книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения
..pdf122 |
Гл. 3. Методы решения краевых задач |
О |
0,25 |
0.5 |
0,75 |
\ |
0 |
0,25 |
0,5 |
0.75 |
|
|
|
|
Рис. 3.17 |
|
|
|
|
Рис. 3.18
ческих оболочек был проведен эксперимент по оценке эффективности использования неравномерных сеток в методе дискретной ортогонализации.
На рис. 3.18, а представлена форма шага неравномерной сетки, по строенной на основе экспоненциальных функций. Рис. 3.18, б — вид получаемой погрешности функции П для метода дискретной ортогонализации. Видно, что эта погрешность более равномерно распределена по всему интервалу и на три порядка меньше аналогичной погреш ности, полученной на равномерной сетке. В табл. 3.15 представлены относительные погрешности на аналогичных неравномерных сетках. Из табл. 3.15 следует, что применение неравномерной сетки со сгущением по краям позволило уменьшить получаемые погрешности более чем
в100 раз.
Вкачестве дополнительного эксперимента были проведены расчеты НДС цилиндрической оболочки со значением параметра R /h = 200. Спектральный радиус матрицы системы при этом равнялся Л = 2784,4.
3.5. Анализ эффективности численных методов |
123 |
|
|
Т а б л и ц а |
3.15 |
Параметр |
Относительная погрешность 5 по компонентам |
|
J
300
600
1200
W '
1,28 • Ю~7
7,77 • 10~9
сл |
о |
о |
W |
|
П |
Si |
Пакет GMDO |
|
||
5,14- 10-8 |
1,55 |
• 10~7 |
6,4010~8 |
3,17 - 10~9 |
9,82 |
• 10~9 |
3,87 - 10-9 |
2,38 • IQ"10 |
7,04 - 10~10 |
8,61 • 10_ ,° |
|
Оба метода успешно справились с решением такой задачи при парамет рах расчета TO L = 10-8 для пакета COLSYS и J = 4000 для метода дискретной ортогонализации. Максимальные относительные погреш ности равнялись 6 тах = 1,52 • 10-8 , 5тах = 1,26 • 10-5 для пакетов COLSYS и GMDO соответственно.
Таким образом, на разнообразных задачах, имеющих аналитическое решение, показано, что оба рассмотренных численных метода успешно справляются с решением краевых задач для жестких систем диффе ренциальных уравнений и в дальнейшем с успехом могут применяться для анализа поведения многослойных армированных оболочечных кон струкций.
Ч аст ь II
АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Г л а в а 4
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ РЕФЛЕКТОРА ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ
Электронные средства связи являются важнейшим фактором раз вития современного общества. Постоянный рост объемов информации и необходимость оперативного доступа к ним из любой точки земного шара заставляют создавать новые и совершенствовать существующие технологии передачи информации. Наибольшее распространение в на стоящее время получили оптоволоконные системы и средства спутни ковой связи. Для последних основными устройствами приема-передачи информации являются зеркальные антенны (ЗА).
Одним из главных эксплуатационных требований, предъявляемых к ЗА, является жесткость зеркал, так как искажение формы отра жающей поверхности существенно ухудшает качество сигнала. Кроме того, применение антенн в различных, часто экстремальных, условиях, может привести к разрушению как отдельных элементов, так и кон струкции в целом. Высокие эксплуатационные требования, предъяв ляемые к зеркалам антенн, заставляют искать пути оптимизации их механических свойств.
4.1. Постановка задачи
Рассматривается зеркало антенны, выполненное в виде тонкой ар мированной оболочки вращения с параболическим профилем (рис. 4.1).
4.1. Постановка задачи |
127 |
В качестве параметров, описывающих геометрию поверхности и зада ющих линейные размеры конструкции, принимаются фокусное рассто яние / , диаметр раскрыва зеркала D и толщина оболочки 2h. Зеркало находится по действием собственного веса, ветровой и температурной нагрузок. Требуется исследовать поведение конструкции в зависимости от структурных и механических характеристик композита при фикси рованных параметрах нагружения и закрепления, заданной геометрии и линейных размерах.
Значительное упрощение исходной задачи в результате разделения переменных решает не все проблемы, возникающие в задачах расчета НДС композитных оболочек. Остается по крайней мере еще одна — получаемые системы ОДУ являются жесткими, что обусловлено как высоким порядком этих систем, так и наличием в них малых парамет ров, таких как h/R i и Е с/ Е п . Для оболочек сложной геометрической формы и/или с переменными вдоль меридиана параметрами армирова ния матрица системы существенно зависит от меридиональной коорди наты. Перечисленные обстоятельства приводят к тому, что отношение
Ллг(^) = : I ч / л ( \\ I ^ 1>
3
где Aj(Am(r)) — собственные значения матрицы А т (г) системы (2 .83).
