книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

72 Гл. 3. Методы решения краевых задач

в том числе очень большие. К таким задачам относятся, в частности, задачи статики тонкостенных оболочечных конструкций. Матрицы си­ стем дифференциальных уравнений для краевых задач, возникающих при расчете НДС композитных оболочек вращения на основе теории Кирхгофа-Лява или теорий типа Тимошенко, содержат положитель­ ные и отрицательные собственные числа с величинами порядка 10 (обозначены цифрами 2 на рис. 3.1, б) и кроме того очень малые по модулю числа, в том числе ноль. В случае использования уточнен­ ных теорий [9, 129] величины действительных собственных чисел достигают значений на два порядка более высоких — от 100 до 1000 и выше. На рис. 3.1,6 цифрами 1 обозначены ненулевые действитель­ ные собственные значения матрицы системы уравнений, описывающей изгиб длинной трехслойной прямоугольной пластины [9]. Для сравне­ ния приведена область устойчивости метода Рунге-Кутты-Меерсона, обозначенная цифрой <5.

При численном интегрировании задачи Коши, спектр матрицы ко­ торой содержит большие и малые по величине собственные числа, лежащие в левой и правой комплексных полуплоскостях одновременно, наряду с классическими проблемами жесткости системы возникает проблема неустойчивости решения относительно возмущений началь­ ных данных. В этом случае сколь угодно мелкое разбиение сетки не дает возможности проинтегрировать задачу с заданной точностью. Погрешность численного решения задачи Коши, в спектре матрицы которой присутствуют большие положительные собственные числа, растет экспоненциально, тем быстрее, чем больше величина этих соб­ ственных значений. Если длина интервала интегрирования велика, то это неизбежно приводит к неограниченному росту погрешности интегрирования при любом выборе шага сетки. Этот вывод справедлив как для явных, так и для неявных методов. Поэтому возникает необхо­ димость тщательного подхода к выбору методов решения обозначенных задач.

3.3. Методы решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения одномерных краевых задач можно условно раз­ делить на два больших класса: методы, сводящие краевую задачу к одной или ряду задач Коши и методы, сводящие дифференциальную краевую задачу непосредственно к системе алгебраических уравнений. К первому типу относятся, например, методы начальных параметров [23, 24], ортогональной прогонки [1, 76], дискретной ортогонализации [77], инвариантного погружения [9]. Ко второму классу относят­ ся конечно-разностные [24, 155, и др.], конечно-элементные мето­ ды [289, 291, 292, 313, и др.], методы коллокации, включая метод сплайн-коллокации [161, 326].

3.3.1. Метод начальных параметров. Изложим простой способ сведения решения одномерных краевых задач к решению задач Коши. Рассмотрим линейную краевую задачу для системы ОДУ вида

системы порядка S' х S'; f(a:) — вектор свободных элементов системы порядка S; xi и х г — левая и правая границы области решения задачи; G/, G r — матрицы граничных условий порядка Si х S и Sr х S ранга Si и Sr соответствено, a g/, gr - свободные векторы граничных условий порядка Si и S r, Si + Sr = S.

Общее решение системы (3.11) представимо в виде

где Y(x) — матричная функция, вектор-столбцы yi(x), г = 1 , . . . , S ко­ торой образуют фундаментальную систему решений (ФСР) однородной

а Уо(ж) — частное решение системы (3.11); с — вектор произвольных постоянных.

В силу единственности решения задачи Коши yi(x) и уо(^) явля­ ются решениями соответствующих задач Коши с начальными данными у i(xi), у 0(xi). Кроме того, любое невырожденное линейное преобразо­ вание L столбцов набора Y(x) не меняет его статуса фундаментальной системы решений (ФСР) системы (3.15). Из сказанного, в частности,

Таким образом, решение краевой задачи (3.11)—(3.13) представи­ мо в виде (3.14), где Y ( x ) — матричная функция, составленная из вектор-столбцов yi{x), которые являются решениями задач Коши для системы (3.15) с начальными данными yi{xi) = у ц, где {уг,г} — про­ извольный базис S -мерного векторного пространства; yo(z) — решение задачи Коши для системы (3.11) с произвольными начальными дан­ ными yo{xi) = у о В е к т о р произвольных постоянных с определяется из граничных условий (3.12), (3.13) как решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

вектор с на две части ci и с2, где Y i — первые Si столбцов Y, Y 2 —

По изложенным причинам метод начальных параметров практиче­ ски неприменим к решению задач расчета НДС тонкостенных ком­ позитных конструкций даже при использовании классической теории Кирхгофа-Лява и теорий типа Тимошенко.

