книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения
..pdf112 |
Гл. 3. Методы решения краевых задач |
круговой цилиндрической панели; yi, (г = 9 ,..., 16) определяют вели чины, характеризующие НДС длинной прямоугольной пластинки; yi, (г = 1 7 , , 24) определяют величины, характеризующие НДС правой круговой цилиндрической панели. Тогда общая система уравнений, описывающая НДС комбинированной конструкции, будет иметь вид
= А у « ) + Ь, |
(3.74) |
где элементы А и b определяются таким же образом, как компоненты вектора у. К системе (3.74) необходимо добавить граничные условия (2.110) и условия сопряжения, которые в точке сопряжения левой круговой панели и прямоугольной пластинки будут иметь вид
У\ = 2/9, ФУ2 = Ую , |
Яуз ~ У 2 = У п , |
У4 = У12, |
(3.75) |
|
Щ У ь - У ъ ) = У \ з , Уб = |
2/ 15, - # ^ 2/7 = |
2/ 14, 2/8 = 2/ 16, |
||
|
где ф — угол на краю левой круговой панели. Для того чтобы полу чить условия сопряжения правой круговой панели с цилиндрической пластинкой, необходимо в левых частях уравнений (3.75) величины Уг заменить на т/^ч-16 соответственно. Таким образом, система (3.74), (2.110), (3.75) описывает НДС комбинированной конструкции, имеет порядок 24 и является жесткой. Собственные значения матрицы коэф фициентов имеют вид
Ai = Аг = 0, |
Аз = А4 = г, |
А5 = Аб = —г, |
А7 = — |
= Аг, |
|||
Ад = Аю = Ап = |
А12 = |
А13 = Ан = 0, |
Л15 = —A |
= Ар, |
|||
А17 = А1в = 0, |
А19 = |
Аго = |
i, |
А21 = А22 = |
—i, |
А23 = |
-А 24 = АГ. |
Спектральный радиус системы Л равен максимальной из величин АI, Ар и Аг, где Ар — действительные собственные значения матрицы коэффициентов для прямоугольной пластинки, Аг, Аг — для левой и правой цилиндрических панелей. Наличие в решении экспоненци альных функций, быстро убывающих при отдалении от границ и точек сопряжения, приводит к появлению ярко выраженных краевых эффек тов.
Система (3.74), (2.110), (3.75) имеет аналитическое решение
|
|
3.5. Анализ эффективности численных методов |
И З |
|||||||
Vi |
= |
D\ i + D\2i)i + D\з cos (ф£) + I>-4 s in (^ ) |
+ |
cos(^£)+ |
||||||
|
|
+D -6^ s i n ( ^ ) |
+ |
+D\7 eXl^ - \ ) |
|_ D*8e_Al1^ +l), |
|||||
|
|
(*= 1....... 8), |
(6> |
|
|
|
|
|
||
№ |
= |
^ i + |
^ |
+ ^ |
|
+ ^ |
3 + ^ |
+ + |
^ eAptt“ 1)+ |
|
|
|
+ i)f7e - Ap«, |
(* = |
9....... 16), |
(6 |
|
|
|||
Vi |
= |
D ixr + |
£ >[2 V>£ + |
£ > [3 c o s ( ^ ) |
+ A |
r4 s i n ( ^ ) |
+ |
C O S ( ^ ) + |
||
|
|
+£>[6^sin(V>£) + +£>r7eA^ ^ - ‘) + D[8e - A^ ^ +1), |
||||||||
(г = 1 7 ,..., 24),
(3.76) Двадцать четыре константы интегрирования находятся из гранич ных условий и условий сопряжения. Здесь и далее индекс р относится к величинам для прямоугольной пластинки, индексы I, г — к левой
и правой цилиндрическим панелям.
