книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

Отметим, что подпространство, базисом которого являются векторыстроки G p должно содержаться в подпространстве натянутом на вектор-столбцы Y. Противное означает либо некорректность краевой задачи, либо вырождение набора Y в результате численного интегриро­ вания. Итак, пусть существует такое Л, что выполняется (3.38), тогда для любого вектора с имеем

Так как по построению Y '_LG j и так как G p — ортонормированный набор векторов, выражение принимает вид

При этом из (3.36) получаем у'0 = G j • gp. Таким образом определяют­ ся Уд и связь между с и с' и остается описать алгоритм построения Y ' и Л.

Построение Y ' будем вести способом, аналогичным применявшему­ ся для нахождения Y/ в случае двухточечной краевой задачи. Отличие будет заключаться в том, что вместо векторов е* будут использоваться вектор-столбцы у* матрицы Y и для того, чтобы построить матрицу преобразования Л, будут определяться коэффициенты в разложениях векторов на проекции и ортогональные дополнения.

при этом элементы матрицы Л, находящиеся на пересечении г-го столбца и j -ой (j = 1, ... , Sp + J) строки равны соответствующим коэффициентам в разложении:

3)если норма ||yi|| не равна нулю, то переходим к пункту 5,

4)полагаем элементы матрицы Л равными

=0 , j > Sp + J,

завершена неуспешно, иначе переходим к пункту 2.

Здесь все суммирования ведутся от меньшего значения индекса к боль­ шему, т.е. если верхнее значение индекса суммирования меньше ниж­ него, то операция не выполняется. Отметим также, что при численной реализации, как и ранее, равенство нулю нормы вектора нужно заме­ нить приближенным.

то дальнейшее решение задачи эквивалентно решению задачи Коши. В процессе обратного хода при прохождении через точки хр восстанав­ ливается вектор с(с') и по соответствующим формулам вычисляется решение, аналогично алгоритмам методов дискретной ортогонализации и начальных параметров.

3.4.2. Обеспечение устойчивости расчетов. Для решени методом дискретной ортогонализации краевых задач, возникающих при определении напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в рамках теории оболочек Кирхгофа-Лява либо теории типа Тимошенко, достаточно использовать равномерные сетки узлов ортогонализации и интервалов интегрирования. При этом типичное количество узлов ортогонализации, достаточное для устойчивого сче­ та, относительно невелико — до 20, а количество интервалов ин­ тегрирования, необходимое для достижение приемлемой относитель­ ной точности (порядка 10-5) составляет от 200 до 400. Однако при переходе к использованию уточненных теорий пластин и оболочек, учитывающих поперечные сдвиги, таких значений оказывается явно недостаточно и появляется необходимость в дополнительном контроле точности и устойчивости расчетов и в их обеспечении.

В методе дискретной ортогонализации, в дополнение к шагу инте­ грирования, появляется еще один управляющий параметр — расстояние между узлами ортогонализации. Совместно, эти параметры позволяют контролировать и управлять устойчивостью численного расчета, его точностью и объемом вычислений. Дополняя алгоритм метода дис­ кретной ортогонализации процедурами выбора шага интегрирования и расстояния между узлами ортогонализации, можно построить алго­ ритм решения краевых задач для систем ОДУ с малыми и большими параметрами, наподобие тех, что возникают при определении НДС пластин и оболочек в рамках уточненных теорий [9, 129].

Проведем экспериментальную оценку значений расстояния между узлами ортогонализации и шага интегрирования, необходимых для обеспечения устойчивости расчета на соответствующих равномерных сетках. Для этого рассмотрим задачу изгиба слоистой длинной пря­ моугольной пластины, нагруженной равномерно распределенным дав­ лением. Обезразмеренная разрешающая система ОДУ, описывающая поведение такой пластины в уточненной постановке, имеет вид [9]

где Л,, / — полная толщина и длина пластины; hk,Ek,Vk — толщина, модуль Юнга и коэффициент Пуассона /с-го слоя пластины; /Г — количество слоев; 1У, П, U — безразмерные обобщенные перемещения.

