книги / Основы механики сплошной среды

плотность р атмосферы, в которой произведён взрыв, а также характеризующий мощность заряда параметр Е. Последний в зависимости от случаев а, б, в представляет собой либо энергию, либо её линейную или поверхностную плотности соответственно.

плоского, осесимметричного и точечного взрывов соответствен­ но. Нетрудно заметить, что для любого N тройка величин t, р, Е размерно независима, и её можно выбрать в качестве базиса

(га = 3).

Для выражения в этом базисе размерности [R] найдём пара­

при М, L и Т, придём к системе уравнений:

' 0 = аг + аз,

<1 = —Заг -Ь (N —1)аз,

k0 = ai - 2аз.

Её решение таково: ai = 2/(2 + N), аг = —1/(2 + N), аз =

=1/(2 + N). Таким образом,

[Д]= [t]2(2+W)-' [p]-(2+W)-‘ [£](2+W)-'

Единственная безразмерная величина в данной задаче имеет вид

(11.24)

П _ (E ty P)V+N)-' '

Так как к ~ т = 3 - 3 = 0, то согласно П-теореме П = Ф, причём Ф ни от чего не зависит и равно некоторой константе С. Из (11.24) получим следующее выражение для Д:

Чтобы найти константы Сч.Сг.Сз, достаточно осуществить по одному взрыву каждого из трёх типов. Зная Е и р, надо измерить время U, за которое фронт волны пройдёт расстоя-

ние Д* между зарядом и улавливающим прибором. Тогда из формулы (11.25) получим

Скорость V распространения фронта получается дифференци­ рованием по t обеих частей (11.25):

2СМ ( Е

(11.27)

V~ 2 + N \p tN)

Как видно, V —Vоо при t —>0, но характер особенности v ~ ~ t~N/(2+ЛГ) зависит от N, т. е. от формы заряда. Интересно, что для увеличения скорости v вдвое в плоском случае надо выбрать заряд в 8 раз мощнее, в осесимметричном — в 16 раз, а в сферически симметричном — в 32 раза!

Подробнее о задаче о сильном взрыве читатель может узнать из книги [51], где также опубликованы фотографии взрыва атомной бомбы в Нью-Мехико в 1945 г. Стробоскопи­ ческий анализ этих фотографий очень хорошо подтверждает формулу (11.25) для случая N = 3. По расчётам Дж. Тейлора в момент изображённого взрыва выделилась энергия порядка 1014 кг-м/с2, или 108 МДж. К таким же выводам независимо пришли Л.И. Седов и Дж. фон Нейман.

Задача об обтекании шара потоком. Поместим в горизон­ тальный поток сжимаемого вязкого газа абсолютно твёрдый шар и будем удерживать его в состоянии покоя. После того, как течение установится, со стороны окружающей среды на шар будет действовать некоторая по­ стоянная сила F Следовательно, для удержания его в покое надо приложить силу —F (рис. 41).

Величина F = |F | может за­ висеть от радиуса шара а (ха­ рактерного линейного размера),

скорости v газа на бесконечности (характерной скорости) и физико-механических свойств — плотности р, динамической вязкости р, и скорости звука с в газе. Таким образом,

Выпишем размерности определяющих параметров и опре­ деляемой величины: [a\—L, [v\— LT~l, [p] = ML~3, [juj = = M L~lT~x, [c] = LT~X\ [F] = MLT~2 Любые три из первых четырёх определяющих параметров размерно независимы. Результат не должен зависеть от того, какую тройку величин включить в базис, поэтому положим: Х{ = a, Х% = v, Х 3 = р, Х 4 —р, Х§ — с.

Для выражения размерностей [р], [с] и [F] в базисе a,v,p запишем три степенные функции:

Итак, в задаче образуются три безразмерных критерия:

Величины, обратные П1 и П2, в механике сплошной среды носят название чисел Рейнольдса (Re) и Маха (М). Если М < 1, то имеем дозвуковой поток газа, а если М > 1, то сверхзвуковой. Согласно П-теореме

Таким образом, безразмерная сила П зависит только от двух па­ раметров (fc —m = 5 —3 = 2): R e и М. Если эффектом сжимае­ мости набегающего потока можно пренебречь (тогда речь идёт о вязкой несжимаемой жидкости), то у функции Ф остаётся один

Как показывают эксперименты, проводимые в аэродинами­ ческих трубах, при малых скоростях обтекания сила сопротив­ ления прямо пропорциональна скорости v. Из формулы (11.31) следует, что в этом случае ^(R e) = C fRe, где С — константа.

