книги / Основы механики сплошной среды

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что для проводника, имеющего форму прямолинейного кругового цилин­ дра радиуса а, длина вектора Пойнтинга представляется в виде

Выпишем теперь размерности некоторых используемых элек­ тромагнитных величин. Из закона Кулона (18.15) следует, что

[е] = [F]xf2L = M yl2Û l2T - \

из (18.16)

[ре] = [е]1Г3 = М '/2Ь-У2Т~\

из (18.20)

[Я] = [F]/[e] = М Х121ГХ12Т~Х

из (18.49)

[J] = [е]Т-1 = M XI2I}I2T~2,

из (18.51) или (18.58)

[J] = [I]L~2 = M XI 2L - {I2T ~ \

из (18.67)

[Я] = [з]Ь/[с] = M XI 2L - {I 2T ~X =

из (19.21)

[S] = [Ё]2[с] = МТ~г, [dïv S] = МЬ~ХТ~Ъ,

и, наконец, из (19.26) и того, что коэффициенты ц и х безраз­

мерны, следует

[Г] = [Е]2 = ML~XT~2

Для движущегося проводника необходимо учесть некоторые преобразования. Ведь до сих пор считалось, что все рассматри­ ваемые величины изучаются в некоторой инерциальной системе отсчёта, которая условно принималась неподвижной. Все законы механики одинаковы в любой инерциальной системе отсчёта, или, другими словами, инвариантны относительно группы пре­ образований Галилея

Как же обстоят дела с электромагнитными величинами? Пусть, например, экспериментально установлено, что в некото­ рой области V пространства R3

Если заряды покоятся в некоторой системе А, то на них не действуют никакие силы. Тогда из (19.16) следует, что

Если же они движутся относительно системы А с некоторой скоростью V A , то появляется пондеромоторная сила

Итак, на заряд, покоящийся относительно системы А ' (wA>= = 0), действует сила

Из (19.14) и (19.35) немедленно следует, что появляется на­ пряжённость электрического поля в системе А':

Вместе с тем из (19.34) следует, что относительно системы А' появляется и магнитное поле

ибо сила F должна быть одинаковой и в системе А, и в систе­ ме А' Она выражается формулой Лоренца

Таким образом, электромагнитное поле разложить отдельно на электрическую и магнитную составляющие нельзя: поле, ко­ торое в системе А является чисто магнитным (Е = 0), оказы­ вается с точки зрения системы А', которая равноправна с А, электромагнитным (ЯА»Ф 0), Я А/ ф 0.

Л Е К Ц И Я 20

СВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОТЕРМОМЕХАНИКИ

Напомним дифференциальные следствия исследованных в лекциях 6, 7 и 14 пяти постулатов МСС. Это уравнение неразрывности (6.10) (I постулат)

В лекции 14 эти постулаты и их дифференциальные след­ ствия были записаны в единой форме. Отметим, что уравне­ ний (20.1)—(20.5) девять, в то время как число неизвестных параметров в них значительно больше. Это означает, что сис­ тема (20.1)-(20.5) не является замкнутой, и для её замыкания нужно выбрать конкретную модель сплошной среды.

Модели, в которых учитывается взаимное влияние механиче­ ских и других полей, называются связанными. Ниже рассмотрим две связанные модели сплошных сред, проявляющих как тер­ момеханические, так и электромагнитные свойства. Первая из них, модель магнитной гидродинамики (МГД) [21], описывает явления, происходящие, например, в плазме, и используется при расчёте и конструировании плазменных двигателей и МГДгенераторов.

В число неизвестных входят векторы скорости v, напряжённости электрического поля Е, напряжённости магнитного поля Н, плотности силы тока j, а также скалярные величины: массовая плотность р, плотность заряда ре, давление р, температура Т и плотность энтропии s, т. е. всего 17 величин. С другой стороны, имеются: одно уравнение неразрывности (20.1), три уравнения движения (20.7), семь уравнений Максвелла (20.8), три соот­ ношения Ома (20.9), одно уравнение теплопроводности (20.12) (либо (20.11)) и два определяющих соотношения (20.13), т. е. всего 17 уравнений.

