книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

Матрица, которая соединяет армирующие элементы, способствует совместной работе волокон и перераспределяет нагрузку при разру­ шении части волокон, фиксирует форму изделия. Метод изготовления конструкции определяется типом матрицы. Матрица должна обладать достаточной жесткостью, так как при нагружении, не совпадающем с ориентацией волокон, ее прочность является определяющей. Матрица также должна удовлетворять технологическим требованиям, к которым относятся возможность предварительного изготовления полуфабрика­ тов, хорошее смачивание волокна жидкой матрицей в процессе про­ питки, качественное соединение слоев композита, обеспечение высокой прочности соединения матрицы с волокном. В качестве связующего применяются термореактивные и термопластичные полимеры, углерод­ ные, керамические и металлические матрицы. Механические свойства некоторых матриц приведены в табл. 2.

Композиционные материалы способны изменять свою внутреннюю структуру, что открывает широкие возможности управления НДС кон­ струкций, тем самым обеспечивая наилучшие условия их работы.

Существенный прогресс в проектировании и применении оболо­ чечных конструкций может быть достигнут при использовании но­ вых типов конструкционных композитных материалов: армированных пластиков, металлов и керамик. На основе композитов становится реальным создание материалов с требуемыми свойствами за счет под­ бора материалов матриц и траекторий армирующих волокон. Суще­ ствующие сегодня углепластики и боропластики выгодно отличаются

высокой жесткостью и прочностью, превосходящими в несколько раз соответствующие параметры высокопрочных сталей. В то же время эти материалы обладают намного меньшим удельным весом. Качество подобных материалов можно варьировать в широких пределах, при этом арматурой могут служить волокна и других материалов, например графита, карбида кремния, базальта.

В рамках единой технологии могут создаваться полиармированные композиты с одновременным внедрением в матрицу волокон разной природы и с разными траекториями. Следует также иметь в виду, что получение композитных оболочек из армированных пластиков во многих случаях может оказаться технологически более простой про­ цедурой, чем создание конструкций из металлов. Например, стальной корпус цистерны или котла изготавливают путем сварки из предвари­ тельно согнутых листовых заготовок, тогда как стеклопластиковая кон­ струкция получается путем намотки стеклонити на разборную оправку заданной формы. Подобная технологическая процедура может быть реализована при создании слоистой оболочки, если в качестве заготов­ ки использовать однослойную металлическую оболочку заданной гео­ метрии или предварительно изготовленную армированную оболочку, наращивать на нее слои с другими волокнами или другой структурой

производственно-технологических средств их изготовления важное значение имеет также проблема снижения материалоемкости. Для конструкций, используемых в авиации, космонавтике и подводном судостроении, повышенная материалоемкость может привести к невоз­ можности качественного функционирования технического объекта. В последнее время эта проблема становится ключевой также при создании объектов машиностроения и индустриального строительства по экономическим соображениям из-за отсутствия и дороговизны необходимых конструкционных материалов. Поэтому в последние десятилетия во всем мире проводятся активные разработки теории оптимального и рационального проектирования конструкций.

Использование композитных пластин и оболочек в качестве несу­ щих элементов в конструкциях ответственного назначения вызвали необходимость учета дополнительных факторов, в частности, ярко выраженной анизотропии деформативных свойств полиармированных материалов, а также ослабленное сопротивление многослойных кон­ струкций поперечным деформациям. Это, в свою очередь, потребовало разработки неклассических вариантов теорий пластин и оболочек и по­ ставило перед специалистами принципиально новые задачи. Использо­ вание существенно различных статических и кинематических гипотез привело в результате к значительному разнообразию расчетных схем и систем уравнений.

Анализ работ, посвященных многослойным оболочкам, позволил выделить несколько основных направлений в развитии общей теории таких оболочек.

К первому, исторически более раннему направлению относятся работы, в которых применяются гипотезы Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев. Эта расчетная схема является простейшей и до сих пор применяется во многих работах по многослойным оболочкам. Для тон­ ких изотропных и слабо анизотропных оболочек она вполне приемлема. Статическим и динамическим задачам расчета анизотропных слоистых оболочек, базирующихся на гипотезах Кирхгофа-Лява, посвящена об­ ширнейшая литература.