Для случая жесткого защемления краевые условия имеют вид
wl(sQ) = {wl)'(s0) = ul(s0) = 7rl(s0) = О,
wr (si) = (wr )'(si) |
-- ur(si) = |
7Tr (si) = |
0. |
||||||
В этом случае константы интегрирования имеют вид |
|
||||||||
СТ = Cl + D\7 + D\be~k‘* + D'„ - af8Cf( 1 + e^/Xj . |
|||||||||
c% = —tiCy — t5c |
+ <6, |
= —t\Cl$ —t2Cl2+ 1.., |
|||||||
С4» = Д ( С ' - С 1 |
+ |
(1 + 1 /У )). |
С5Р = - |
^ |
. |
С? = |
С У ,-(1 + 1 /У ), |
||
CP = {t\%t\4,C\ + ^16^13^2 + ^16^14 —il7^1l)/m 5, |
C'g = C^, |
||||||||
Cj = |
t7 C^ + tgC2 |
+ |
|
C*2 = |
(^36^35 —^зз^зв)Аз9. |
||||
С з |
= |
(<34<38 - |
*37^35 )Л з 9 . |
C 4 |
= |
2 (7 P)2щ |
' |
||
Cl = |
--- 7 [Cg cos ip + |
D\s(lp 8 шф - |
cosip)- |
||||||
0 |
|
sin tp |
|
|
|
|
|
|
|
—D\b(ip cos ф + simp) + D l27e |
Xl^ — D l28\, |
C\ = £2763 + t 28C 2 + t 29, |
|||||||
C 7 = ^2 1 ^ 3 + ^2 2 ^ 2 ”1” ^23>
|
|
= |
c |, |
CJ = |
|
|
|
II |
1 |
■3 |
= |
|
<?6 = |
|
|
|
|
m i = a 26 |
_- Й28а 4 б /а 48’ |
|
|||
m 3 = |
d P |
- - ap8ap6/a p8, |
|
||
a 36 |
|
|
|
|
|
^ 8 = ^24^3 + ^ 2ь С 2 + £2 6 ,
c |
l |
|
С4Г |
II |
1 |
|
C l = |
C' |
|
|
: |
|
|
|
|||||
C \ |
> |
ГЧГ |
— c l |
|
|
|
|||
|
|
^ 8 |
|
— |
^ 8 ’ |
|
|
|
|
m |
2 |
= |
a 25 |
- |
|
f7P n p |
/ a 48> |
|
|
|
|
|
|
a 28a 45 |
|
||||
Ш4 = |
a 35 |
- |
|
f7P np |
/ a 48’ |
|
|||
|
|
a 38a |
45 |
|
|||||
m 5 = ^16 ill, t i = m i / 2 -- h > t 2 = R m 2 / 2 ,
114 |
|
|
|
|
|
|
Гл. 3. Методы решения краевых задач |
|
|
||||||||||||||||
<з = |
<i(l + |
1/У ) |
- |
[2D \b + D\z - |
2ap8dp/ « |
) 2]/2, |
<4 = т ъ/ 2 - <5, |
||||||||||||||||||
<5 |
= |
Д г а 4 / 2 , |
|
<6 = |
^4(1 |
+ |
1 /7 * ) |
_ |
[-O3 |
4 |
+ |
^ з з |
~ 2а^8^ 2 / ( ^ ) 2] / 2 ’ |
||||||||||||
|
|
<7 = |
sin^J |
^ а з 6 — ° 38^ |
— ^ |
, |
<8 = |
^ ( а 35 — а 38а 4 б /а 48)> |
|
||||||||||||||||
|
|
|
tg |
= |
<7 c t g 1p C \ |
- |
|
l/>(a 36 _ |
а 38а 4 б /а 4в)(1 + |
1/7*)» |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
<10 |
= |
T ~ ^ — n f Pp |
I „р / /л ’ |
|
tn |
= ^oM e/A b |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(e |
p —l)(a38 + а28/^) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
< 1 2 = |
<ю (-К <7 |
+ |
£4 |
+ |
t i / l f t ) , |
<13 = |
|
< ю ( - ^ < 8 |
"4" <5 “t- ^2 / ^ |
) » |
|||||||||||||
|
*i4 = |
*io [л*9 - |
*6 - |
t j / ^ - |
Д (<4« - |
у |
* |
й |
л ) Cl . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
<15 = |
|
|
|
|
|
a? |
____ |
|
|
. |
|
< 1 5 7 |
Ai |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ё Й % |
К Лр- 1 ) ’ |
|
16" |
|
4 |
* |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
<15(7P)24 |
|
|
<15^46 |
/Ol |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + (л,)2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—Ли |
, |
i \ <16<12 |
|
a^ —Rcfi, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'45 |
|
|
|
|
|
* |
" |
- |
7 |
( |
^ |
|
|
|
+ |
(^ |
|
+ |
1) |
|
- |
|
|
|