Выбирая в качестве искомой вектор-функции

представляем систему (3.43) в виде (3.11). Ненулевые коэффициенты матрицы А и вектора f будут при этом равны

стема уравнений является системой с постоянными коэффициентами. Шесть собственных значений матрицы системы Ai = А2 = A3 = А4 = = А5 = Аб = 0, оставшиеся два А7 = —Ав = А, где А = у/А&Г-^А^Жм е GM [9]. При этом, величина А пропорциональна отношению l/h.

С учетом введенных обозначений общее решение системы (3.43) имеет вид

W{x) = Ci + С2х + Сзх2 + С4х 3 + С5еХх + С6е~Хх + С х \

постоянные. Полученные аналитические решения, наряду с полиноми­ альными, содержат экспоненциальные компоненты вида ехр(А(ж — 1)) (кривая 1 на рис. 3.2, а), ехр(—Хх) (кривая 2 на рис. 3.2, а) (в случае, приведенном на рис. 3.2, а, А = 155,66).

Рис. 3.2

Жесткое защемление пластины соответствует граничным условиям вида

с 8 = —А(А84 + А 85/А46)(С5 — Се),

где D5 = 2 + А - (2 - А)ел + В, D6 = 2 - А - (2 + А)е"А - В, В =

= А3А б 5 /(6 -А 4б44б4).

Рассмотрим трехслойную пластину, внешние слои которой имеют толщину Л,] и выполнены из материала с модулем Юнга Е\ и коэффи­ циентом Пуассона v\. Внутренний слой толщины h2 выполнен из мате­ риала с модулем Юнга Е 2 и коэффициентом Пуассона v2. Из рис. 3.2, б видно, что спектральный радиус матрицы системы А существенно зави­ сит от механически характеристик материалов и структуры пластины и эта зависимость нелинейная.

о

О 0,25 0,5 0,75 х

Рис. 3.3

На рис. 3.3 приведен вид решения задачи изгиба жестко защем­ ленной на обоих краях трехслойной пластины в разрешающих функ­ циях, нормированных в равномерной метрике (геометрические и ме­

U*{x); штриховые — Wl(x), С/'(ж); пунктирные — W"(x), П*(ж); штрихпунктирные — W " ', П*. Видно, что получаемые решения имеют ярко выраженные краевые эффекты.

Таким образом, данная задача является очень удобным инструмен­ том для численного исследования проблемы обеспечения устойчивости

иточности вычислений, так как она описывается системой уравнений с постоянными коэффициентами, спектральный радиус матрицы системы которой много больше единицы и легко регулируется с помощью пара­ метров задачи. При этом полученное аналитическое решение позволяет вычислять как глобальные, так и локальные погрешности вычислений.

Исследовалось влияние расстояния между узлами ортогонализации

иколичества интервалов интегрирования между ними на точность расчетов, которая использовалась как критерий их устойчивости. Про­ веденные численные эксперименты показали, что с увеличением жест­ кости задачи начинает проявляться проблема размазанности области перехода от неустойчивых расчетов к устойчивым при уменьшении расстояния между узлами ортогонализации. При этом данная проблема проявляется сильнее при большем числе интервалов интегрирования между соседними узлами ортогонализации.

Так, на рис. 3.4 представлены зависимости погрешности вычислений (логарифмированной по основанию 10) от числа узлов ортогонализации J для различного числа интервалов интегрирующей процедуры: штри­ ховые кривые соответствуют трем интервалам, пунктирные — четырем, сплошные — пяти. Зависимости получены для описанной выше задачи

и 5188,63 соответственно. Видно, что при меньшем спектральном ради­ усе прослеживается четкая граница перехода от неустойчивых решений к устанавливающимся, т. е. таким, погрешность которых стабильно уменьшается при уменьшении шага сетки. При больших спектраль­ ных радиусах очень существенной становится проблема сдерживания экспоненциального роста погрешности численного интегрирования, что проявляется в возникновении осциляций погрешности на графиках, соответствующих большему числу интервалов интегрирования между ортогонализациями. Отметим, что при значении l / h = 1000 осциляции возникают уже при использовании трех интервалов интегрирования.