Ко второму направлению могут быть отнесены работы, посвящен­ ные построению неклассических уточненных двухмерных теорий, учи­ тывающих поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные дефор­ мации и напряжения в слоях), на основе “интегральных” гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений и пе­ ремещений по толщине всего пакета слоев в целом. Порядок получа­ ющихся при этом систем уравнений не зависит от числа слоев. Во многих работах учет деформаций поперечного сдвига производится на основе гипотезы Тимошенко (гипотезы прямой линии) для всего паке­ та слоев. Другой вариант построения теории анизотропных слоистых оболочек этого направления связан с введением гипотез о характере распределения поперечных касательных напряжений по толщине всего пакета слоев. Применительно к тонким пластинам и оболочкам та­ кие допущения о распределении поперечных касательных напряжений были предложены С. А. Амбарцумяном и названы им итерационной, уточненной и новой итерационной теорией [3-5].

В монографии А. Н. Андреева и Ю. В. Немировского [9] дан кри­ тический анализ работ этого направления, разработаны и приведены непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов системы дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, установ­ лены системы внутренних усилий, соответствующие принятым моде­ лям деформирования, сформулированы корректные краевые условия, предложен и реализован метод численного решения краевые задач

14 Введение

неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения.

К третьему направлению относятся работы, посвященные построе­ нию уточненных двухмерных теорий, учитывающих поперечный сдвиг, а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в сло­ ях, введением кинематических гипотез для каждого отдельного слоя. Порядок получающихся систем уравнений при этом зависит от чис­ ла слоев. Наиболее известными работами этого направления являют­ ся работы Э. И. Григолюка, П.П.Чулкова [138-140] и В. В. Болотина, Ю. Н. Новичкова [32]. Подробный анализ работ этого направления дан в обзоре Э. И. Григолюка, Г. М. Куликова [132].

И хотя к настоящему времени достигнут значительный прогресс в развитии математического моделирования и методов расчета тон­ костенных оболочечных систем, изготовленных из КМ, эта область механики деформируемого твердого тела остается еще весьма сложной

инедостаточно изученной.

Всвязи с этим разработка и сравнительный анализ уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей композитов, учи­ тывающих особенности реальной структуры, нелинейные процессы деформирования и разрушения, разработка методов решения прямых задач расчета и обратных задач рационального проектирования компо­ зитных конструкций несомненно являются актуальными проблемами.

Следует отметить, что переход от классической теории пластин и оболочек к уточненным теориям сопровождается не только увеличе­ нием порядка систем дифференциальных уравнений, но и качествен­ ным изменением структуры их решений, появлением новых быстровозрастающих и быстроубывающих решений, имеющих ярко выраженный характер граничных слоев. Традиционные схемы и алгоритмы числен­ ного интегрирования краевых задач на таких классах жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений оказываются малопригод­ ными. Поэтому разработка эффективных численных методов решения краевых задач для уточненных теорий пластин и оболочек является также весьма важной и актуальной проблемой.

Актуально и применение уточненных теорий пластин и оболочек, структурных моделей КМ при решении практически важных задач расчета НДС композитных конструкций, определении механизмов их разрушения.

Задачи настоящей монографии:

•моделирование термомеханического поведения многослойных полиармированных тонкостенных конструкций, сравнение расчет­ ных эффективных упругих и прочностных характеристик волок­ нистых композитов, рассчитанных на основе различных структур­ ных моделей поведения армированного слоя, с эксперименталь­ ными данными;

•исследование проблемы деформирования упругих слоистых полиармированных пластин и оболочек вращения на основе различ­ ных теорий, выявление зависимости их поведения от структурных и механических параметров композиционных материалов;

•разработка эффективных алгоритмов для решения краевых задач для жестких систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе поведения композитных пластин и обо­ лочек;

•формулировка задач рационального и оптимального проектирова­ ния армированных оболочек и пластин при использовании весо­ вых, стоимостных, прочностных, жесткостных, технологических критериев качества;

•разработка метода решения задач рационального проектирова­ ния упругих армированных оболочек вращения, исследование возможностей реализации в них рациональных напряженно-де­ формированных состояний.

Всоответствие с этими задачами материал монографии разбит на три части, объединяющие восемнадцать глав.

Часть I, состоящая из трех глав, содержит основные уравнения и со­ отношения механики многослойных композитных пластин и оболочек

вращения и методы их решения.

