книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения
..pdf52 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин, и оболочек вращения
,(*) |
|
d^ lUi) + ^1*1™ + ^ |
( Alfc) + / ^ 4 ) ] |
+ |
9?+ |
|
|||||||
■'ll |
|
|
|||||||||||
|
Я 1 L |
d s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.95) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
_ L _ |
\ * £ b u ' |
+ A 2k2w + 63^ |
( A<*>+ /.{«тг,)] + f |
0§+ |
||||||||
22 |
АхНг |
||||||||||||
|
|
|
+ |
z |
dA2 |
( l - S 3 )V l ~ S 3± ^ |
|
|
|
||||
|
|
|
A 1H2 |
ds |
|
|
|
||||||
,(* ) |
- |
J |
|
|
A \ |
ds |
j |
[ fA W |
(2,.96) |
||||
_ |
|
|
|
|
_ |
r |
|||||||
^ 2 “ Я 1 [ |
d s |
|
d 3 d s l A 2 |
+ |
|
+ 5O'$1'$2+ |
(2.97) |
||||||
1 |
dA2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[&U2 + 53(A2fe) + » £ 4 )] |
+ 0 ~ |
|
^ |
( g ) , |
|
||||||||
+ А,Я27Г |
|
|
|||||||||||
выражения для обобщенных усилий и моментов: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
hk |
|
к |
|
|
|
|
|
|
[Тар, М ар, Qa] — |
f |
|
|
|
|
rj^tuldz, |
(2.98) |
||||||
|
|
|
|
|
. J |
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Afc-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
к ftfc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^З^а/З = |
*3 |
|
|
|
|
|
(2.99) |
|||
< З Д = 5 з ^ J T $ $ |
|
|
fe=l hk- 1 |
|
|
|
|
|
|||||
f ' ( z ) b & d z + 5 |
[ a i v T i ~ ^ ~ ^ 2 d z + |
||||||||||||
A" |
k=lhk- . |
|
|
|
|
|
fe=1J _ , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1__(М2
+*E } {лкЛ2 ds
fc=l. J hk-i
(2. 100)
A : ftffc |
/ с |
ftfc |
<ЗД = <*з У ] |
T fflq jffS z f'iz fo b d z + 53 ^ |
f |
+5sZj j |
[а22)(^2)+^2?)+^(М ?) -д!2))]б } ^ . |
|||
— ftfc-i |
|
|
(2. 101) |
|
|
|
|
|
|
|
H a p |
= |
T ,3 a + k p M 0 a , |
(2.102) |
где /1 ^ 1 , |
задаются соотношениями (2.7), а нагрузки соотношениями |
|||
(2.21). |
|
|
|
|
Система |
уравнений (1.1), |
(2.85) — (2.102) |
является системой |
|
нелинейных |
обыкновенных |
дифференциальных |
уравнений с пе |
|
2.3. Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек |
53 |
ременными коэффициентами. Ее порядок в случае классической теории Кирхгофа-Лява равен 8, теории Тимошенко — 10, теории Андреева-Немировского — 12.
Система уравнений (1.1), (2.85) — (2.102) дополняется краевыми условиями, которые требуют задания на краях либо значений обоб щенных краевых перемещений, либо значений соответствующих им обобщенных контурных нагрузок. Объединив эти величины в пары [9, 129]:
{ Т и , щ ) , ( T i 2 + |
M \ 2/ R |
2 , щ ) , |
(S2M 12, |
<Р2), |
[Мц, 6 2 <р>\ + {6 \ + <5з)^1] . |
[Q\ - |
8 йА {А 2 (Н Пд]. + |
H l2^ 2), w] , |
|
S3( 5 ц , |
7Tl), S z i S 12, |
7Г2), |
|
|
(2.103) приходим к следующей формулировке краевых условий для системы дифференциальных уравнений осесимметричной задачи: на краях за даются величины, альтернативно выбираемые из пар (2.103).