a'48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
<19 = - т ^ |
+ ( е 'Л- + 1)— |
|
- |
R^f , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
( А г ) 2 |
|
|
|
|
|
|
m s |
|
«?'48- |
|
|
|||||
<2 0 = (е |
Ар + |
1) <16<14 — <17<11 |
|
2<Й> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ГП5 |
|
|
|
|
(4 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
"а46 ~ Д<5 |
|
4 Q46 ^ |
(l + W ) , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а48 |
|
|
V(Ai)2, |
|||
|
|
|
<21 |
= |
(<18 + |
<1 2/ш 5 ) /2 , |
<22 = |
|
(<19 + < 1 з/т б ) /2 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
<23 = |
|
[<20 + |
(<14 — < 1 7 ) /^ 5 ] /2 , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0464 |
sin -0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
<24 = |
е |
А'^<21 |
- |
|
7*AJ(1 + А2) . |
|
<25 = |
е |
Al^<22> |
|
|
||||||||||
<26 = |
е |
А'^ < 2 3 ------¥ |
~ |
~ |
+ |
~ |
5: С'4 > |
*27 |
— (<40<16 — <41 )< 1 г/^ 5 |
— <1 /V 7, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Аг (1 |
А ; ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
<28 = |
(<40<16 |
— <41 )< 1 з/Г7г5 — < г/'0 . |
|
|
|
|||||||||||||
<29 = |
|
< 4 2 ^ 1 /2 |
— <41 (<14 — < 1 7 )/m 5 + |
<4о(<16<14 — < 1 7 < ll)/^ 5 |
+ |
< з/^ » |
|||||||||||||||||||
|
|
|
<30 = —<42 {Ф + |
s in '0 C O S '0 )/2 |
+ |
sin '0 <45<46 — 2 <47<21 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<31 = |
— sim /;<43 — 2<47<22, |
|
|
|
|
|||||||||||
<32 = |
|
<42 COS2 V > C i/2 + |
|
COS^<45<46C '4 - |
2<47<23 + sin i/;< 44( l |
+ |
1 / 7 *), |
||||||||||||||||||
|
|
|
<33 = |
<27 + |
<30, |
|
<34 = |
<28 + |
<31, |
|
<35 = |
—(<29 + <32), |
|
||||||||||||
<36 = |
2 e |
Al^<24 — <18 + |
< 1г/т 5, |
<37 = |
|
2 e |
|
Al^<25 — <19 + <13/7715, |
|||||||||||||||||
|
|
3.5. Анализ эффективности численных методов |
115 |
|||||||
*38 |
= |
—2 е |
Al^*26 + *20 — (*14 — t \ j ) / m ^ , |
^39 = |
*36*34 — *33*37. |
|
||||
|
|
а 2в(е р 0 |
+ |
J |
|
|
|
«28«46**3 |
|
|
НО |
«28Ai |
^42 = «26 |
|
|||||||
— ------------------------. |
*41 |
= |
|
7 ( 1 + А ? )’ |
|
|||||
|
|
|
V’Ap |
|
1 + А, |
|
|
|
||
+ |
___ г |
«28«45^3 |
+ |
___ Z |
«28«46^3 |
+ |
_ a\%a\bd\ |
|
||
*43 — « 2 5 ---------- ^ — > |
*44 — «26 — |
|
7Аг |
|
тО + Л,*)1' |
|
||||
|
|
|
7 « |
|
|
|
|
|
||
|
|
, |
/ , |
• |
/ /\ |
j. |
siaibaise |
Al^ |
|
|
|
|
*46 = cosV> + sm ^/Аг, |
*47 = — |
|
2---- |
|
||||
1 + А/
На рис. 3.15 приведен вид решения задачи изгиба жестко за щемленной на обоих краях трехслойной конструкции в разрешающих
функциях |
при значениях: R /h |
= 20, l/h = |
10, |
Е \ / Е 2 = |
40, |
ф = 7г/2, |
|
*7 = v2 = |
^з — 0.3, h\ |
— 0 ,1/г, |
h2 — 0,9h, |
Е\ |
— Е з, где |
h |
— полная |
толщина конструкции, |
I — длина прямоугольной пластинки. |
|
|||||
Из рис. 3.15 видно, что помимо ярко выраженных краевых эффектов имеются быстро переменные решения в зонах сопряжения пластины
ипанелей.