ИмеШ F = C^iva, (11.32)

т. е. при малых числах Рейнольдса сила F не зависит от плотно­ сти среды, поэтому такое обтекание называется безынерцион­ ным. Проводя единственный эксперимент и измеряя в нём все величины, входящие в (11.32), можно вычислить постоянную С.

называют формулой Стокса. Из неё, в частности, при р = О следует парадокс Эйлера-Даламбера: при стационарном обтека­ нии тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью и отсутствии источников и стоков главный вектор сил давления

ляет собой величину, обратную безразмерной вязкости в бази­ се, состоящем из характерного линейного размера, характерной скорости и плотности. Число Маха — величина, обратная без­ размерной скорости звука. В задачах, где существенно влияние силы тяжести, важную роль играет число Фруда F r — величина, обратная безразмерному ускорению силы тяжести. В задачах, где имеется характерная частота ш (например, в теории коле­ баний), вводят в рассмотрение число Струхала St, обратное безразмерной частоте. Если же в системе имеется характерная величина р размерности M L- 1T -2 (давление, упругие модули, предел текучести), то, будучи обезразмеренной в том же базисе, данная величина называется числом Эйлера Eu. Таким образом,

(11.34)

С теорией размерностей тесно связана теория подобия [51], лежащая в основе масштабного моделирования физических

явлений. Метод моделирования состоит в проведении экспери­ ментального процесса, подобного реальному. При этом подоб­ ными называются разномасштабные процессы, математическое описание которых различается только численными значениями входящих в них размерных величин. Безразмерные же парамет­ ры (критерии подобия) П ь ... ,Щ _т , являющиеся аргументами функции Ф в соотношении (11.17), для таких процессов одина­ ковы.

Л Е К Ц И Я 12

ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

Рассматриваемые системы характеризуются большим числом всевозможных параметров. Это плотность р, векторы перемеще­ ний й и скорости V, тензоры напряжений £ , %, а и деформа­ ций & Ъ £. массовые силы F и поверхностные силы Каждый~из параметров имеет определённую тензорную природу и размерность. Среди параметров существуют так называемые основные (F , D, е, р и т. д.) и их потоки (г, Р, а, р и т.д.). Первые из них называются обобщёнными перемещениями, а вто­ рые — обобщёнными силами. Связь между первыми и вторыми задаётся с помощью определяющих соотношений (см. лекцию 9). При этом изменение работы внутренних сил записывается в виде

или

Среди параметров системы существуют такие, которые пол­ ностью характеризуют состояние системы, т. е. зная их, можно вычислить все остальные параметры. Эти параметры называются

термодинамическими параметрами состояния. Если опреде­ ляющие соотношения модели связывают между собой термодина­ мические параметры состояния, то они называются уравнениями состояния среды.

Для описания изменений параметров системы вводится по­ нятие процесса. Это зависимость того или иного параметра от времени при некоторых условиях. Например, в упругой среде изменение со временем компонент тензора малых деформаций при постоянной температуре называется изотермическим процес­ сом деформации.

Если изменяется со временем термодинамический параметр состояния, то говорят о термодинамическом процессе. В случае,

если такой процесс начинается и заканчивается при одинаковых значениях параметра состояния, то он называется термодина­ мическим циклом.

Большое значение имеет деление термодинамических про­ цессов на обратимые и необратимые [14]. Обратимые могут протекать в любом направлении (значение параметров состояния остаётся прежним при замене t на -t). Необратимые процессы протекают только в одном направлении и описывают выравнива­ ние температуры, давления и т. п.