Соотношения (1.1), (2.85) — (2.102), (2.103) составляют полную си стему уравнений и краевых условий, описывающих процесс осесиммет ричного нелинейного деформирования тонкостенной упругой слоистой оболочки вращения.
Приведем систему (1.1), (2.85) — (2.102) к матричному виду. Выбе рем следующие разрешающие функции:
У\ = w, |
y2 = |
(Si+S3)‘0i + S2(pu |
уг = щ, |
|
||
У 4 = и 2, |
уз = |
<^37Г1, |
уз = 6 зж2, |
|
||
У7 = Qi — SoAiA2(Hn'di |
+ Н \2д2), |
у$ = А2М п , |
|
|||
уъ = А 2 Т\\, |
у\о = А 2 Т\ 2 |
+ {\ — 8 \ ) ^ М \ 2, |
(2.104) |
|||
Уи |
= |
^ з А |
г ^ п , |
S$A2/122SI 2=. |
|
|
В переменных (2.104) система дифференциальных уравнений статики оболочек вращения в осесимметричной постановке примет вид
A ( s ) ^ |
= B ( s ,y ( s ) ) + b (s). |
(2.105) |
Разрешив систему (2.105) |
относительно производных |
и перейдя |
в краевых условиях (2.103) к переменным (2.104), осесимметричная краевая задача статики оболочек вращения примет вид
= U (s ,y (s )) + f(s),
(2.106)
G 0y (so )= g o , G iy (si) = gi,
где U = А - 1В, f = A - 1b.
54 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения
При расчете комбинированных оболочек вращения помимо крае вых условий необходимо обеспечить выполнение условий сопряже ния смежных участков конструкции. Интервал изменения длины дуги [so.sp] разбивается на отдельные участки [sp_ i,s p], (р = 1,2
где so, sp — левый и правый края оболочки. Точки разбиения опреде ляются в общем случае видом задания функций, характеризующих гео метрические и механические параметры, силовые нагрузки. На каждом интервале [sp_ i,s p] оболочка имеет фиксированные геометрическую форму и механические характеристики материала. Пусть вектор у р со держит функции, характеризующие НДС р-й оболочки и определяется формулами (2.104), вектор ур+1 — для (р + 1)-й оболочки. В случае гладкого соединения условия сопряжения оболочек имеют вид
(2.107)
Для расчета НДС сопряженной конструкции, состоящей из Р оболо чек, в нелинейных классической и неклассической постановках необ ходимо решать многоточечную краевую задачу, включающую Р систем нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффици ентами (2.106), связанными условиями сопряжений (2.107). Оконча тельный результат запишем в виде:
^ M = U*(s,y<’(s))+ f< ’(s),
УРЫ = УР+' Ы , |
(Р = 1....... Р - 1 ) |
(2.108) |
G 0y°(s0) = go, |
G p y p (sP ) = gp. |
|
2.3.2. Разрешающие системы уравнений. Рассмотрим случа ортотропной оболочки, внешние нагрузки которой не зависят от угло вой координаты для теорий, у которых порядок разрешающей системы уравнений не зависит от числа слоев. В этом случае смещения щ, щ и все связанные с ними величины равны нулю, а соотношения упругости (1.1) упрощаются и принимают вид
(2.109) Порядок системы уравнений (2.85) — (2.102), (2.109) понижается и равен 6 в случае теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко и 8 в случае
теории Андреева-Немировского. Краевые условия будут иметь вид
(5 за5 ц , 5з 7Г1).