Втабл. 3.12 приведены результаты сравнения численных решений, полученных методом сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации, с аналитическим решением для комбинированной конструкции. Представленные в табл. 3.12 результаты сравнения численных решений с аналитическим показывают, что метод сплайн-коллокации и дис кретной ортогонализации успешно справляется с решением задачи изгиба комбинированной конструкции и достигаемая обоими методами точность во всех случаях достаточно высокая.
Рис. 3.15
3.5.4. Слоистая цилиндрическая оболочка. Рассмотрим задач изгиба слоистой цилиндрической оболочки толщины h, радиуса R
и длины I, состоящей из К армированных слоев. Для того чтобы по лучить систему уравнений, описывающую поведение цилиндрической оболочки в линейной уточненной постановке, необходимо в уравнениях
116 |
Гл. 3. Методы решения краевых задач |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Таблица |
3.12 |
Параметр |
Относительные погрешности 8 по компонентам |
|
|||||
|
и |
W |
|
|
|
П |
|
J* |
|
Пакет GMDO |
|
|
|
||
600 |
2,5410" 4 |
9,45- |
10" |
4 |
5,8910" 3 |
|
|
1800 |
4,61 • 10“ 6 |
2,74- |
10“ |
6 |
5,76 |
• 10“ 5 |
|
3600 |
4,2910" 7 |
1,67- |
1 0 |
" 7 |
8,49 |
■10" 7 |
|
T O L |
|
Пакет COLSYS |
|
|
|||
1 0 - 2 |
6,5410" 5 |
5,32- |
10" |
4 |
7,1410" 3 |
|
|
1 0 " 4 |
2 , 0 2 • 1 0 " 6 |
1,93- |
10" |
6 |
2,60- 1 0 " 5 |
|
|
1 0 “ 6 |
3,8910“ 7 |
3,20- |
10“ |
8 |
2,74 |
■10“ 7 |
|
(2.116) положить |
А\ — 1, А 2 |
— R, |
R\ — 00, R 2 — R, S\ — S2 — S4 |
— О, |
|||
5з = 1:
= а кп е к11 Т|-
к
v k ==и -
|
d u |
£ 1 1 |
= d s |
d T n |
_ |
d s |
0, |
|
п к р к |
к |
.fc „к I |
„к „к |
_ fc |
/~ik _,fc |
а 12е22> |
a 22 |
ь12е 11 + |
а 22е22> |
т 13 — ^13713 |
|
d w |
|
ъ |
?.fc |
_ ... |
к |
_ |
f'(z)n |
Z ^ s + |
» U |
* . |
v3 |
~ w- |
7i3 - |
n k > |
|
|
|
|
|
|
|
|
^13 |
dj2w |
|
|
d n |
|
w |
z . |
£33 — |
~ d s 2 |
+ |
/Hi d s ’ |
|
R + |
|||
T22 |
d 2 M n |
+ qn(s) - 0, |
d S n |
— Q\ — 0, |
|||
R |
d s 2 |
|
|
|
d s |
|
|
|
К |
hk |
|
|
|
|
|
где
..fc _
/*п ~
[ T n . M n . S , , ] ^ |
{ l + z / R ) a ^ [ l , z , f i ku ] d z , |
(3.77) |
fc=l /ifc- |
|
|
K |
hk |
|
[T2 2 , M 2 2 ,S 2 2 ] = |
2,^ 22] |
|
fc=l hk-i
Кhk
« > = |
£ |
|
|
|
fc=l h k - 1 |
||
f ( z ) - f ( h k- 1) |
fc-i |
||
+£ |
|||
77 |
|
||
*-чз |
|
||
|
|
J = I |
|
^ з ^ Т з /'^ К 1 + z / R ) d z ,
№ ) - № - 1)
/ ( 2 ) = z3 - 1.5/iz2
G?13
|
3.5. Анализ эффективности численных методов |
117 |
|||
|
|
f'(t)dt |
fc-1 |
|
|
|
|
£ |
|
|
|
/ 4 = |
(1 + z / R ) |
{*23(1 + t/R ) + |
{ * 2 3 (1 + t/R) |
|
|
|
|
hk-t |
*=l h L |
|
|
К системе |
(3.77) необходимо добавить |
граничные условия, |
которые |
||