3.3.2. Метод дискретной ортогонализации. Метод дискретно ортогонализации [77] предназначен для решения двухточечных кра­ евых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и является модификацией метода начальных параметров. Он разработан в начале 60-х гг., практически в одно время с двумя другими схожими методами решения краевых задач для систем ОДУ: методом факторизации, разработанном И.М . Гельфандом и О. В. Локуциевским первоначально для уравнения второго порядка [76], и ме­ тодом ортогональной прогонки А. А. Абрамова [1]. Все три метода, как и метод начальных параметров, сводят решение краевой задачи к ре­ шению задач Коши. Однако в последних двух методах строится новая система ОДУ, где искомой является матричная функция и размерность задачи Коши при этом увеличивается кратно. В методе дискретной ортогонализации, как и в методе начальных параметров, увеличивает­ ся количество решаемых задач Коши при сохранении самой системы уравнений.

В алгоритм метода дискретной ортогонализации для преодоления проблемы вырожденности матрицы системы алгебраических уравне­ ний, возникающей при поиске произвольных постоянных, а также про­ блемы неограниченного экспоненциального роста погрешностей вво­ дятся механизмы ортогонализации и нормирования компонент решения Уо, у i в дискретном наборе точек интервала решения. Такой механизм не имеет четкого физического смысла, и поэтому метод не поддается полному теоретическому анализу. Однако, как показывает практика, применение такого подхода оправдано.

Изложим основы алгоритма метода дискретной ортогонализации. В любой точке и на любом интервале представление (3.20) можно преобразовать следующим образом:

1 — произвольный вектор порядка Sr . Так как вид представлений (3.20) и (3.21) совпадает, эти преобразования можно продолжать рекурсивно.

ятся аналогично методу начальных параметров. При достижении за­ данной точки Xj во время численного интегрирования задач Коши набор Y (x j), уо (xj) преобразуется по формуле (3.21), что будет соот­ ветствовать применению преобразования на интервале [xj,xr\. В ка­ честве L выбирается оператор W j, ортогонализующий и нормирую-

W j и Wj используется модифицированная процедура ортогонализации Грамма-Шмидта. Таким образом, на каждом подынтервале

В результате, на последнем подынтервале получаем для решения зада­ чи представление вида (3.22) при j = J, которое аналогично (3.20), что позволяет, как и в методе начальных параметров, вычислить неизвест­ ный вектор cj _i, разрешив систему вида (3.19). Получая оставшиеся неизвестные векторы сj по рекуррентной формуле, обратной (3.23), избавляемся от всех неизвестных в правых частях представлений (3.22) для всех подынтервалов [xj-\,Xj], построив тем самым решение крае­ вой задачи (3.11)—(3.13) на всей области [xi,xr \.

Опишем конкретный вид процедур, применяемых в алгоритме МДО: процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта (см., напри­ мер, [24]) с необходимыми модификациями и процедуры численного интегрирования задачи Коши для системы ОДУ. Процедура ортогона­ лизации набора векторов Y, уо и построения матрицы W и вектора w для соответствующего линейного преобразования является одной из основных процедур, применяемых в методе. Пусть на входе имеется набор ректоров Y, у0, необходимо построить ортонормированный

у* = y i —y i к подпространству, натянутому на уже построенные век­

угольный вид с ненулевыми диагональными элементами; если же в некоторый момент ||yj|| = 0, то это означает, что набор Y линейно зависим и процедура останавливается, извещая об ошибке. В случае успешного выполнения процедуры ортогонализации можно определить вектор w = Y T • уоПри численной реализации условие равенства

нулю нормы вектора у* необходимо заменить приближенным из-за существования и накопления ошибок округления.

Другая важная процедура — численное интегрирование задач Коши для систем ОДУ вида (3.11) и (3.15) на интервале [xj-\,Xj\, j = 1,...