2.3. Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек |
55 |
||||||||
Введем следующие безразмерные переменные: |
|
|
|||||||
E lc |
|
X Ес |
I |
(X , |
X \ Е С ( и \ |
1 |
d w \ |
Е 1С |
|
v' = p k w - |
» |
= |
|
|
|
|
|
ш = |
|
|
х |
h |
У5 = |
М |
гг |
|
A 2 |
. r |
(2.111) |
У4 — д з -j^-TTi, |
1 т г г 1 и , |
Уб — |
M u, |
||||||
|
|
P s \ |
|
P h s |
r 11' |
yD |
P h 2Sl |
|
|
1 |
|
d |
|
d A 2 |
|
Ш Н п ( £ - |
. |
||
У? = |
|
| ( Л 2М „) - ^ M 22 - |
|||||||
P h 2 |
U s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
A2 EC a |
t / |
s/si, |
|
|
|
|
|
2/8 = o3 ——4— On, |
£ = |
|
|
||||
|
|
|
|
P h si |
|
|
|
|
|
где E l — модуль Юнга |
материала связующего первого (внутреннего) |
||||||||
слоя оболочки, Р — параметр внешней нагрузки. В переменных (2.111) систему уравнений осесимметричного изгиба ортотропных оболочек вращения можно представить в виде
А (5 )М ) = В ( 0 у (0 + Ac5,gtt.y(0) + f(0 .
|
|
|
|
( 2 . 112) |
|
G 0y(0) = |
go, |
G iy (l) = |
gi, |
где А, В |
— матрицы 8 x 8 в случае теории Андреева-Немировского |
|||
и 6 х 6 |
в случае теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко, Л = Р/Е}., |
|||
g (f .y (0 ) |
— вектор нелинейных членов, f — вектор свободных членов. |
|||
Пусть уравнение образующей г = r(s). Тогда параметры Ламе: |
||||
|
А\ = 1, |
А 2 |
= г, |
= cos д, |
|
|
|
a s |
|
где $ — угол между нормалью к поверхности оболочки и осью враще ния. Введем, следуя [9], обозначения
|
0j = hj/h, |
(j = О ,1....... К). |
sk = E Jk E 'c, |
|
||||||
7 = h/si, |
р\ |
= hki, |
P2 = hht, |
p = r/h, |
h.k = ( 0 1 |
- 0 k - \)li, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
а% = Е кс^ . Gka |
= E cdk. |
ek = d'k, |
A |
= £ i „ d kS,.k, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
(штрих означает дифференцирование по £), |
|
|
|
|||||||
|
|
(-1 Y - L i n ! + *p° /h + |
|
|
|
|||||
|
|
|
PQ+I |
1 |
"Ь Pk—lPat |
|
|
|
|
|
к Ш |
= |
1 |
|
|
l i , , h y 7 |
^ |
. |
п ри К |
7^0, |
|
|
|
3 = |
i p a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( z / h |
y +l - |
(3'kt |
\ |
|
|
|
при k a |
— 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i + 1
56 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения
L |
|
= K |
t ( h |
k ) |
+ |
s |
^ |
+ l ,a ( h k ) , |
= |
|
|
И |
( ft* ) - |
( л * ) ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3=1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
(1 + г к , ) Щ |
{ j i - |
|
- |
* ?,(* )] + e*} , |
||||||
|
|
|
|
_ |
|
|
f |
(t2 ~ ht) [d'(l + tk\) + djtk[] |
|
||||||
|
|
|
Tk ~ ~ 6 |
2_^ J |
------------ ,9,. |
.. |
ч9----------- dt> |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
j ~ l h<- |
|
dj( 1 |
+tkiY |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
j-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
Mss |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(rfi)' |
= |
*M 1+ zfci |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3(1 + zki) |
' |
(t2 - |
fet) [4(1 + tfci) + djtfcj] |
|
|||||||
|
|
|
|
|
El |
|
|
|
:jn x *ьл2 |
d t - T k } , |
|||||
|
|
|
|
|
|
hij-i |
|
4(1 |
+ tfci) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
hk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ' i E l ^ y |
|
|
hk |
z‘ [ S j( r f i)f- d |
|
||||
|
|
|
J- |
— |
|
|
-dz |
J ?■ — |
|
z , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 4 j + i |
u ^> |
J l] — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hk- |
|
|
|
|
|
ftfc-1 |
|
|
|
|
|
|
|
hk |
