книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

62 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения

Рассмотрим геометрически линейные и нелинейные варианты теорий Кирхгофа-Лява, Тимошенко, Андреева-Немировского [9] и Григолюка-Куликова [129].

В качестве исходной используем систему уравнений (2.18) — (2.30), (2.31), а также соотношения упругости, записанные для к-го слоя (1.1).

Проанализируем поведение пластины при использовании различных типов краевых условий: защемленного внутреннего контура и нагру­

а также случай, когда защемлены оба контура:

2.4.2. Разрешающие системы уравнений. Выпишем разрешаю щие системы уравнений осесимметричного НДС пластины: для теорий Кирхгофа-Лява, Тимошенко и Андреева-Немировского [9] для ортотропной пластины и для нелинейной теории ГриголюкаКуликова [129]. Разрешающую систему уравнений для первого случая выпишем в обезразмеренных функциях:

Уо = x T n / P h , у\ = x b N n / P h 2, y 2 = x M u / P h 2, y 3 = x S \ \ E \ / P h A,

64 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения

Разрешающую систему уравнений для анизотропной пластины в рамках теории Григолюка-Куликова [129] выпишем в виде

где в качестве разрешающих выбраны следующие функции:

дач расчета замкнутых в окружном направлении оболочек вращения и круглых пластин —метод разделения переменных с применением тригонометрического представления функций в окружном направлении [145, 149, 157, 213, и др.]. С помощью такого подхода двумерные краевые задачи определения НДС пластин и оболочек сводятся к ре­ шению краевых задач для систем ОДУ. Порядок систем дифференци­ альных уравнений при этом возрастает кратно, пропорционально таким параметрам, как количество учитываемых гармоник в разложениях функций в ряды Фурье, порядок используемых сплайнов и т.п. В ряде практически важных случаев краевая задача для систем ОДУ высо­ кого порядка может распадаться на подзадачи меньшего порядка, что существенно упрощает их численное решение.

При численном интегрированим краевых задач для систем ОДУ, возникающих либо после понижения размерности исходной задачи, либо при определении одномерного НДС пластин и оболочек, наи­ большее распространение получил метод дискретной ортогонализации [24, 129, 145, 149, 157, 182, и др.]. Среди других методов реше­ ния одномерных краевых задач выделим метод сплайн-коллокации [161, 326]. Особо отметим метод инвариантного погружения [8, 9], разработанный специально для решения задач определения НДС мно­ гослойных пластин и оболочек в рамках уточненной теории [9].

Нелинейные задачи обычно линеаризуются на разных этапах ре­ шения исходной задачи. Для этого используются различные методы линеаризации [156], модификации метода Ньютона [181, 323], метод последовательных нагружений [269] и др.

3.1.О сведении двумерных краевых задач

кодномерным

Рассмотрим двумерную краевую задачу для системы дифференци­ альных уравнений с частными производными, разрешенной относи­ тельно производных по одному из направлений вида

где к немому индексу ш применяется правило суммирования. К си­ стемам такого вида можно привести, например, исходные соотношения определяющие НДС композитных оболочек. При этом порядок систе­ мы уравнений и то, какие из производных по второму направлению будут входить в систему, зависит от используемой теории оболочек. Так, для теории Кирхгофа-Лява порядок системы уравнений равня­ ется 8 и в правой части присутствуют производные первого и вто­

ка; для теории Андреева-Немировского порядок разрешенной системы

дифференциальных уравнений равен 12; для теории ломаной линии Григолюка-Куликова — 4К + 6, где К — число слоев оболочки.

Рассмотрим несколько практически важных классов краевых за­ дач расчета замкнутых в окружном направлении оболочек вращения и круговых пластин. Первый — класс осесимметричных задач, когда

Другой важный класс — линейные задачи неосесимметричной де­ формации оболочек осесимметричного строения, что соответствует си­

где ip —координата в окружном направлении. Граничные условия по окружной координате — условия «склейки», условия по меридиональ­ ной координате запишем в виде

задач опишем метод разделения переменных для сведения двумерной краевой задачи к одномерным.

Итак, если участвующие в постановке краевой задачи (3.2), (3.3) вектор-функция свободных элементов системы f(s, р) и функция gp(ip) допускают разложение в ряды Фурье вида:

7 1 = 1

то обобщенное решение соответствующей краевой задачи также можно представить в виде ряда Фурье:

Такое представление решения автоматически удовлетворяет условиям "склейки" по окружной координате.

Подставляя разложения (3.4), (3.5) в систему уравнений (3.2) и граничные условия (3.3) получаем

Домножая скалярно в пространстве L2 выражения (3.6), (3.7) на эле­ менты тригонометрического базиса sin(n<£) и cos(n</?), получаем ряд одномерных краевых задач для определения амплитудных факторов:

= ( _ 1) - n 2- A2m(s)y_n(s) + (- 1)™+i„2™+iA2m+1(e)yn(e)+

+ A (s)y _ n(s) + f_„(s), (gp.y-n(sp)) - 9p-n = 0; (3.9)

= (—l)mn2m+1y _ n (s)A 2m+1(s) + ( - \ ) mn 2my n (s)A2 m{s) +

Отметим, что если существует A m(s) ф 0, где ш — нечетное, то краевые задачи (3.9) и (3.10) для определения y _ n (s) и yn (s) явля­ ются связанными, и тем самым порядок разрешающей системы ОДУ удваивается.

Вследствие линейности исходной двумерной и разрешающих од­ номерных краевых задач, при использовании изложенного подхода необходимо рассчитывать лишь те гармоники, для которых отличны от нуля коэффициенты f_n(s), fn(s) или gp n . Это существенно сокращает объем необходимых для решения задачи вычислений.

3.2. Особенности систем дифференциальных уравнений при решении краевых задач

К решению одномерных краевых задач сводится широкий класс задач математической физики и других областей науки, в частности задачи расчета и анализа НДС композитных оболочечных конструк­ ций. При этом получаемые системы уравнений могут иметь высокий порядок, содержать большие и малые параметры, вследствие чего ре­ шения задач имеют ярко выраженный характер погранслоев. Проблемы численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ разработаны достаточно подробно, в отличие от вопросов решения кра­ евых задач. Рассмотрим основные отличия систем уравнений в краевых задачах от систем уравнений в задачах Коши.

В работах, посвященных проблемам численного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ [162, 256, 282, и др.], рассмат­ риваются задачи, решение которых устойчиво относительно начальных данных. Для таких задач спектр матрицы системы лежит в левой комплексной полуплоскости, хотя допускается и существование соб­ ственных чисел с малой положительной действительной частью. Об­ ласти устойчивости методов численного интегрирования задач Коши также лежат преимущественно в левой комплексной полуплоскости

ине содержат действительных положительных собственных чисел. Для явных методов, кроме этого, области устойчивости ограничены.

Так на рис. 3.1, а представлены области устойчивости методов типа Рунге-Кутты второго (пунктирная линия), третьего (штриховая линия)

иРунге-Кутты-Мерсона четвертого (сплошная линия) порядка [256].

Рис. 3.1

В отличие от задач Коши, класс краевых задач с устойчивыми ре­ шениями включает в себя задачи, спектры матриц систем которых со­ держат и отрицательные, и положительные действительные значения,