книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

22 Гл. 1. Структурные модели композиционного материала

об однородном НДС в структурных компонентах — основное

Н. С. Бахвалова, Г. А. Ванина, Т. Исикавы, Р. Кристенсена, С. Кобаяси,

Б.Е. Победри, Ю. В. Соколкина, 3. Хашина, Р. Хилла, Л. П. Хорошуна,

Т.Д. Шермергора, С. Штрикмана и др. Такие модели требуют значи­ тельного объема вычислений уже на стадии определения эффективных

характеристик КМ, поэтому их использование при практических расчетах НДС многослойных конструкций с переменными параметрами армирования слоев не нашло пока широкого применения. Тем не менее, эти модели могут эффективно использоваться для оценки применимости используемых в расчетной практике приближенных моделей и их уточнения, когда это необходимо.

1.2. Определяющие соотношения полиармированного слоя

Связь между осредненными напряжениями аар, таз и деформация­ ми еар, 7аз в полиармированном слое (обобщенный закон Гука) имеет вид

&OLOL —Q'OLOL^'OLOL

где 0 — приращение температуры. Соотношения (1.1) называют также соотношениями термоупругости или, при отсутствии температурных слагаемых, просто соотношениями упругости.

исследований в данном направлении и широко используется при моде­ лировании композитных конструкций. Модель основывается на пред­ положениях об однородности НДС в изотропных упругих волокнах и во всем объеме изотропной идеально упругой матрицы, совместности деформаций волокон и связующего в направлении армирования, равен­ ства напряжений в волокнах и матрице по остальным компонентам.

Для вычисления эффективных упругих коэффициентов однонаправ­ ленного волокнистого композита используются методы осреднения по Фойгту и по Рейссу, дающие следующие формулы:

Там же выписана более полная формула для эффективного модуля Е%, в которой учитываются слагаемые порядка квадрата от коэффициентов Пуассона:

Наряду с данной моделью рассмотрим базирующуюся на ней модель армированного слоя [129] (МБГ), которая предназначается авторами для описания свойств резинокордных материалов. В качестве величин, характеризующих удельное содержания компонент, принимаются диа­ метр D круглого волокна и плотность укладки — характерное число нитей п на ширину I сечения представительного элемента плоскостью, перпендикулярной к направлению укладки волокон. Описанные харак­ теристики позволяют вычислить объемное содержание арматуры в слое

используется формула (1.12). Для учета сдвигов в слое и поперечных

ных компонент. При восстановлении напряжений в волокнах их напряженно-деформированное состояние рассматривается как одномер-

бц = е\\1\{ф) + 2ei2/i(VOMVO + е22^ (^ ) — продольные деформации

вволокне.

1.2.2.Модели КМ с одномерными и двумерными волокнами (мод ли Ю. В. Немировского) являются развитием идей, заложенных в МБ. Пренебрежение «многомерностью» НДС волокна и рассмотрение его как нити позволило построить существенно более простые, с точки зрения математики, модели КМ с одномерными волокнами (МОВ, МОВУ) [217, 218]. Уравнения этих моделей, в отличие от МБ, линейны относительно таких характеристик КМ, как объемные содержания свя­ зующего и армирующих волокон, и просты, поэтому их удобно приме­

нять при решении задач рационального проектирования композитных конструкций. Модель с двумерными волокнами (МДВ) [220] является, в свою очередь, уточнением МБ с более четкими и точными мате­ матическими формулировками и выводами формул для характеристик армированного материала.

Ниже будут выписаны соотношения для структурной модели с двухмерными волокнами. Уравнения для перечисленных выше моде­ лей с одномерными волокнами, а также нитяной модели (НМ) [260] вытекают из них как частные случаи. Материал армированного слоя оболочки полагается идеально упругим, с плоскостью симметрии,

26 Гл. 1. Структурные модели композиционного материала

параллельной отсчетной поверхности оболочки. Приведем основные предположения для рассматриваемых моделей [220].