z \ l + г Ь Щ М * |
|
hk |
*‘0 |
+ zfc|)(Jgj/tf|)J |
|||||||
J |
|
= |
|
J\, |
i |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•dz, |
|||||
Ju |
|
|
|
(1 + |
2fcl)/l4:'+l |
|
|
|
|
||||||
|
|
hk- |
|
|
V |
J |
|
(l+2fc2)/l4j+i |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J5 |
hk |
2‘(i + zfc2) [£ (,,?, ) f |
* _ |
hk |
|
|
|||||||||
|
|
г |
k t . . k \ t / rpl\2 |
||||||||||||
Jij |
|
|
(i + z)t,)ft,i+i |
’ |
|
|
J |
i? |
' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
h k -1 |
|
|
|
|
hk |
|
|
|
ftfc-i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
= |
h kI-1 |
(l+ z* l)ft,+i |
|
|
|
|
||
|
|
hk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
[/'(z)]2(l +zki)(l + zk 2) |
|
|
hfc-1 |
|
||||||||
|
|
■Jh k - i |
|
|
|
|
|
|
dz , |
J 9 = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h7 |
|
| |
(■ + z h )Bi«M dZt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jio |
_ |
J |
(1 + zk2 )Ec(n\{) ^ |
j i i |
_ |
J |
(1 + ^fci)£^c^n^ |
||||||
|
|
|
h k - i |
|
|
|
|
|
|
ftfc_i |
|
|
|||
Выражения для элементов матрицы А, В и компоненты векторов g и f имеют вид (приведены только ненулевые элементы)
к
ап = 1, а22 = 73р Х ^ Ьп [№ + <*2 )<*2 ,к + <*з7*и]. k=i
2.3. Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек |
57 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«23 = 7 Р ^ |
sfc&ll [№ + ^2)5l,fe + ^37-^0,l]> |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
к |
f e = l |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«24 = |
h i p ^2 skbkn Jo1. |
«32 = 7 2 C O S 4? ^ Sfcbf252,fc, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
к |
k=1 |
|
|
|
|
* |
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 33 = |
COS4? |
|
|
|
|
|
«34 = |
^3 COS 4? |
&kb\2 J QI J |
« 3 5 = 1 . |
|
|||||
|
|
|
fcl |
|
К |
|
|
|
|
fc=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«42 = 73P E |
Sfcbfj [(5l + 82)83 к + ^37^2,1]> |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f e = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«43 = 7 P ^ sfc&n[№ + 52)^2,*: + ^37-^1]> |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
a44 = |
537 P |
^ |
sfe6n J n> |
a 52 = - 7 2 c o s 4 ? ^ s fc6f2J3,fe, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
a53 = |
- |
C O S 4 ? У2 Sfc^f2^2,fc, |
|
«54 = |
-fo C O S 4 ? y ^ |
Sfcb^ll. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
К |
|
|
«56 = i, |
a62 = ^ 7 2s in 4 ? ^ s fe6f2J2,fe, |
«63 = |
-sintf^Sfcbfa^.fc, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
fe=l |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д64 _ |
_53 sin 4? ^ |
|
|
- |
«67 = 7 . |
|
«72 = £ 3 7 |
2 « 4 4 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
f c = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1Ъ= 5з«24. |
«74 = j , 7 P ? > f t . & . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
«82 |
= |
|
—8312 [ l P E |
Sfeftfijfi +COS4?^Sfc6f2J 11 j , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
*:=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«83 = |
—<^3 f 7 P |
^ |
Sfebn J oi + c o s 4 ? ^ s fc&f2J 011 ) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
V |
k = 1 |
|
|
f e = l |
|
/ |
|
|
|||
|
|
|
|
/ |
* |
|
|
|
|
* |
|
|
\ |
«88 = *3, |
|
|
= - |
J3 |
I ^ |
E |
Sfebn J Q + |
cos 4? £ |
sfcbf2J<i2 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
I |
J b = l |
|
|
|
|
k = |
1 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
&l 2 |
= - l , |
|
b i z = |
p |
l / l 2 , |
b i s |
= |
