановимся чуть ниже.
Связанность электрических и магнитных полей проявляется
вдинамике законом индукции Фарадея:
LÉ |
(19.7) |
СЕ
По теореме Стокса из (19.7) следует
TotÊ -fîdE —
ЕЕ
f ( r o t E ) n c E . |
(19 .8 ) |
Е
Суммируя упомянутые законы электромагнитостатики и электромагнитодинамики, придём к знаменитым уравнениям Максвелла [24,56]
(19.9)
div.D = 47гре,
div В = 0.
При этом должны учитываться определяющие соотношения
D = Ê + AitP = |
JCP, |
(19.10) |
||
—* |
—* |
—» |
—* |
(19.11) |
B = |
H + AnM = pM, |
|||
|
3 = crË. |
|
(19.12) |
|
Система уравнений (19.9)—(19.12) состоит из восьми урав |
||||
нений (19.9) и девяти соотношений |
( 19.10)—(19.12), |
т. е. всего |
||
из 17 уравнений. Эта система содержит 16 неизвестных вели чин: Е, Я , В, D, з и ре-
Однако последнее из уравнений (19.9) не является незави симым. В самом деле, применяя к первому из уравнений (19.9)
оператор div, получим |
|
|
|
л- ( |
1 0 Я \ |
л |
1 д , |
dlv( “ |
â j |
= 0 ’ |
или ï â ï (divS) = 0' |
При t = to положим div В = 0 (начальные условия), тогда послед нее уравнение (19.9) имеет место при любом t > £Q-
Применяя далее ко второму из уравнений (19.9) оператор div,
получим |
1 д ,, |
|
4я- |
|
|
— d'vj + |
(dlvZ?) = °, |
|
ИЛИ |
|
|
T ( divJ+^ ) = 0 ' |
<1913) |
|
т. е. уже известное уравнение, которое является следствием за кона сохранения заряда.
Рассмотрим теперь силы, действующие на заряды в электромагнитодинамике. Из (18.20) и закона Кулона (18.25) при непрерывном распределении заряда с плотностью ре следует
F = peÊ. |
(19.14) |
Элемент проводника, по которому протекает ток плотности J, испытывает в магнитном поле Я так называемую пондеромоторную силу
F = - J x H . |
(19.15) |
С |
|
Сумма сил (19.14) и (19.15) называется лоренцевой силой: |
|
F = peE + - j x H . |
(19.16) |
с |
|
Умножим скалярно первое из уравнений (19.9) на Я, а второе на Е, после чего вычтем одно из другого:
Я T o tÊ -Ë -ro tH = - - ( |
^ r -H + ^ - - Ê + 4тгу-Я |
|
с \ |
at |
at |
(19.17) Левую часть выражения (19.17) можно записать, применив свойство смешанного произведения векторов, в форме
Я • (V х Я) - Я (V х Я ) = tijkHidjEk - tijkEidjHk. (19.18)
С другой стороны, воспользуемся записью смешанного произве дения V • (Я х Я):
V (Я х Я ) = €ijkdi(EjHk) = eijkHkdiEj +
eijkEjdiHk = djkHidjEk CijkEidjHk. (19.19)
Из сравнения (19.18) и (19.19) заключаем, что
d i v ( £ x t f ) = - f f - r o t £ - £ r o t # . |
(19.20) |
Введём теперь так называемый вектор Пойнтинга S:
S = |
х Н, |
(19.21) |
так что
^4 тг
|
|
div (Е х H) = — divS. |
(19.22) |
||
Используя определяющие соотношения (19.10) и (19.11), пре |
|||||
образуем первые два слагаемых в правой части (19.17): |
|
||||
д в |
dD |
Ё = цЙ' |
H + x È |
Ê = U p\H \2 + x\Ê\2y |
|
dt |
H + ^ r |
||||
dt |
|
|
£â |
(19.23) |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая (19.20), (19.22) и (19.23), из (19.17) получим |
|
||||
|
div5 + |
-^(р\Н \2 + x\Ê\2] + j- Ê = 0, |
(19.24) |
||
или, после интегрирования по объёму V : |
|
||||
1 d |
(p\H\2 + x\Ê\2)dV = - J i ? n d E - J j ÊdV. |
(19.25) |
|||
87Г dt |
|||||
Обратим внимание на |
единую |
запись постулатов |
меха |
||
ники сплошной среды в интегральной форме (14.55) и их дифференциальные следствия (14.58). Сравнивая (14.55)
с(19.25) и (14.58) с (19.24), заключаем, что уравнения (19.25)
и(19.24) имеют форму законов сохранения энергии примени тельно к электромагнитной энергии Т :
Г = ± (р\Н \* + х\Ё\*). |
(19.26) |
Величину Т обычно называют потоком вектора Пойнтинга.
Как видно из указанного выше сравнения, источники в (19.24) и (19.25) отсутствуют, а производство j Е называют джоулевым теплом:
J2 = |
/2 |
= J2 г |
P R |
(19.27) |
w* = j |
aZ2 |
Zl aZ |
У 1 |
|
<7 |
|
где l — длина проводника, Z — площадь его сечения, a R — сопротивление.