1.Полиармированный слой (рис. 1.1) представляет собой изотроп­ ное упругое однородное связующее с внедренной в него регуляр­ ной сетью однонаправленных упругих изотропных волокон.

2.Число армирующих волокон достаточно велико, так что армиро­ ванный слой можно считать квазиоднородным.

3.Внедренные в связующее армирующие волокна воспринимают как растягивающие, так и сжимающие усилия.

4.В процессе деформирования удлинения и сдвиги остаются малы­ ми по сравнению с единицей.

5.Элементы композиции соединены идеально: отсутствует про­ скальзывание между армирующими элементами и связующим.

6.Расстояние между армирующими элементами достаточно велико

по сравнению с их поперечными размерами и в то же вре­ мя достаточно мало по сравнению с рассматриваемым элемен­ том оболочки, поэтому локальными эффектами вблизи волокон и нерегулярностью деформации между смежными волокнами бу­ дем пренебрегать.

7.а. Армированный слой представляет собой сеть одномерных волокон; нагрузка воспринимается только армирующими волокнами, а напряжения в связующем не учитываются (рис. 1.2, а).

б.Армированный слой — сеть одномерных волокон; попереч­ ные сдвиговые напряжения воспринимаются только слоя­ ми связующего, а армированные слои являются абсолютно жесткими на сдвиг (рис. 1.2,6, в).

в.Армирующие волокна имеют прямоугольное поперечное се­ чение (рис. 1.2, г), а их НДС рассматривается как двумерное.

28 Гл. 1. Структурные модели композиционного материала

в поверхности и в направлении толщины оболочки для 7г-го семейства арматуры; и™ = 1 —и п для МДВ и МОВУ, а для МОВ и НМ и™ = 0; фп — угол укладки 7г-го семейства арматуры.

Соотношения МДВ [220] получаются при <5=1; моделям с одно­ мерными волокнами [218] соответствует <5= 0; формулы для НМ [260] получаем при <5= 0, Ес = 0.

После того как определены средние напряжения и деформации представительного элемента можно найти напряжения и деформации в структурных элементах КМ, а именно в связующем материале и ар­ матуре.

Для нитяной модели напряжения и деформации арматуры 7г-го слоя будут иметь вид [260]:

Для модели с одномерными волокнами к соотношениям (1.16) до­ бавляются выражения для напряжений в прослойках связующего [235]:

Е с

Для уточненной модели с одномерными волокнами к напряжениям и деформациям, определяемым соотношениями (1.16), (1.17), нужно добавить выражения для напряжений и деформаций связующего в ар­ мирующем слое

Невыписанные компоненты напряжений для волокон и связующего для МОВ и НМ полагаются равными нулю.

Для МДВ напряжения в арматуре, в связующем армирующего слоя и в связующем между армирующими слоями будут иметь вид [9]:

Е с

(1.19)

а

( 1.20)

Здесь Л, р = 1,2 и используется правило суммирования по немым индексам.

1.3. Критерии прочности и начального разрушения полиармированного слоя

Проблемы прочности КМ разрабатывались многими авторами и по­ лучили в литературе широкое освещение. Как и при построении моде­ лей КМ, при установлении критериев прочности можно выделить два основных похода — феноменологический и структурный. В рамках пер­ вого из них КМ рассматривается как квазиоднородная упругая среда, для которой постулируется критерий прочности. Параметры, входящие в его математическую формулировку, определяются из эксперименталь­ ных данных. Среди феноменологических критериев прочности важное место занимает тензорно-полиномиальный критерий [205], который обобщает практически все известные феноменологические критерии. Однако следует отметить, что даже для относительно простых ви­ дов напряженного состояния требуется реализовать весьма трудоем­ кие программы экспериментов и математической обработки получен­ ных данных. Другой недостаток таких критериев — их формулировка в терминах средних напряжений, что не позволяет выявить механизм возникновения начального разрушения и исследовать направление его дальнейшего развития.