в случае оболочки с жесткими днищами, нагруженной внутренним давлением интенсивности Р, имеют вид
w ( s o) = ^ ( s 0 ) = TT( S 0 ) = 0 , |
Т п ( з 0 ) = ™ , |
|
(3.78) |
w (si) = ^ ( s i) =irs(si) = 0 , |
T n(si) = ^ p . |
Для консольной оболочки (край SQ защемлен, край si свободен от усилий)
|
|
|
w{sQ) = ^ |
|
{so) = u(s0) = 7r(s0) = О, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.79) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r „ ( S|) = |
M u W |
= |
^ i ( s i ) |
= |
S |,(s,) |
= |
0. |
|||||||
Для жестко защемленной оболочки |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
w{so) |
dw |
|
= u(so) = ?r(s 10) = 0, |
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.80) |
|
|
|
г ф О |
= |
|
|
= w(s i) = ^(si) = 0. |
|
|
|||||||
Вводя разрешающие функции вида [9] |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
У\ = |
W E). |
2/2 |
= |
|
dyi |
|
2/3 = |
uE lc |
2/4 = |
7r/i3 |
||||
|
|
Ph ’ |
|
|
|
|
PI |
’ |
Р/ ’ |
|||||||
2/5 |
Т, 1 |
2/6 |
= |
м „ |
|
|
2/7 |
= |
dye |
2/8 |
= |
S n £ f |
|
s = |
||
P h ’ |
Р/г2’ |
|
d T |
P / 14 |
’ |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
систему (3.77) можно привести к виду |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
^ |
= |
А |
у |
« ) |
+ Ь, |
|
|
|
(3.81) |
||
где коэффициенты матрицы А имеют вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||
«12= |
1, |
«21 = |
(С55-В21 - |
C2 5 Bb\)/D, |
а2б = С55-В23/ А |
|||||||||||
а 28 = |
—С2 бВ м / D, |
аз1 = |
t j 2 52 U)u2 a2i - |
> fii2« 4i |
~~ 7«7гь |
|||||||||||
^36 — t^ 282u n2a20 — ><112« 46> |
«38 = |
t 7 2^ |
112«28 - |
^ 112« 48> |
||||||||||||
|
«41 = |
{С2 2 Въ\ - |
Сь2 В 2\ ) /D, |
а4б = |
CS2 B 2 Z/D, |
|||||||||||
а48 = —C22B SO/D, |
aoj = 1, |
«71 = (Д ц |
— (C42«21 + ^45«51))/С 4 4 » |
|||||||||||||
Я76 = |
— (C*42«23 + |
С 45«5з)/С 44> |
Й78 = |
“ |
(C42«26 + |
С 45«5б)/^ 4 4 , |
||||||||||
а84 = Д /7 2<52, Ь2 = (С55/2 - C2 5 fs)/D , Ь4 = (С22/5 - C^2 f 2 )/D,
118 |
|
|
|
Гл. 3. Методы решения краевых задач |
|
|
|||||||||||||
|
h |
— £'У2<52^112^2 —х 112^4 + |
Z'y |
^7 — (/4 —С42^2 ~ С/^Ь^)/ С4 4 , |
|||||||||||||||
t |
= |
1 / w i n , |
С |
22 = 7 |
2<^2 ( ^ 1 1 2 |
— |
^ п з ) . |
|
C 25 = X l l 2 |
— |
^ 1 1 2 - ^ 1 1 1 . |
||||||||
|
|
C 42 — |
7 |
3 5 2 ( f c J i 2i ^ i 12 — |
^ 122) . |
|
C*44 = |
— 7 2 ^ 2 » |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C45 —7(x 121 —^121^11l)» |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
C52 = - С 2 5 Ы ) 2, |
|
C55 = Pi - |
fxin, |
Б21 = СА2/ Ы ) 2, |
|
||||||||||||
|
|
В 2Ъ= 1, |
5 4I |
= -7(77 - |
7 ^ 22I)> |
B 5l = -C45, |
B 56 = 1, |
|
|||||||||||
я |
= |
c 22c 55 - |