. . . , J . Литература, посвященная проблемам численного интегрирова­ ния задач Коши, в том числе для жестких систем, достаточно обширна [23, 162, 256, 282, и др.]. В ней описано множество подходов и ме­ тодов — неявных, явных, типа Рунге-Кутты, типа Розенброка и т.д. Среди требований, предъявляемых к процедуре численного интегриро­ вания, выделим достаточную устойчивость и простоту реализации при высокой точности. Явные методы уступают неявным методам и методам типа Розенброка в вопросе обеспечения устойчивости счета, однако существенно превосходят их по простоте реализации. Среди явных схем выделим одношаговые методы типа Рунге-Кутты, так как приме­ нение многошаговых схем к задачам с ярко выраженными локальными и краевыми эффектами может приводить к сглаживанию и обрезанию "пиков" решения. Среди методов Рунге-Кутты наилучшим образом зарекомендовала себя пятистадийная схема четвертого порядка точно­ сти, построенная Мерсоном, обладающая достаточно широкой обла­ стью устойчивости и высоким порядком сходимости при относительной простоте реализации [256].

Итак, если необходимо решить задачу Коши для системы ОДУ вида

то решение у (х !) строим с помощью процедуры Рунге-Кутты-Мерсона 4-го порядка по формуле

вую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде:

непрерывной кусочно-многочленной функцией 11(2;) порядка Q + 1, точ­ но удовлетворяющей системе (3.27) в точках коллокации и граничным условиям, что соответствует системе

ции используется метод Ньютона-Рафсона. Решение ищется в виде

Здесь Vj(х) = d f / д щ ( х , и ( к~1\ х )), щ(х) — г-ая компонента векторфункции и(ж).

В пространстве кусочно-многочленных функций решение системы (3.29) можно представить в виде линейной комбинации базисных функ­ ций, в качестве которых выбираются Б-сплайны:

v

11^ ( 2;) = ^ 2 a iB si{х). (3.30) i=1

Здесь V — ( Q 4- 1)J 4- 1 — размерность пространства; о ц — вектор коэффициентов размерности S; Bsi — i-й Б-сплайн. После подстановки (3.30) в (3.29) получается линейная система алгебраических уравнений для определения коэффициентов а*:

v

LBSi(jjjq)OCi 0,

г=1

V

Матрица системы уравнений (3.31) почти блочно-диагональная. Для ее решения применяется метод исключения Гаусса с частичным выбором главного элемента.

Метод сплайн-коллокации реализован в пакете прикладных про­ грамм COLSYS [301, 326, 341].

3.4. Алгоритм решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Как уже отмечалось, метод дискретной ортогонализации получил широкое распространение при решении задач теории пластин и обо­ лочек. Он хорошо зарекомендовал себя и показал высокую эффектив­ ность при расчете осесимметричного НДС резервуаров и сосудов высо­ кого давления [93-95]. Использование при этом классической теории оболочек Кирхгофа-Лява позволило применять метод на равномерных сетках и без особых модификаций. Однако переход к использованию уточненных теорий, учитывающих деформации поперечного сдвига на основе гипотез о нелинейном распределении вектора перемещений по толщине оболочки, заставил искать пути адаптации алгоритма МДО

крешению краевых задач для систем ОДУ, в спектрах матрицы Якоби которых содержатся сильно удаленные от мнимой оси величины из обеих комплексных полуплоскостей. Отметим, что в работе [77] пред­ ставлен общий алгоритм МДО, но отсутствует описание ряда необ­ ходимых при его реализации процедур, т.е. у исследователей имеется определенная свобода в реализации алгоритма метода. Среди извест­ ных модификаций МДО отметим модификации с сохранением проме­ жуточной информации о структуре решения (векторы уо и матрицы Y, W ) лишь в суммарном виде в точках выдачи результатов [143] и без сохранения этой информации с решением на обратном ходу алгоритма задачи Коши [14]. Отметим, что последняя модификация неприменима

крешению задач, у которых в спектрах матриц Якоби систем уравне­ ний содержатся большие отрицательные собственные числа.

Вопросам разработки процедур и алгоритмов, позволяющих адап­

тировать МДО к решению многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами, посвящена данная глава.