Рис. 4.2
На рис. 4.2, а представлены зависимости величин Лт (г) от ради уса и номера гармоники при расчете НДС алюминиево-углеродного (сплошные линии), титаноуглеродного (штриховые линии) и углепла стикового (пунктирные линии) зеркал. Цифры при этом соответствуют: осесимметричным компонентам решения при га = О (кривые /), анти симметричным компонентам при га = —1, 1 (кривые 2 ) и циклически симметричным компонентам при га = —2, 2 (кривые 3). Видно, что величина Am(r) существенно зависит от меридиональной координаты. Кроме того, при расчете различных гармоник меняется как количе
128 |
Гл. 4. НДС рефлектора параболической антенны |
ственная, так и качественная картина этой зависимости. Максималь ные из представленных значений достигаются для антисимметричных компонент, а системы для осесимметричных компонент не являются жесткими. Также видно, что жесткость системы, характеризуемая ве личиной Ат (г), в значительной степени зависит и от механических характеристик материалов, составляющих КМ.
Представленная на рис. 4.2, б зависимость от структурных пара
метров КМ величины A lt = max{A _i(r)}, характеризующей спектр
Г
матрицы системы, возникающей при расчете антисимметричных компонент НДС углепластикового зеркала, показывает существенное вли яние структуры армирования на жесткость системы. Так, на приведен ном рисунке эта величина изменяется почти в 6 раз.
4.2. Рефлектор под действием собственного веса (осесимметричный случай)
Рассмотрим зеркало антенны, находящейся под действием собствен ного веса, выполненное в виде параболоида вращения z(r) = г2 • (4 /) -1 с диаметром раскрыва D = 3,8 м и фокусным расстоянием / = 1,5 м, жестко закрепленное в центре по радиусу 0,3 м. Ось параболы направ лена вверх, перпендикулярно к поверхности земли. Рассматривается конструкция постоянной толщины 2/г. = 15 мм, изготовленная из кон струкционного алюминия, армированного тремя семействами углерод ных волокон — окружным (ф2 = 90°) и двумя спиральными, симмет ричными относительно меридионального направления: ф\ = —0з = ф, Ш1 = с^з = (1 - с^2)/2, объемное содержание волокон и а = 0,4, осреднбннзя по толщине плотность р W 2,37 • 103 кг/м3. Собственный вес определяет q\ и дз по формулам
q\ = —2hpg • sintf, <73 = 2hpg • cos$,
где g — ускорение свободного падения.
4.2. Рефлектор под действием собственного веса |
129 |
Проанализируем полученный в результате численного расчета вид НДС главного зеркала антенны. Как следует из рис. 4.3, наибольшую опасность для прочности конструкции представляет место вблизи ее крепления, где наблюдаются наибольшие значения усилий, моментов и перерезывающих сил. Максимальные отклонения профиля антенны могут быть достигнуты уже в средней вдоль меридиана части конструк ции.
Следует отметить, что общий вид НДС, предоставляя исследо вателю информацию о качественной картине поведения конструкции для конкретного варианта армирования, не дает возможности оценить зависимость поведения конструкции от структурных параметров КМ. Значительно более информативными в данном случае являются ре зультаты серий расчетов по определению максимальных перемещений и интенсивностей напряжений при различных параметрах армирова ния. По ним становится возможным проследить характер поведения конструкции в зависимости от структуры армирования КМ, выбрать предпочтительные варианты.
О |
30 |
60 |
90 |
0 |
30 |
60 |
90 |
Рис. 4.4
5 С. К. Голушко, Ю. В. Немировский
130 Гл. 4. НДС рефлектора параболической антенны
На рис. 4.4 представлены зависимости максимальных интенсивно стей напряжений, а также максимальных прогибов wmax зеркала ан тенны от параметров армирования. Сплошные линии соответствуют и>2 = 0, пунктирные — и?2 = 0,4, штриховые — и?2 = 0,8. Видно, что угол укладки спиральных семейств арматуры существенно влияет на проч ностные и жесткостные характеристики конструкции. При перераспре делении интенсивностей армирования в пользу спиральных семейств это влияние значительно усиливается. Легко прослеживаются перерас пределения напряжений между матрицей и армирующими волокнами. Так, при увеличении угла укладки спиральных семейств в них можно наблюдать существенное (до 90% при и^2 = 0) снижение напряжений, в то время как напряжения в окружном семействе до определенного момента (от 45° до 50° в зависимости от интенсивностей армирования) возрастают, принимая часть нагрузки на себя. Дальнейшее увеличение угла укладки ф приводит к росту напряжений в матрице и разгружает арматуру. Также можно отметить, что при ф ^ 60° распределение интенсивностей соп практически не влияет на напряжения в спираль ных семействах арматуры, в то время как в окружном семействе это влияние остается существенным.