Структурный подход свободен от указанных недостатков. Это на­ правление базируется на изучении напряжений в элементах субструк­ туры, для каждого из которых принимается тот или иной критерий

30 Гл. /. Структурные модели композиционного материала

прочности. После определения средних характеристик НДС в кон­ струкции напряжения в элементах КМ восстанавливаются с помощью уравнений структурной модели. Таким путем вычисляются разруша­ ющие интенсивности внешних нагрузок всех элементов композита, и наименьшая из них принимается за нагрузку начального разрушения. Этот подход позволяет выявить эффективность работы связующего и армирующих элементов, указать рациональные по прочности пара­ метры армирования.

Рассмотрим структурный критерий прочности волокнистого КМ [9], который будет использован ниже в конкретных расчетах. Наряду с до­ пущениями, сформулированными в предыдущем разделе, примем сле­ дующие два постулата:

—адгезионная прочность связующего не ниже когезионной;

—материалы связующего и армирующих элементов подчиняются условиям прочности вида

где <Т+, а~ — пределы прочности материала на растяжение и на сжатие соответственно.

В качестве условий прочности можно принять, например, критерий Баландина [120], тогда

F = FB — [o'и + а %1 + ^ЗЗ ~ Оц 022 —ОцСГзз —022033 +

+ Ъо\2 + Зг12з + Зг23 - (а+ - о ~ ){о ц + сг22 + СГ33)] (сг+сг- ) - 1 . (1.22)

Если пределы прочности на растяжение и сжатие совпадают о + = о~ —= а*, то из (1.22) получаем критерий Мизеса

При использовании критерия Мизеса удобно использовать приве­ денные интенсивности напряжений в матрице и волокнах n -го семей­ ства арматуры

bsr = max ISUp FM {Ofa0)cV r (Q3)cl >o£),

^Slip F M (^(Q|3)C2> ДаЗ)с2>0’*) >>

где V — область занятая слоем. Начальное разрушение в матрице или волокнах произойдет в случае, когда bsc, bs™ > = 1 соответственно.

Основываясь на приведенных зависимостях, линейная задача опре­ деления нагрузки начального разрушения армированного слоя реша­

ется следующим образом. Пусть рассматриваемая оболочка нагружена системой внешних нагрузок, интенсивности которых пропорциональны скалярному параметру Р. В силу линейности дифференциальных урав­ нений и граничных условий соответствующей краевой задачи статики оболочечных конструкций напряжения в волокнах и связующем будут пропорциональны Р [9]. Тогда нагрузки начального разрушения обрат­ нопропорциональны интенсивностям напряжений в соответствующих элементах и равны для связующего, волокон n -го семейства и слоя в целом

Р : = Р Ы~ с '. Р Г = Р-(Ь~8Па Г ' , P ' = min{Pc*,P„*"}. (1.25)

где величины bs_C} bsa соответствуют НДС при значении скалярного параметра Р = Р.

Для определения нагрузки начального разрушения в нелинейном случае можно использовать следующий итерационный процесс.

1.Задается начальное значение нагрузки Р '.

2.Решается задача определения НДС оболочки (пластины) при значении скалярного параметра Р = Р '.

3.Вычисляется bs* = max{6s£, bsc} и Р* по приведенным выше формулам.

4. Если |1 - 6s* | > е > 0, то задается новое значение величины Р ' =

= Р* и осуществляется возврат к пункту 2.

5.Искомое значение нагрузки начального разрушения равно Р*.

1.4. Сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными

Вопрос о сравнении эффективных упругих и прочностных характе­ ристик армированных композитов, рассчитанных на основе различных моделей армированной среды, с данными, полученными из экспери­ ментов, весьма актуален. В литературе в основном представлены экс­ периментальные данные по продольному и поперечному растяжениям и сдвиговой деформации в плоскости слоя однонаправленно армиро­ ванного образца.

тально и по моделям [9, 32].

висимости от удельного содержания арматуры с применением МДВ (сплошные кривые) и МОВ при az = 1 —ша (пунктирные кривые) и при az — 1 (штриховые кривые). Символами А на графике обозначены соот-