книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

достаточно эффективно — отличие от экспериментальных данных не превышает 20%.

Е\ бороалюминия, полученного экспериментально [50] и рассчитанно­ го по моделям с одномерными и двумерными волокнами, в зависимости от угла армирования. При этом Е с = 70ГПа, Е а = 385 ГПа, и с — 0,7, и а = 0,3. Видно, что разница между экспериментальным и рассчитан­ ным по МДВ значениями не превышает 10%, максимальная разница достигается при армировании под углами близкими к 30°. Разница между экспериментом и расчетами по МОВ почти в два раза при углах армирования больше 45° — следствие некорректной оценки модуля £ 2.

В табл. 1.4 представлены результаты сравнения модуля упруго­ сти Е\ ортогонально армированного бороалюминия, рассчитанного по МДВ и полученного экспериментально [185].

Сравнение показывает, что результаты получаемые по МДВ и МБ хорошо соотносятся с экспериментальными данными, что позволяет эффективно использовать эти модели при исследовании НДС арми-

2 С. К. Голушко, Ю. В. Немировский

Г л а в а 2

УРАВНЕНИЯ УПРУГИХ к о м п о з и т н ы х

ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В

КЛАССИЧЕСКОЙ И УТОЧНЕННЫХ

ПОСТАНОВКАХ

При расчете многослойных композитных оболочек важной задачей является выбор теории, описывающей НДС конструкции. Использо­ вание достаточно простых соотношений теории Кирхгофа-Лява поз­ воляет в ряде практических случаев получить удовлетворительные результаты. Однако повышение требований к прочности и надежности современных оболочечных конструкций приводит к необходимости рас­ смотрения теорий, основанных на менее жестких предположениях, чем гипотеза сохранения нормального элемента.

Решение трехмерных задач теории упругости о нахождении НДС оболочечных конструкций на сегодняшний момент является очень сложной проблемой. Поэтому широкое применение получили методы сведения трехмерных задач к двумерным. Один из таких способов заключается в разложении искомых функций в ряды по координате, отсчитываемой по нормали к некоторой исходной поверхности, что при­ водит к последовательности двумерных краевых задач высокого поряд­ ка. Асимптотический метод состоит в разложении искомого решения в ряды по степеням некоторого малого параметра, характеризующего оболочку.

Большинство уточненных, по сравнению с теорией Кирхгофа-Ля­ ва, теорий, описывающих НДС оболочек, получены с использовани­ ем гипотез о характере распределения напряжений, деформаций и перемещений по толщине оболочки. Преимуществом такого подхода является относительная простота разрешающих соотношений. Однако такой подход не обладает возможностью уточнения полученных на его основе результатов.

При построении уточненных теорий основным фактором являет­ ся учет деформаций сдвига во всех или отдельных слоях оболочки. Гипотеза о прямолинейном элементе для всего пакета в целом ста­ ла одной из самых распространенных при построении теории оболо­ чек типа Тимошенко. Однако для многослойных конструкций с су­ щественно различными механическими параметрами слоев принятие гипотезы прямой линии для всего пакета в целом может вносить существенную погрешность в получаемые результаты. Использование гипотезы прямой линии для каждого слоя в отдельности позволяет находить более точные решения, но приводит к уравнениям, поря­ док которых зависит от количества слоев, что затрудняет получе­ ние конкретных результатов и создание универсальных программных комплексов.

2*

— ее параметризация. Параметрические уравнения поверхности Q, по­ лученной вращением кривой L вокруг оси Оу3, имеют вид

у 1 = X(s)cos(p, y2 = X(s) simp, y3 = Z(s),

где s, ip — ортогональная система координат, связанная с линиями кривизны поверхности вращения, s 6 [sbSr], <р £ [0,27т]. Параметры Ламе А\, А 2 и радиусы кривизны нормальных сечений в направлениях координатных линий R\, R 2 имеют вид:

В случае, когда нормаль к поверхности направлена в сторону ее выпук­ лости, для параметров Ламе Н\, Н2, Н з пространственной ортогональ­ ной системы координат s, ip, z, нормально связанной с поверхностью, имеем следующие выражения (а = 1, 2):

Приведем уравнения для слоистой полиармированной оболочки вра­ щения, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява [259], Тимошенко [149], Андреева-Немировского [9] и Григолюка-Куликова [129] в ор­ тогональной системе координат х \ , х 2 ,z. Для каждой из перечисленных теорий справедливы следующие предположения.

Материал каждого слоя считается упругим. На поверхностях разде­ ла слоев z = hk выполняются условия непрерывности для поперечных компонент тензора напряжений и компонент вектора перемещений:

Верхний индекс в скобках означает, что данная величина действует в пределах слоя, обозначенного индексом. Здесь и далее a,(3,rj = 1,2; по rj будет использоваться правило суммирования по немому индексу.

Гипотезы, лежащие в основе теорий Андреева-Немировского и Кирхгофа-Лява. Система дифференциальных уравнений уточненной теории упругих многослойных оболочек Андреева-Немировского [9] строится на основе допущения о законе распределения поперечных компонент тензора деформации по толщине оболочки:

Для поперечных касательных напряжений используется независи­ мая аппроксимация:

Из непрерывности перемещений при переходе через поверхности раздела слоев и соотношений (2.9) следует

С помощью соотношения (р^ = ipa гипотеза (2.13) переходит в ки­ нематическую гипотезу Тимошенко, принятую для всего пакета слоев

Функции /о (z), fk(z), характеризующие закон распределения попе­ речных касательных напряжений по толщине пакета, удовлетворяют условиям

/о(0) = f 0 (h) = 0, f k(hk- i) = fk(h k) = 0,

(2.15)

f k ( z ) = 0, z $ [h k - i,h k] -

В расчетах используются следующие виды функций [129]:

Соотношения упругости в рамках теории Григолюка-Куликова для поперечных касательных напряжений выполняются интегрально по толщине пакета с весовой функцией fo{z) и одновременно по толщине