Что касается количественных характеристик напряжений, то видно,
что, варьируя |
интенсивности укладки и п и угол ф, можно добиться |
|||
изменения напряжений |
в 10 раз в спиральных |
семействах |
арматуры |
|
и более чем |
в 3 раза |
в матрице и окружном |
семействе. |
Более чем |
в 3 раза при этом меняются и кинематические характеристики. Лег ко видеть, что нет однозначно хорошего с точки зрения прочности и жесткости варианта армирования конструкции. Так, минимальным прогибам соответствуют максимальные напряжения в спиральной ар
матуре. Но благодаря |
тому, что при всех параметрах армирования |
все элементы КМ и, |
следовательно, конструкция в целом остаются |
в упругом состоянии и имеют большой запас прочности, можно вы бирать параметры армирования исходя из оптимальных жесткостных качеств конструкции. Варьируя конструктивные параметры КМ, мож но выбрать вариант с лучшими жесткостными характеристиками, что может положительно сказаться на улучшении качества передаваемых или принимаемых антенной сигналов.
4.3. Рефлектор под действием температурного нагружения (осесимметричный случай)
Учет температурного нагружения делает задачу выбора подходящих параметров КМ для ЗА более сложной и интересной. Нормальной температурной нагрузкой для стационарно установленной (например на крыше здания) антенны является нагрев, в основном солнечной радиацией, до 60 — 100 °С. Наличие таких температур существенно повышает напряжения во всех элементах конструкции. Кроме того, по-
4.3. Рефлектор под действием температурного нагружения |
131 |
явление значительных прогибов заставляет более тщательно подходить к выбору материалов.
Рассмотрим композитный параболический рефлектор, на который собственного веса действует температурная нагрузка — зеркало равно мерно нагрето до 80 °С.
Рис. 4.5
На рис. 4.5 представлены результаты двухпараметрической серии расчетов по углу укладки спиральных семейств волокон и удельной интенсивности окружного семейства арматуры. Видно, что напряжения в матрице достигают критических значений и при неудачном выбо ре интенсивностей и углов армирования она разрушается (6SQ > !)• Напряжения в элементах арматуры тоже становятся существенными, хотя армирующие волокна и остаются в упругом состоянии с боль шим запасом. Таким образом, вызываемые температурным расширени ем напряжения в элементах КМ уже могут доставить неприятности разработчикам и производителям зеркальных антенн, но армированная конструкция все же остается в упругом состоянии в достаточно ши роком диапазоне углов и интенсивностей укладки волокон, в отличие,
5*
132 Гл. 4. НДС рефлектора параболической антенны
например, от изотропной, изготовленной из алюминия. Рефлектор, изготовленный из конструкционного алюминия, при такой нагрузке разрушается (bs0 > 1 ). Хотя применение более прочного алюминиевого сплава (ег* = 250МПа) позволяет конструкции остаться в упругом состоянии (bs0 < 1), прогибы при этом становятся нежелательно боль шими — wmax = 2,68мм. В армированной конструкции с обеспечением жесткости также возникают проблемы.
Из рис. 4.5 следует, что для большинства параметров армирования прогибы достигают нежелательных и даже недопустимых для антенны величин. Лишь узкая полоса параметров оставляет возможность обес печения приемлемой жесткости рефлектора и, тем самым, достиже ния необходимого качества сигнала, передаваемого или принимаемого антенной, находящейся в неблагоприятных температурных условиях. Минимальные по параметрам армирования прогибы wmax = 0,31 мм достигаются при ix>2 = 0,3, ф = 39°.
Интересной особенностью поведения конструкции, нагруженной собственным весом и температурой, является схожий характер зависи мостей прогибов и напряжений от параметров армирования, позволяю щий выделить набор параметров, достаточно удачный для обеспечения как прочности, так и жесткости конструкции. В целом, можно отметить сильную зависимость напряжений и прогибов от параметров армиро вания. Например, прогибы в зависимости от ф и шг изменяются более чем в тридцать раз — от 0,31 мм до 9,89 мм, а напряжения в материале матрицы — почти в два раза. Наличие спиральных семейств арматуры необходимо для обеспечения необходимой жесткости конструкции — при и>2 = 1) что соответствует отсутствию спиральных армирующих се мейств, wmax = 6,18 мм. Такие прогибы существенно снижают эффек тивность зеркала как фокусирующего устройства, ухудшая качество сигнала. Поэтому наличие спиральных семейств арматуры в данном случае является необходимым для обеспечения требуемых технических характеристик антенны, в то время как отсутствие окружного семей ства {и>2 = 0) все еще оставляет возможность выбором угла ф подобрать вариант конструкции, остающийся в упругом состоянии и имеющий допустимые отклонения профиля. Но все же лучший с точки зрения жесткости вариант получен при наличии окружного семейства волокон. Таким образом, можно утверждать, что при проектировании компо зитных конструкций не стоит пренебрегать ни одним из параметров армирования, для того чтобы существовала возможность найти наибо лее выгодный вариант.
4.4. Рефлектор под действием собственного веса (неосесимметричный случай)
Осесимметричный случай поведения зеркала под действием соб ственного веса реализуется лишь для одного единственного положения антенны — с осью, направленной вертикально вверх, в то время как