c 52c 25 |
/2 = |
- |
^ |
. |
|
/4 = |
1 - |
^ |
, |
/5 = - ^ |
, |
|||||
|
|
s = l£, |
')c = h/R, |
8 |
= R/l, |
P j = h j / h , |
|
|
|||||||||||
|
Gka = E'cpk , |
akj = E^bkj |
(i,j = |
1, 2), |
ar* = |
№ |
- Д - ,) /г , |
||||||||||||
|
|
“ w |
= |
S |
|
|
|
|
ч - ^ 2 Ь^ 1пт + 2 ж 2 ’ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
fe=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=i |
|
[^ferfe + ~ |
№+z,fc - |
1.552+z,fc) |
- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi = X > n |
h |
r *2 + |
^ |
( 53+i,fc - |
| < W ) |
+ |
|
|
|||||||||
|
|
|
+ Л (^6+i,fc - 3J5+j,fc + |
|<54+iifc^J |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
к |
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A - |
|
^Pfc^i.fc |
+ |
<^9 ^ |
|
— |
[<55,fc - 264,fc + |
^3,fc + 7 (^6,fc - |
255ifc + |
<54ifc)], |
|||||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc-1 |
|
1 |
_ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tk = J 2 |
|
|
|
|
1.5/3?), |
|
|
|
||||||||
|
|
|
.Pj |
|
Pj+ 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U J i j l |
- |
u i j l + № |
+ f a |
h ^ i j l + l , |
|
X i j l = |
X y i |
+ J X |
i j l + U |
p t |
= p t + 7P;+1, |
||||||||
0 = 1 , если используются граничные условия (3.78), и 0 = 0, если используются граничные условия (3.79), (3.80).
Собственные значения матрицы А(£) имеют вид
^ i.2 = 0. A3i4i5i6 = ± Р ± йл A7i8 = ±Л, \Jр 2 + v 2 < А, А > 1 ,
где
А = \ / а + Ь —d i / 3 , р = (m2 + n 2) 1/4c o s |,
<Р = arctg ^ , m = - ( a + 6 + d1/3),
г/= (ш2 + n2)1/4 sin
тг = л/З (а —Ь)/2,
to|-S
3.5. Анализ эффективности численных методов |
119 |
Я — |
+ Дз> Р |
= ~ |
+ |
-^2. D\ — —(й84а48 + а76 + а 12)> |
D 2 = |
Й21 ®76 + ®84®21®48 + |
Й84а76а48 |
—Й84Й78а46 —^26^71 —Я84а28й4Ь |
|
Д 3 = Й84 ( й 78Й46&21 + ^26^71^48 + ^28041^76 — а21а76«48 —
—а2ба78Й41 —071046028)-
В табл. 3.13 представлены величины собственных значений для трехслойной цилиндрической оболочки с однородными слоями при следующих параметрах:
R/1 = 0.5, Е\ = |
Е съ = 30Е\, |
v x = v 2 |
= vz = 0.3, |
l = s x - *>, (3.82) |
|||
h\ — ho = |
— h,2 |
= 0.1/1, |
h2 |
—h\ — 0, 8h. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
T а б л и ц а 3.13 |
|
Собственые значения матрицы А |
||||||
Я/Л |
1 0 |
2 0 |
30 |
|
50 |
1 0 0 |
2 0 0 |
A |
139,0 |
278,3 |
417,6 |
696,1 |
1392,2 |
2784,4 |
|
P |
7,6 |
1 0 , 1 |
1 2 , 1 |
15,3 |
21,4 |
29,9 |
|
и |
5,3 |
8,4 |
10,7 |
14,3 |
2 0 , 6 |
29,5 |
|
Из табл. 3.13 видно, что действительные собственные значения много больше не только единицы, но и модулей комплексных собствен ных значений, что приводит к большой жесткости системы уравнений (3.81).
