книги / Основы механики сплошной среды

Рассмотрим линейное упругое тело [1, 22, 28, 33,43, 54, 57, 58], т. е. среду, в которой тензоры о и £ связаны линейной, вообще говоря, анизотропной тензор-функцией. Общий вид та­ кой функции следующий:

Шесть независимых соотношений (10.3) носят название закона Гука для анизотропного упругого тела [25], а тензор четвёртого ранга С = Cijkiki ® kj ® /с* ® называется тензором модулей упругости. В силу симметрии <ту = ац он, очевидно, симметри­ чен по первым двум индексам, а в силу симметрии £ÿ = ец — по последним двум.

Пусть тензор-функция (10.3) является потенциальной, т. е.

Подставим выражение (10.4) в (10.5. Тогда имеем

деtj

& ТТ1П — 2 Cijkl ^ dSmn dSvnn Ekl'j =

77X71

где Д = Aijkiki ® kj <2>kk ® k[ — единичный тензор четвёртого ранга с компонентами

Легко проверить, что

для любого тензора второго ранга & Из определения (10.6) кроме того следует, что для любого симметричного по первым и пос­ ледним двум индексам тензора четвёртого ранга А справедливы

Разобьём тензоры деформаций и напряжений на шаровые части и девиаторы (см. (5.25)):

Умножая обе части (10.19) на 5у, получим связь шаровых частей:

где постоянная К — модуль объёмного растяжения-сжатия.

Умножая далее обе части равенства (10.21) на Æy и вычитая из (10.19), получим связь девиаторов g и е:

Постоянную Ламе р называют также модулем сдвига. Подставляя в (10.20) выражения в из (10.21) и еу из (10.22),

получим

= ш { у + h Sii= h ( " з л т ^ ; a k i+ "«)• (10-23)

Введём вместо Л и р так называемые технические постоян­ ные: Е — модуль Юнга H I / — коэффициент Пуассона, из соотношений

В конце этой лекции будет выявлен механический смысл упругих постоянных Е и и. Пока же отметим, что для встречающихся в природе изотропных упругих сред коэффициент Пуассона ме­ няется в интервале от 0 до 1/2.

Подставим (10.24) в (10.23) и после преобразований придём к обратному закону Гука для изотропного материала:

Eij = [—3i/crÆy + (1 + 1/)сгу]. (10.25)

Заметим, что из пяти уже введённых упругих постоянных — Л, р, К, Е, и — в качестве независимых можно выбрать любые две. Выражения для трёх остальных следуют из формул (10.21) и (10.24).

Найдём вид скалярных потенциалов W{E) (10.4) и w(a) (10.14) д л я изотропной среды. Пользуясь соотношениями (10.19)

а из (10.27) видно, что квадратичная форма w(cr) положительно определена в каждом из двух следующих случаев:

С учётом ранее сделанного замечания о значениях коэффициента

(10.30). Это естественно, поскольку, как следует из (10.3), (10.4) и (10.12), (10.14), W(g) =w(g) для любого напряжённодеформированного состояния в упругом теле.

Итак, шесть определяющих соотношений линейного упругого материала — (10.3) либо (10.12), а в случае изотропии — (10.19) либо (10.25), замыкают систему (10.2), (5.5) пятнадцати уравне­ ний в области V

О начальных и граничных условиях уже говорилось в преды­ дущей лекции. В отличие от (9.27), теперь надо задавать и пе­

Это вызвано тем, что уравнения (10.2) имеют второй порядок по времени. Граничные же условия на кинематической и

В компонентах векторное условие (10.33) имеет вид

Как и ранее, если Eu = Е, то задача называется первой краевой, если Es = Е, то второй краевой, если Ev ф 0 и Es ф 0 — то смешанной.

Подставим соотношения Коши (5.5) в (10.19):

Oij — + pi^-ij "Ь W'j,г)I (10.35)

а затем (10.35) — в уравнения движения (10.2). В результате по­ лучим уравнения Ламе движения изотропного упругого тела [5]:

Таким образом, начально-краевая задача теории упругости в перемещениях состоит в решении трёх уравнений Ламе (10.36) при выполнении начальных условий (10.31) и граничных усло­ вий (10.32), (10.38).