Гл. 1 посвящена вопросам моделирования свойств композитов. При­ ведены определяющие соотношения ряда структурных моделей ком­ позиционного материала: нитяной, с одномерными волокнами, уточ­ ненной с одномерными волокнами, с двухмерными волокнами. Пред­ ставлены используемые критерии прочности и начального разрушения композитов. Проведен сравнительный анализ расчетных характеристик композиционных материалов с экспериментальными данными.

Гл. 2 посвящена описанию основных положений классической и ря­ да уточненных теорий пластин и оболочек. В ней приведены исход­ ные и получены разрешающие системы дифференциальных уравнений, описывающие НДС многослойных армированных пластин и оболочек вращения, включающие в себя линейные и нелинейные варианты тео­ рий Кирхгофа - Лява, Тимошенко, Андреева - Немировского и Григолю каКуликова.

Гл. 3 посвящена методам решения краевых задач механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. Рассматриваемые системы дифференциальных уравнений имеют высокий порядок, переменные коэффициенты, малые параметры, приводящие к появлению краевых эффектов. Математически это проявляется в наличии в фундамен­ тальной системе решений как быстро, так и медленно возрастающих и убывающих функций, что приводит к плохой обусловленности матри­ цы системы, определяющей произвольные постоянные в общем реше­ нии исходной системы дифференциальных уравнений. Такие системы принято называть жесткими, а соответствующие задачи — задачами с пограничным слоем. При численном решении последних возникают

трудности, связанные с неустойчивостью счета. Обсуждаются пробле­ мы и подходы преодоления таких трудностей. Приведено описание метода сплайн-коллокации и метода дискретной ортогонализации, ко­ торый лег в основу созданного программного комплекса. Рассмотрены различные аспекты применения методов дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации для решения задач классической и уточненных теорий пластин и оболочек. Аналитические решения, полученные для ряда задач многослойных конструкций (длинных прямоугольных пла­ стин и цилиндрических панелей, сопряженной арочной конструкции, цилиндрической оболочки), позволили провести исследования устой­ чивости и точности метода дискретной ортогонализации, выработать рекомендации к решению жестких краевых задач механики тонких упругих композитных пластин и оболочек, исследовать различные механизмы потери устойчивости метода дискретной ортогонализации, разработать правила, позволяющие осуществлять устойчивое числен­ ное интегрирование жестких задач, спектральные радиусы которых могут достигать значений порядка 104—105. Предложено несколько способов построения неравномерных сеток для интегрирующей проце­ дуры. Показано, что использование неравномерных сеток, адаптивных к решению, позволяет на 3-4 порядка увеличить точность расчетов.

Часть II, состоящая из десяти глав, посвящена решению прямых задач расчета НДС, определению нагрузок начального разрушения различных классов многослойных композитных пластин и оболочек.

В гл. 4-6 приведены постановки, а также численные решения неосе­ симметричных задач расчета НДС и определения нагрузок начального разрушения упругих слоистых полиармированных оболочечных кон­ струкций. Исследовано влияние структурных и механических характе­ ристик КМ на НДС рефлектора параболической антенны, выполненно­ го в виде тонкой композитной оболочки и подверженного действию соб­ ственного веса, ветровой и температурной нагрузок. Исследованы осо­ бенности деформирования, определены нагрузки начального разруше­ ния упругих армированных куполов и сводов, находящихся в условиях сложного напряженного состояния. Изучено влияние неоднородности и анизотропии КМ на деформирование резинокордной тороидальной оболочки.

В гл. 7-10 приведены постановки, аналитические и численные решения нелинейных осесимметричных задач расчета НДС и опре­ деления нагрузок начального разрушения упругих слоистых полиар­ мированных оболочек и оболочечных конструкций. Рассчитано НДС

иопределены нагрузки начального разрушения многослойных компо­ зитных оболочек нулевой гауссовой кривизны, а также сферических, эллипсоидальных, нодоидных оболочек и комбинированных сосудов давления. Проведено сравнение численных решений, полученных мето­ дами дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации между собой

ис численными решениями, полученными методом инвариантного по­ гружения.

Гл. 11-12 посвящены изучению классов многослойных композит­ ных круглых пластин, круглых и эксцентрических колец. Получены аналитические и численные решения задачи определения НДС много­ слойных круглых и кольцевых пластин с изотропными слоями, симмет­ ричного относительно срединной поверхности строения, нагруженных равномерно распределенным внешним давлением. Исследовано влияние выбора схем армирования и структурных моделей КМ на вид НДС и уровень нагрузок начального разрушения кольцевых бороалюминиевых и углепластиковых пластин. Исследовано влияние геометрических па­ раметров эксцентрического кольца и структурных параметров КМ на расчетные значения НДС и уровень нагрузок начального разрушения.