Для многослойной цилиндрической оболочки с постоянными значе ниями структурных параметров аналитическое решение системы (3.81) имеет вид
Vi = |
Du + Di2£ + Д з е ^ -1) cos(i/£) + D i4 ell^ ~ ^ sin(i/£)+ |
||||||
+ |
Di5e- ^ cos(i/£) + Д 6е_/Х^sin(i/£)] + Д |
7еА^ _1) + D i8 e~x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.83) |
где ненулевые величины Dij представлены выражениями |
|||||||
|
Du = — |
( — bJ - b 2) . |
D a = C3h . |
D ,t = CtU. |
|||
|
®21 |
\0-7b |
) |
|
|
|
|
^15 = |
— C b h , |
Е ю |
= |
— C o t s , |
D \ 7 = C 7 X 2 |
— Я7 6 + й78Я2б/й28. |
|
Die = C%Dn/C7, |
Д 2З = Сз(/^7 —^ e). |
Д 24 = С з(^8 ~ ^ 7). |
|||||
Д25 — |
— u t 7 ) , £>26 —— C o ( f l t 7 — u t g ) , D 27 = АД17, |
120 |
|
|
Гл. 3. Методы решения краевых задач |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D28 = - A0i8. |
031=02» |
Dz2 =<k, |
|
/xcfo —ud4 |
|||||||||
0зз — |
2 j |
2 ~' |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц |
+ |
V |
|
ud$ + pd* |
|
0 3 5 |
— — |
fJ*d5 Н- i/d6 |
■^36 |
_ v d b~ /xd6 |
||||||
034 |
2 |
, |
,2 |
’ |
2 . |
2 |
’ |
|
2 , |
2 ’ |
|||
|
|
/x + |
|
|
|
/X + 12 |
|||||||
|
/x |
+ |
u |
|
|
|
|
|
|
||||
|
B 3 7 = |
f , |
Д - - |
- f . |
° « |
= |
i |
{ Z b7~ |
h ) |
’ |
|||
|
|
D 4Z = |
С з (^ и |
- |
Vt\2/ aZ4), |
044 = |
^ 4 (^ 1 2 |
- |
* ' i l l / « 84), |
|
|||||||||||||
|
D45 = |
- C sifitn |
- |
I^tl2/«84). |
046 = - C G{fJ,ti2 |
- |
^п/«84)» |
b7 |
|||||||||||||||
|
|
= A07£>87«84» |
048 = - C |
|
|
|
|
0 51= Cl, |
|
|
|||||||||||||
D 47 |
SD 4 7 / C 7 , |
£>61 |
= “ ^ » |
||||||||||||||||||||
|
D e 3 |
= |
Сз^9» |
£>64 = |
C ^ IO , |
£>65 = |
C ^ tio , |
£>66 — — C e t g , |
|
||||||||||||||
|
|
D Q7 |
= |
С 7 [ а 7 1 + «78(A2 - |
a2i)/a 28], |
£>68 = C & D e 7 / C |
7 , |
|
|||||||||||||||
£>73 = |
C 3(/Xt9 - |
U t w ), |
|
D 74 = C |
4 |
( l i t l 0 - |
v |
t |
9 ) , |
£>75 = |
- C s ( t * t 9 ~ |
v t l 0 ), |
|||||||||||
D 7G |
- |
- C G{ fltiO - |
^ 9 ), |
£>77 |
= A£>67I |
£>78 = -A £ > 6 8 , £>83 = 03*11, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
£>84 = |
0 4 * 12» |
085 |
= |
0 5 * 12» |
|
£>86 = |
—0 6 * 11» |
|
|
||||||||||
0 87 = |
CV[(A2 - |
o,2\)D\7/a23 —a26067/«2s]. |
£>88 = |
CSD S7/C 7, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t i |
= /X2 — Z22 — a 76 + |
а78«2б/«28, |
|
*2 = |
2/Х1Л |
|
|
|||||||||||
|
^ 3 |
= |
a 7i — a 78 « 2 l/« 2 8 |
+ «78 (l^2 — l/2 ) / a 28> |
*4 |
= |
2 a 7e/xi/ / a 28> |
|
|||||||||||||||
|
|
|
i5 |
= |
(/x2 - |
|
i'2 - |
a2\)t\/a28 - |
2/xi/t2/a 28 - |
«2 б*з/«2 8 , |
|
||||||||||||
|
|
|
£6 = (/X2 - |
|
Z22 - |
a2i)*2/a 28 + |
2iiut\/a28 - |
«26^4/«28, |
|
||||||||||||||
|
|
t 7 = |
ti |
+ |
|
* 2 , |
*8 = |
*1t2,*9 |
= |
*3 “I- |
*4 , |
1 1 0 = |
*3 |
*4» |
|
||||||||
ill |
= |
*5 + |
*6» |
*12 = |
^5 —^6. |
<*2 = «31 £>11 + |
«35051 + |
«Зб£>61 + |
Ьз, |
||||||||||||||
d3 = |
«31013 |
+ |
|
|
«36063 + «38083»d 4 = a3i£>!4+ |
«36064+ |
«38084» |
||||||||||||||||
C^5 = |
Й310 J5 + |
|
|
«36065 + «38085»<*6 = «31016+ «36066+ «38086» |
|||||||||||||||||||
d 7 = |
«31 £>17 + |
«36067 + |
« 38087» |
<*8 — «31018 + |
«36068 + |
« 38088- |
|||||||||||||||||
Константы интегрирования С* находятся из граничных условий. Для конкретных граничных условий величины 0^ находились с помо щью пакета MAPLE и в виду их громоздкости здесь не приводятся.