Следовательно, модель МГД для идеальной жидкости полу­ чилась замкнутой.

Несложно дать обобщение модели МГД на случай вязкой сжимаемой жидкости. Для этого вместо (20.6) необходимо запи­

где Ai и р\ — коэффициенты вязкости, z — тензор “вязких” напряжений (9.49), Q — тензор скоростей деформаций (9.50).

Тогда уравнения движения (20.7) дополнятся новыми слагае­ мыми:

p{jï^ + « ■Graduj = —gradp-|- (Ai + //i)graddivu +

+ p lAv + pF + pe(Ê + ^ х я ) + ^ х Я , (20.15)

a в правую часть уравнения притока тепла (20.11) согласно (20.5) войдёт функция рассеивания (15.39) (ведь теперь модель необ­ ратимая):

w* = т : D = X1(div гГ)2 + 2/xitr D2 =

ций (15.34). При этом число уравнений и число неизвестных функций не изменятся и останутся равными 17.

Приведём теперь ещё одну классическую связанную модель электромагнитотермомеханики, а именно модель электротермо­ упругости (ЭТУ) [13,19]. Будем рассматривать, как и ранее,

малые деформации

и считать тензор напряжений симметричным (<т^ = сг^)- Некото­ рые кристаллы (пьезоэлектрики) обладают свойством прямого пьезоэлектрического эффекта (прямого пьезоэффекта), кото­ рый описывается определяющими соотношениями, связывающи­ ми вектор поляризации Р с тензором напряжений

Тензор третьего ранга с компонентами dÿ* называется тензором пьезомодулей. Заметим, что d^k отличны от нуля только для анизотропной среды.

Если под действием электрического поля кристалл изменяет свою форму, то присутствует так называемый обратный пьезо­ электрический эффект (обратный пьезоэффект):

Такими эффектами обладают кварц, сегнетова соль, пьезокера­ мика (например, титанат бария) и некоторые созданные в послед­ нее время композиты. Эти материалы используются в различного рода преобразователях, микрофонах, стабилизаторах частоты, адаптерах, вибраторах, громкоговорителях и др.

В приборах, регистрирующих температуру (например, термо­ парах), часто находит применение пироэлектрический эффект {пироэффект) — возникновение электрической поляризации Р под действием температуры:

где pi — компоненты материального пироэлектрического век­ тора.

Токи, в том числе и токи смещения, не учитываются, отсут­ ствуют также и электрические заряды. Поэтому можно восполь­ зоваться уравнениями электростатики, являющимися следствия­ ми уравнений Максвелла (19.9):

Уравнения движения запишем в виде

Из первого соотношения (20.21) следует существование электрического потенциала <р (18.22):

Таким образом, неизвестными величинами являются а, е, й, Ê, D, ip, s, Т, т. е. всего 24 величины. Для их определения имеем шесть соотношений Коши (20.17), четыре уравнения Максвел­ ла (20.21), три уравнения движения (20.23) и одно уравнение притока тепла (20.24), т. е. всего 14 уравнений 1). Поэтому для замыкания системы необходимо привлечь десять определяющих соотношений.

В лекции 14 уже были введены некоторые термодинами­ ческие потенциалы, зависящие от различных параметров. Рас­ смотрим восемь таких потенциалов, каждый из которых зависит от механических и электрических параметров. Это внутренняя энергия E(S,e,D), E\(S,E,Ê), свободная энергия Гельмгольца

F(T,e,D), Fi(S,&,Ê), энтальпия H(S,a,D), Hi(S,a,Ê), потен­ циал Гиббса G(T,a,D), G\{T,a,Ê). Любой из этих восьми по­ тенциалов выражается через другие с помощью преобразования Лежандра.

Так, потенциал G\ можно выразить через внутреннюю энер­ гию Е с помощью преобразования

из него следует тождественное удовлетворение первого соотношения в (20.21).