Гл. 13 рассматривает решение пространственной задачи теории упругости для однослойной и трехслойной толстостенной цилиндри­ ческой оболочки. Проведен анализ результатов расчета слоистых ци­ линдрических оболочек на основе различных вариантов уточненных теорий в сравнении между собой и с решениями, полученными на основе пространственной теории упругости.

Часть III, состоящая из пяти глав, посвящена решению обратных задач рационального проектирования многослойных композитных пла­ стин и оболочек вращения.

В гл. 14 рассмотрены основные задачи рационального проектирова­ ния упругих композитных пластин и оболочек вращения. Представлен обзор работ и анализ подходов к проблеме рационального проектирова­ ния упругих армированных оболочек. Приведены критерии рациональ­ ного и оптимального проектирования, дана общая постановка задачи рационального проектирования.

Гл. 15 посвящена проектированию строго безмоментных армиро­ ванных оболочек вращения как в неосесимметричной, так и в осе­ симметричной постановке. Рассмотрен случай проектирования строго безмоментных оболочек с дополнительным условием равнонапряженности арматуры. Получены новые классы аналитических решений, когда рациональное состояние в оболочке обеспечивается за счет различных функций проектирования: толщины стенки оболочки, углов и интен­ сивностей армирования.

Гл. 16 рассматривает проектирование равнопрочных однородных и композитных пластин и оболочек вращения. Дана общая постановка задачи, в моментной постановке получены условия совместности пере­ определенной системы дифференциальных уравнений, выведены разре­ шающие системы уравнений, получены новые классы аналитических решений для круглых и кольцевых пластин, армированных оболочек вращения и комбинированных оболочечных конструкций.

Гл. 17 посвящена проектированию полужестких композитных обо­ лочек вращения. Представлена общая постановка задачи, в моментной постановке получены условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений, выведены разрешающие системы урав-

18 Введение

нений, получены новые классы аналитических решений для армиро­ ванных оболочек вращения.

В гл. 18 исследуется проблема проектирования композитных оболо­ чек минимального веса. Получены условия разрешимости переопреде­ ленных систем дифференциальных уравнений упругих осесимметрич­ ных оболочек при использовании в качестве критериев рациональности требования постоянства удельной потенциальной энергии. Выведены разрешающие системы уравнений, получены новые классы аналити­ ческих решений, проведен анализ эффективности полученных рацио­ нальных решений.

Ча с т ь I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Г л а в а 1

СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ композиционного

МАТЕРИАЛА

1.1.О феноменологическом и структурном подходах

кмоделированию свойств композитов

При определении физико-механических свойств КМ можно выде­ лить два основных подхода: феноменологический и структурный. В рамках первого подхода армированные материалы моделируются одно­ родной анизотропной средой с эффективными физико-механическими свойствами. Механические параметры материала определяются при этом из экспериментов. Поскольку КМ создается, как правило, од­ новременно с изготовлением конструкции, его характеристики будут в общем случае функциями координат, что потребует проведения серий экспериментов для каждой точки конструкции и, значит, практически невыполнимо.

Следует отметить, что в рамках феноменологического подхода оста­ ется неизвестной связь между средними напряжениями и деформа­ циями КМ и напряжениями и деформациями составляющих его ком­ понентов. Такой подход не дает возможности оценить эффективность работы каждого элемента КМ, а следовательно, не позволяет ставить

ирешать задачи рационального проектирования композитных пластин

иоболочек.

От этих недостатков свободен структурный подход. Физико-меха­ нические характеристики композита в этом случае удается выразить через характеристики его компонентов и структурные параметры ар­ мирования. В результате по известным средним напряжениям и дефор­ мациям КМ, удается восстановить напряжения и деформации в связу­ ющем и армирующих элементах, что открывает широкие перспективы для улучшения свойств композитных конструкций.

К настоящему времени разработано большое число структурных моделей композитов. Первые модели, представляющие собой простое правило смеси, были предложены Фойгтом для осреднения матрицы

Г. А. Тетере и др., применявшие гипотезы Фойгта и Рейсса в различных комбинациях относительно направления армирования. Гипотеза