Если изучается не движение, а состояние покоя тела в поле внешних сил, т. е. (dujdt){x, t) = 0, то вместо уравнений движе­ ния записываются уравнения равновесия

а вместо динамических уравнений Ламе (10.36) — статические уравнения

Начальных условий (10.31) уже задавать не требуется. Соот­ ветствующие краевые задачи (10.39), (5.5), (10.19), (10.32), (10.34) и (10.40), (10.32), (10.38) называются статическими задачами теории упругости.

Если массовые и поверхностные силы зависят от времени столь незначительно, что силами инерции (правыми частями уравнений (10.2) и (10.36)) можно пренебречь, то говорят о ква­ зистатике и квазистатических задачах теории упругости.

Обратимся теперь к интегральному равенству (7.20), выра­ жающему теорему живых сил, или теорему об энергии в МСС. Для изотропной упругой среды изменение работы внутренних сил (7.19) имеет вид

= - 1 dW dV = - d WdV=-d<p (10.41)

vv

иявляется полным дифференциалом. Назовём величину

работой внутренних сил, а интегральный оператор ц>— потен­ циальной энергией деформаций. Для изотропного тела

Пусть массовые и поверхностные силы не зависят от переме­ щений. Тогда изменение работы внешних сил (7.21) также есть полный дифференциал и согласно (7.17), (7.18)

Таким образом, каждое слагаемое в (7.20) является полным дифференциалом, поэтому можно записать первый интеграл тео­

Интегральный оператор £ называется полной энергией упруго­ го тела или лагранжианом. Он представляет собой константу

вым сечением площади Е приложена продольная сила X — Х к{ на Е^) и —X = —Хк\ на Е(2). Внешние нормали N М и N&) к обоим торцам и нормаль № 6оК) к свободной боковой поверхно­

Поскольку на всей поверхности стержня задаётся вектор напря­ жений, данная задача является второй краевой задачей.

Решением уравнений равновесия (10.39) при отсутствии массовых сил, удовлетворяющим граничным условиям (10.51),

будет, очевидно, поле напряжений

X

Этому полю напряжений согласно обратному закону Гука (10.25) соответствует поле деформаций

Из (10.53) выведем механический смысл технических посто­ янных Е и гл Модуль Юнга Е есть коэффициент пропорцио­ нальности между растягивающим (сжимающим) напряжением <то и продольной деформацией eu при одномерном растяжениисжатии стержня. Коэффициент Пуассона и, взятый со зна­ ком “минус”, есть коэффициент пропорциональности между по­

га — величина положительная, неравенства (10.30) для реальных

упругих материалов невыполнимы и условиями положительной определённости W(g) и w(a) будут неравенства (10.29).

Задача теории упругости может быть сформулирована не только в перемещениях, но и в напряжениях. Это бывает более удобно, если на границе тела заданы нагрузки.

Рассмотрим, как и ранее, область V, занимаемую линейно упругим телом, с замкнутой границей Е. Трёх уравнений рав­ новесия в V относительно шести компонент тензора напряже­ ний а недостаточно для замыкания системы. Попытаемся её замкнуть. Для этого воспользуемся уравнениями совместности в виде (5.51).

Подставим в уравнения (5.50) выражения обратного закона Гука (10.25) для изотропной среды и после некоторых преобра­ зований придём к шести уравнениям совместности уже в компо­

= —pFjj. Таким образом, правую часть (10.54) можно выразить через F :

ния в области. Они носят название уравнения БельтрамиМичелла 0 .

Классическая постановка квазистатической задачи теории упругости в напряжениях [3,61] состоит в решении трёх уравне­ ний равновесия и шести уравнений Бельтрами-Мичелла (10.55) в области V относительно шести компонент <гу при удовлетво­

Уравнения Бельтрами-Мичелла (10.55) были получены для замыкания трёх уравнений равновесия в области V относительно шести компонент Оц. Однако самих уравнений (10.55) всего шесть, и, таким образом, в V имеются теперь девять уравнений относительно тех же шести неизвестных функций. На границе области Е выполняются всего три условия (10.56).

') Так же как и (10.54), в литературе их часто называют уравнения­ ми совместности в напряжениях.