и решения многоточечных задач. Начальные данные Y;, уо,/ для задач Коши строятся на первом этапе алгоритма метода и должны удо­ влетворять подсистеме (3.16), что, по сути, эквивалентно отысканию общего решения системы

части системы (3.32), а вектор уоj — частным решением последней. Соответственно, таких решений можно построить бесконечно много.

с излагаемым методом, желательно выполнить следующие условия: во-первых, набор Yj должен быть ортонормированным, а во-вторых, вектор уо,i должен быть ортогонален набору Y*.

Вычислению начальных векторов для численного решения краевых задач посвящена работа [56], в которой описаны три алгоритма ре­ шения этой проблемы. Однако один из них требует процедуры выбо­ ра невырожденного поднабора векторов-столбцов матрицы G*, а два других требуют дополнения этой матрицы до невырожденной квад­ ратной, при этом в указанной работе данные процедуры не описаны. Ниже строится алгоритм, который легко реализуем численно и строит необходимые начальные данные для любого невырожденного набора векторов-строк G* так, что они удовлетворяют всем сформулированным выше условиям.

Суть алгоритма состоит в том, что матрица Y i строится как ор­ тогональное дополнение к матрице G ZT путем разложения элементов произвольного базиса пространства на проекции и ортогональные до­ полнения, после чего находится и частное решение yo.z системы (3.32). Удобно априори считать, что набор векторов-строк G* невырожден и ортонормирован. Добиться ортонормированности невырожденного набора можно применением описанной выше процедуры ортогонализации:

(G ?)T = G,TW ,

тогда выражения (3.32) можно переписать в виде

Выражения (3.32) и (3.33) эквивалентны вследствие невырожденности

странства (достаточно использовать обычный базис из единичных ор­ тов). Последовательно все е* раскладываются в сумму проекции ё* и ортогонального дополнения щ к подпространству, натянутому на вектора набора G/ и %, j < i. Ненулевые ё*, дополнительно нормиро­ ванные ё* = ё |/ ||ё |||, образуют искомое ортогональное дополнение Y i. Отметим, что условие неравенства нулю векторов ё;, эквивалентное отличию от нуля их нормы ||ё;||, при численной реализации нужно заменить приближенным.

Так как G* — ортонормирован, выбирая уо,г = G^T • g* и подставляя его в систему (3.34) получаем тождественное равенство

G i • уо,i = Gi ■G j ■gi = gi,

при этом вектор уо,г будет ортогонален Y/ по построению.

Метод дискретной ортогонализации изначально предназначен для решения двухточечных краевых задач. Однако, описанный выше алго­ ритм допускает важное обобщение, которое позволяет создать модифи­ кации методов начальных параметров и дискретной ортогонализации с возможностью решения многоточечных краевых задач.

Рассмотрим многоточечную краевую задачу для системы (3.11) с

где хр ^ Хр+ь сумма рангов матриц G p равна размерности задачи S, а ранг каждой такой матрицы равен Sp. Для удобства будем полагать что наборы векторов-строк G p ортонормированы, чего можно добиться описанным выше способом.

В качестве начальных векторов-решений у*, г > 0 в первом узле интервала решения задачи xi выбираем произвольный базис S'-мерного векторного пространства, например, состоящий из единичных ортов, а начальный вектор для неоднородной задачи Коши выбираем нулевым Уо = 0. Далее решаем построенные задачи Коши, аналогично алго­ ритмам методов дискретной ортогонализации и начальных параметров. При достижении точки х р имеем вектор у0 и набор векторов-столбцов Y, которые являются решением соответствующих задач Коши. Количе­ ство столбцов матрицы Y при этом должно равняться Sp = Y1P’>=P<-V- Требуется построить набор из Sp — Sp вектор-столбцов Y ' и вектор Уо такие, что для любого вектора с' размерности S' —Sp выполняется

выполнив, как и в случае двухточечной краевой задачи, условия ортонормированности набора Y ' и ортогональности к нему вектора у'0. Кро­ ме того, необходимо построить зависимость с = с(с'), где размерность вектора с равна Sp и для любого вектора с' выполняется тождество:

Чтобы выполнить поставленные требования, построим, как и выше, Y ' как ортогональное дополнения к G p . Однако теперь будем строить его не на произвольном базисе, а так, чтобы линейное подпространство натянутое на Y ' содержалось в линейном подпространстве, натянутом на Y , т. е. чтобы существовало невырожденное Л такое, что