В механике очень часто приходится иметь дело с неизо­ термическими процессами, т. е. с изменяемой со временем тем­ пературой, которая всегда считается термодинамическим па­ раметром состояния. Для изучения таких процессов придётся рассмотреть основные законы феноменологической термодинами­ ки. Будем считать, что понятие температуры интуитивно извест­ но каждому читателю. Введём (также без строгого определения) понятие теплоты Q. Первый закон термодинамики (он имеет много формулировок) утверждает, что теплота есть вид энергии. На основе закона сохранения энергии полная энергия будет состоять из суммы механической и тепловой энергий. Механи­ ческая энергия в статике упругого тела описывается потенциаль­ ной энергией деформации (10.42):

Тогда полная энергия Е для неизотермического процесса должна иметь вид

Если же для рассматриваемой модели изменение работы внутренних сил не может выражаться полным дифференциалом, как это имеет место для упругой модели (10.41), то закон со­ хранения энергии естественно представить в дифференциальной форме

где Е называется внутренней энергией, которая зависит от тем­ пературы Т и других термодинамических параметров состояния (например, от некоторых тензоров г = 1,2,...). Внутренняя энергия есть работа, которую надо совершить, чтобы перевести

при наличии различных температур и Т ^ . С её помощью можно создать термодинамический цикл. Тогда из (12.5) следует,

Отсюда следует ещё одна формулировка первого закона термоди­ намики: невозможно создать вечный двигатель первого рода —

машину, которая могла бы совершить механическую работу, не затрачивая энергии.

Ещё одна формулировка первого закона термодинамики, го­ ворящая об эквивиалентности тепла работе, следует из размер­

Для того чтобы более чётко проследить действие законов тер­ модинамики на конкретной модели, выберем в качестве таковой модель совершенного газа [4,62]. Для него определяющее соот­ ношение записывается в виде уравнения состояния Клапейрона

где Mo — средняя масса одной грамм-молекулы газа, то — средняя масса молекулы в граммах, До « 8,314 • 107эрг/(моль х х град), fco ~ 1,38 • 10—16эрг/град — постоянная Больцмана. Тогда уравнение состояния (12.9) записывается в одной из двух следующих форм:

Число N называется числом Авогадро.

Используя последнее из соотношений (12.2) и принимая объём, по которому происходит интегрирование, конечным, но настолько малым, что внутри него величины р и р неизменны, получим

Учитывая первое соотношение (12.13), из которого следует, что

Тогда из формулировки (12.5) первого закона термодинамики получим

Нам будет удобнее пользоваться уравнением состояния совер­ шенного газа в форме (12.11). Из (12.11) следует, что изотермы описываются уравнением (рис. 42)

Можно ввести шкалу температур совершенного газа, полагая темпе­ ратуру равной pV/Ro вдоль изо­ термы одного моля такого газа. Однако в дальнейшем при формули­ ровке второго закона термодинами­ ки будет ясно, что понятие темпера­ туры не должно зависеть от свойств среды.

Теплоёмкость с системы равна количеству тепла AQ, кото­ рое нужно подвести к системе, чтобы повысить её температуру на А Т при заданных условиях:

Если при этом поддерживается постоянный объём, то из (12.17) имеем

При р = const из (12.19) и (12.17) следует

( , 2 '2 , )

Всилу того что термодинамические параметры состояния р

иV связаны соотношением (12.17), внутреннюю энергию Е для совершенного газа можно выразить в виде функции двух параметров состояния: либо Е = Е(р,Т), либо

Заметим, что этот факт справедлив не только для совершенного газа, но и для газа, подчиняющегося более общему уравнению состояния

(12.24)

{дт)р - [ д т ) у + { д у ) т{дт)р

Используя (12.24), из (12.20) и (12.21) получим

(дЕ\ fdV\ ( дЕ\

Cv~ { d r ) p+P\ 9 r ) p ( , Э г ) „ “

дЕ\

\ d V j T+PX dT) P (12'25)

Чтобы исследовать зависимость внутренней энергии от объёма, Ж.Ф. Гей-Люссак в 1802 г., а позднее Дж. П. Джоуль провели опыты, в которых газ свободно расширялся, переходя из одного сосуда в другой. В этих опытах было установлено, что

Таким образом, термодинамическая модель совершенного га­ за задаётся термодинамической функцией состояния (внутренней энергией) в виде