На рис. 3.16 приведен вид некоторых разрешающих функций и их производных для задачи изгиба цилиндрической оболочки с жесткими днищами.
Расчеты проводились с параметрами (3.82) и R /h = 10. Сплошным линиям на рис. 3.16, а, б соответствуют W *, П*; штриховым — W ', П '; пунктирным — W " , С/'. Рис.3.16 еще раз иллюстрирует тот факт, что решения задачи расчета НДС цилиндрических оболочек имеют ярко выраженные краевые эффекты.
В табл.3.14 представлено сравнение результатов, полученными ме тодами сплайн-коллокации (пакет COLSYS) и дискретной ортогонализации (пакет GMDO) с аналитическим решением (3.83) для цилин-
3.5. Анализ эффективности численных методов |
121 |
дрической оболочки при параметрах (3.82). Здесь S i — безразмерное обобщенное усилие. Из табл. 3.14 видно, что оба численных метода успешно справляются с решением задачи изгиба цилиндрической обо лочки в неклассической постановке.
О |
0,25 |
0,5 |
0.75 |
£ |
Рис. 3.16
Т а б л и ц а 3.14
Параметр
T O L
1 (Г 4
1 (Г 6
1 (Г 8
Относительная погрешность 5 по компонентам
W ' |
|
W |
|
П |
|
|
5, |
|
|
|
|
|
Пакет COLSYS |
|
|
|
|||
7,51 |
• 10_ 6 |
0 0 сл |
о 1 |
|
1,39- |
10- 5 |
7,62 • 10- 7 |
||
1,29 |
- 10“ 6 |
3,41 ■10“ |
8 |
2,40 • |
10“ 6 |
0 0 |
о |
1 |
|
3,22 • 10“ 9 |
1,72 - Ю |
10 |
5,72 • |
10“ 9 |
8,30- Ю“ |
10 |
|||
J
300 7,77 ■10~ 4
600 6,32 ■10- 5
1 2 0 0 4,56 ■10~ 6
|
Пакет GMDO |
|
|
||
1,3810" |
5 |
1,4410" 3 |
7,86 |
• 10- 5 |
|
1 ,1 |
2 - 1 0 “ |
6 |
1,16- И Г 4 |
6,39 |
• 10_ 6 |
00 |
о |
00 |
8,39 • 10“ 6 |
4,62 |
• 10“ 7 |
|
1 |
|
|
|
|
Зная характер поведения решения, можно предположить, что нали чие краевых эффектов приводит к тому, что наибольшая погрешность будет достигаться вблизи краев. На рис. 3.17, а и б представлен вид погрешностей для функции П, получаемых при вычислении пакетами GM D O при J = 1200 и COLSYS при T O L = 10_6, соответственно. Д ля метода дискретной ортогонализации, как и в случае с цилиндрической пластинкой, наблюдается накопление погрешности вблизи границ. Д ля пакета COLSYS этот эффект проявляется в меньшей степени. В связи с этим, опираясь на известное аналитическое решение, для цилиндри-