5Д7 ’ |
|
|
||
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
62l = -P7 [pi ^2 Skb*' + ^ 5l’k + |
+ P2X j Sfc6f2^1.fc j » |
58 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения
к к
|
Ь22 = |
- |
7 2 c o s t f ^ s fc6f 252,fc, |
|
623 = |
- C O S t f ^ S f c b f 2<*iifc, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
&24 = |
-^ 3 |
I 7 Р |
^ |
sfc&fl^01 |
+ cos ^ ^ 2 |
sкЬ12 Joi |
I |
, |
625 = |
1, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f |
|
К |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
631 = |
- |
cos г? |
( ^ |
У |
Sfc^2^1 |
+ |
p2 ^ 2 Sk^22[(^1 |
+ |
|
|
+ ^ 3 7 ^ 2 ] |
|
) > |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
К |
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
&32 — —---------- ^ |
2 Sk^22 [(^1 + ^2)^2,k + <*з7/*2]. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co s2 1? |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
&33 = |
|
|
|
|
|
|
+ |
^2)^1,k + ^3 7 ^0,2]> |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
PI |
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
— 5 з |
cost'd к |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sfc6f2 J 02! |
, |
637 = |
P i, |
|
|
||||||||
634 — |
|
7 P |
У |
|
Sfc622 JQ! + COS 4? ^ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
641 = |
- P 7 S pi У |
|
Sfc&n [(5 i + |
62)62^ + |
^ 3 7 ^ 1 ] |
+ P2 ^ 2 |
Skb1\2&2,k f |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
k= 1 |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
fc=l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
642 = |
- |
7 2 COS 4? ^ 2 |
|
s k b k\2^ , k , |
|
|
643 = |
- COS 4? ^ 2 |
S k b t f h k , |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|||
644 |
= |
— «Уз |
( l P |
^ 2 |
s k b kn |
J n |
+ |
C O S ^ y ^ S fc b f jjJ n |
J |
, |
646 = |
1, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
V |
К |
fc=l |
|
|
|
|
|
К |
|
|
fc=l |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Pi У |
Sfc^2^2,fc + |
P2 У |
|
sfc&22[№ |
+ |
^2 )^ 2 ,k + S3 1 I U |
} > |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
о |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b52 = |
|
^ |
г & |
р |
, |
+ s2 )h .k + h i i i 3]. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co s2 |
$ |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f c 6 22[ ( 5 i |
|
|
62) 62^ |
|
^з7^г]> |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ьъъ — |
P7 |
|
y ^ S |
|
+ |
+ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h |
i |
= <5з I |
— |
|
^ s ^ V n |
+ |
c |
o |
s |
t f ^ |
s t |
6f 2 j f , |
I |
, |
657 = |
1, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
7 P |
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&61 = |
sin 4? < P i |
У |
^ |
S f c 6 f 25 i,f c |
+ |
p 2 |
^ 2 |
|
S k b k 2 [ № |
+ |
^2)^1,k + |
^37^0,2] |
r |
> |
|||||||||||
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.3. Осесимметричные задачи упругих композитных оболочек |
59 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
662 = |
7 2 C0Stfp2 ^ |
2 |
Sfc622[(^l |
+ |
W |
2 ,k + f a l l 1,2]' |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
без = |
7 |
5 > |
* |
62‘ 2[№ |
+ |
Ш |
л |
+ «37/0,2]. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( |
|
К |
|
j i |
|
|
К |
|
|
\ |
Ьб5 |
pi |
|||||||
|
|
|
c o s O p y skbt |
+ s in ^ |
y |
Skbk j 2 |
_ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
s |
r |
|
|
|
|
|
h |
|
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
