книги / Основы механики сплошной среды

Из сравнения (2.51) и (2.52) следует, что |и| = |. По­ этому в любой точке М вектор скорости направлен по нормали к сфере, проходящей через точку М , т. е. к соответствующей эквипотенциальной поверхности. Линиями тока и траекториями будут лучи, выходящие из точки О. Движение со скалярным потенциалом (2.49) называется пространственным источникомстоком. В случае Q > 0 имеем источник в начале координат

Поток через поверхность сферы Еа равен

P=I*(",Æ=l 4^ = ^ |S 0| = «, (253)

Еа

где |Еа| = 47га2 — площадь поверхности сферы Е0. Видно, что величина V, равная Q, не зависит от радиуса а и характеризует течение как целое. Эта характеристика называется расходом пространственного источника-стока.

Вычислим теперь оператор Лапласа потенциала ip (2.49):

Но исходя из (2.53) и первой формулы Грина (2.46) можно пока­ зать, что интеграл от А<р по любому шару Va с поверхностью Еа равен Q и не зависит от а.

Таким образом, Д</? — необычная функция: она равна нулю везде, кроме начала координат, но интеграл от неё по любому шару с центром в начале коор­

динат равен Q ф 0. Функция Д tp представляет простейший пример

обобщённой функции (дельта­ функции). (О правилах использова­ ния дельта-функции см. [42].)

Выберем некоторую кривую, со­ единяющую точки А и В (рис. 17),

и назовём циркуляцией TAB век­

Рис. 17

торного поля а(х\,Х2,Хз) вдоль

При этом положительным считается обход контура С против часовой стрелки.

На плоскости (Охух?) рассмотрим элементарный замкнутый контур С, ограничивающий прямоугольник со сторонами Axj и Ах2 и площадью Д Е3 = Axi Дхг (рис. 18). Так как согласно определению (2.56) с2Гс = сцdxt, то

Тс = АГ = ai Axi + (Û2 + Даг)Ах2 —(ai + A oi)A xi —

T. e. каждая компонента ротора векторного поля есть измене­ ние циркуляции по соответствующему замкнутому контуру на единицу площади, ограничиваемой этим контуром. В этом со-

Обозначая через С2 контур Сг с противоположным обходом, получим

ти вдоль любого контура, охватывающего одну и ту же вихревую трубку, постоянна.

Эта циркуляция называется напряжённостью iw вихревой трубки и служит важной её характеристикой:

= -dr. (2.66)

с

Согласно формуле Стокса (2.62) и первой теореме Гельм­ гольца величина ъшравна удвоенному потоку (в положительном направлении) вектора вихря ш через любое сечение вихревой трубки. Таким образом, данный поток также может служить характеристикой вихревой трубки.

Утверждение, аналогичное первой теореме Гельмгольца, спра­ ведливо не только для ш, но и для любого соленоидального

поля. Так, например, если поле скоростей v соленоидально,

—*

т. е. существует векторный потенциал ф (2.25), то величина iv,

с

постоянна для любого контура С, охватывающего трубку тока, и представляет собой напряжённость трубки тока. Величи­ на iv также равна потоку скорости через любое сечение трубки тока.

Вторая т е о р ем а Г е л ь м г о л ь ц а . Вихревая трубка не может начинаться либо обрываться внутри тела, а должна быть замкнутой либо выходить на границу тела.

Действительно, в силу того что поток вихря через любое сечение вихревой трубки постоянен, модуль вектора ш в месте обрыва трубки или стягивания её в одну точку был бы равен бесконечности. В природе замкнутыми вихревыми трубками яв­ ляются, например, кольца дыма, выходящего из трубы. Водо­ ворот также представляет собой вихревую трубку, один конец

которой упирается в дно, а другой выходит на поверхность водоёма. Особо опасен смерч — трубка, обладающая огромной напряжённостью и способная, как известно, вырывать с корнем деревья и переносить тяжёлые предметы на большие расстояния. Один конец такой трубки опирается на землю или поверхность океана, а другой уходит в слой облаков.

Возьмём теперь производную по времени от циркуляции ско­ рости по кривой, соединяющей точки А и В на рис. 17:

d r а в

dt

Если точку В устремить к А, тем самым образуя контур С, то

Равенство (2.69) составляет утверждение кинематической теоре­ мы Кельвина.

Т е о р е м а К е л ь в и н а . Производная по времени от цир­ куляции скорости вдоль замкнутого контура равна циркуля­ ции ускорения вдоль того же контура.

Иногда теорему Кельвина формулируют и для разомкнутой кривой в форме (2.68).

Определим теперь ковариантную фундаментальную мат­ рицу отсчётной конфигурации:

называется контравариантной фундаментальной матрицей отсчётной конфигурации.

Путём поднятия индексов у векторов ковариантного локаль­ ного базиса

можно получить контравариантный локальный базис е* от­ счётной конфигурации. Вообще говоря, он не является голономным, т. е. связанным с какой-либо системой координат. Заметим, что

Рассмотрим произвольное векторное поле а в отсчётной кон­ фигурации. В каждой точке вектор а может быть разложен по векторам как базиса (3.5), так и базиса (3.9):

Пусть £1' — новая криволинейная система координат, связан­ ная со старой £* законом преобразования

Умножая обе части (3.18) на А?, суммируя по г и учитывая (3.15), получим

Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом и новом базисе, запишем

Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индек­ сов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом преобразуются с помощью матрицы Аг{ (контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом — с помощью обратной и транспонированной к Ах\

матрицы Вг{, (ковариантный закон преобразования).

Назовём компонентами тензора (п + тп)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему вели­ чин aixi2...in3,32"'3m>преобразующуюся при переходе к новой сис­ теме координат (3.13) по закону (тензорному закону) [48,50]

+ m)-ro ранга — инвариантный объект, не изменяющийся при

как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчётной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при пере­ ходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону:

... ® e tn ® ëy, ® ëy2 ® ... ® ëjm. (3.27)

Символ ® называется символом тензорного произведения. Итак, тензор (п + т)-го ранга а может быть записан в виде

а = а, - .•■,lj2'"jmel1 ® е*2 ® ... ® etn ®

(8) Cj*2(8) ««• ® ^jmm (3.28)

Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих её векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи:

называется единичным тензором второго ранга.

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а ска­ ляр — тензором нулевого ранга. Не всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, кова-

и определитель д' матрицы (3.6):

хотя и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорно­ му закону, т. е. скаляром не является.

Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе Аг\, может быть записан с помощью символов Леви-

Следовательно, символы Леви-Чивиты, вообще говоря, не яв­ ляются компонентами тензора третьего ранга. Однако величи­ ны y/gcijk и бijk/y/g при переходе от одной криволинейной сис­ темы координат к другой преобразуются по тензорному закону.

y9

Векторное произведение da x db совпадает с векторным элемен­ том площади параллелограмма, построенного на векторах da и db. Поэтому