bn |
= |
-S .a p |
(p i 5 ^ s * b f|J o i |
+ |
P2 |
|
Sl-biy/di ] , |
|
fc=i |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
кV |
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|||
&72 = |
- 5 3 7 2 c o s ^ ^ s fc6f2J 11, |
|
673 = |
S 3 COB0 |
Y |
j kbt2 J ilt |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|||
|
|
|
|
/ |
К |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
6 7 4 |
= |
- S |
3 |
I 7P ^ |
|
flfcbfj J o |
+ |
cos 4? ^ |
Sfcbf2 J02 |
) - |
b 7S |
= |
6 3 , |
||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
fe=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
bei |
= |
<*з |
7 PPi ^ S fc b fiJ o i |
+ c o s 4?pi ^ s jfe b f2Jd1+ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
Sin4?7^f=i Sfc6f2J^! + +COS1?p2^Sfcb22^0l') - |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
^82 — <^372&54, |
^83 — —<^3^34. |
|
|
|
|
|||||||||||
6«4 = «3 |
( 1 p Y , s kb';l J l2 + |
2 c o s ^ J 2 ^ 2J 6 + ^ |
< |
T |
SkbbJ042+ |
||||||||||||||||
|
|
|
fc=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
* |
1 |
> |
< |
ь |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
52 |
|
_ ^73p |
^ |
Sfc6^ ( 5l'fc + <*зр2йи) |
(2/2 |
7 |
|
’ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
53 = |
7 |
^ cos d |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
У : Sfc6f2(^l,fc + |
^3Pl^2,fc) ( 5 2 - |
^ 2 ~ ^ ) |
’ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
3 |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|||
54 = |
— o 7 |
Р У ! ^ п № ,* : + ^3p2^3,fc) f52 ~ |
|
|
|
||||||||||||||||
fc=l
60 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения
7 |
2 |
|
„ |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos V |
У |
skbi2 ^ 2 ,k + <^3Pl^3,fc) (у2 - |
<?2~^) ^ |
|
|||||||
9ъ = -1 ^ |
~ |
|
||||||||||
|
|
|
|
k=fe=l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ы+Р1У&) ( ^ 2 - ^ 2 ^ ) |
- |
|
|
|||||
7 2 Sin 17п |
К |
Sfc6f2(^l,fc + |
^3Pl^2,fc) fj/2 - |
\ 2 |
|
|||||||
9* = ^ |
|
- |
У |
^ 2 ^ ^ j . |
|
|||||||
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97 = |
-S 3^13p ^ 2 s kbkn J 9yl, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
58 = |
|
|
|
( p |
^ |
s kbkn j l° + costi'^2 |
skbk2 J n '\ vh |
fc= |
||||
|
|
|
|
V |
|
fe=i |
|
- |
п9г |
|
|
|
|
|
|
|
h = - j k ' |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h = - P j - |
|
|
|
||||
Приведем систему уравнений (2.112) к нормальному виду. Для это |
|
|||||||||||
го переставив соответствующим образом строки матрицы А, получим |
|
|||||||||||
новую матрицу А, которая имеет вид |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
А = |
А 1 О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 2 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Элементы матриц А 1 = (а^), А 2 = (ajj), D = (dij) определяются следующим образом (представлены только ненулевые элементы, г = = 1,... ,4):
|
« п |
а п , |
а 2г |
— |
« 2 |
«з^ |
— |
«4г> |
« 4 j |
— |
«7г> |
2 |
«Зг> |
2 |
— «5г> |
2 |
— «6г> |
2 |
— «8г> |
(2.113) |
|||
« Н |
« 2 г |
« 3 j |
« 4j |
||||||||
|
^11 = |
«35> |
^22 |
= |
« 5 6 , |
^33 |
= |
« 6 7 , |
^44 |
= |
« 8 8 - |
Тогда А -1 имеет следующий вид:
А - , _ / |
(А1) ' 1 |
0 \ |
исистему уравнений (2.112) можно привести к виду
^= А - ' В « ) у ( { ) + А Л . А - 'в К , у ( О ) + А - ' 1 ( 0 .
(2.114)
G 0y{0) = g0, G i y { \ ) = gu
где В, g, f получены перестановкой соответствующих строк, как ука зано в (2.113). Введя переобозначения