Таким образом, чем больше Л уравнений, тем меньшее количество интегрирований допускается между узлами ортогонализации.

Рассмотрим теперь, какое расстояние между узлами ортогонализа­ ции необходимо для устойчивого расчета. Для этого построим зави­ симость числа узлов ортогонализации J, при котором расчет является устойчивым (по признаку стабильно небольшой погрешности) от спек­ трального радиуса системы Л.

6

Рис. 3.5

На рис. 3.5, а представлены два варианта таких зависимостей: при нефиксированном (больше трех, подбираемом в зависимости от ре­ зультатов) количестве интегрирований между узлами ортогонализа­ ции (пунктирная кривая) и при фиксированном (три интегрирова­ ния, сплошная кривая). Во втором случае фиксировался и критерий устойчивости — достижение погрешности вычислений порядка 10_3. Видно, что использование числа интервалов интегрирования больше трех целесообразно при относительно небольших Л, иначе это приводит к нестабильности в поведении метода, о чем сказано выше, а выиг­ рыш в количестве ортогонализаций при этом составляет < 3 0 % для А = 5000 и уменьшается с ростом А. В обоих случаях зависимость приближенно стабилизируется на некоторой линейной функции при увеличении А. Однако для фиксированного количества интегрирований между узлами ортогонализации эта зависимость более стабильная: J « 0,095 • А + 25.

При описании метода дискретной ортогонализации [77] С. К. Году­ нов указывает в качестве признака устойчивости счета, кроме есте­ ственного условия невырожденности набора векторов Y во всех точках интервала решения, близость к единице определителей матриц W j. Эти матрицы имеют особую структуру — они верхнетреугольные; та­ ким образом, их определители равны произведению их диагональных элементов, которые в свою очередь являются нормирующими множите­ лями для векторов-решений. Последнее и накладывает ограничения на

где константа зависит от таких факторов, как разрядность математи­ ческих вычислений. Далее в расчетах const « 4,0. При выборе рассто­ яния до следующего узла ортогонализации будем руководствоваться полученной величиной W m или Wd и предположением о линейной зависимости между выбранной для контроля величиной (Wm или Wd) и расстоянием между узлами ортогонализации.

Другой фактор обеспечения устойчивости счета на прямом ходе метода дискретной ортогонализации — устойчивость численного инте­ грирования задач Коши. Напомним, что одной из главных особенно­ стей системы ОДУ при решении краевых задач является возможность существования и больших положительных, и больших отрицательных собственных значений в ее матрице Якоби, как, например, для рас­ сматриваемой тестовой задачи. Также нужно отметить, что, прежде чем провести ортогонализацию и оценить ее успешность, необходимо численно проинтегрировать задачи Коши, не допустив при этом взрыва погрешности и обеспечив устойчивость расчета.

В работе [256] для контроля и обеспечения устойчивого числен­ ного интегрирования задач Коши для жестких систем ОДУ методом Рунге-Кутты-Мерсона предлагается при выборе шага интегрирования руководствоваться следующим критерием

где kj — стадии метода. Однако прямое применение этого критерия приводит к неоправданному измельчению сетки интегрирующей проце­ дуры вслед за узлом, в котором производится ортогонализация. Экс­ перименты на тестовых задачах при использовании равномерных сеток показали, что на интервале, следующем за узлом ортогонализации,

происходит скачок величины 1СТ = 12/7 • max |(кз —кг^Д кг —ki)*|

г

на несколько порядков. На последующих интервалах интегрирования рассматриваемая величина нормализуется, при этом для устойчивых расчетов критерий (3.50) начинает выполняться, а в случаях, когда он не выполняется на нескольких интервалах интегрирования подряд, результаты расчета неверны. Таким образом в качестве условия устой­ чивости на этапе решения задач Коши выбираем выполнение критерия (3.50) начиная со второго либо с третьего от узла ортогонализации интервала интегрирования.

На основе сформулированных критериев были реализованы и до­ бавлены в алгоритм метода дискретной ортогонализации процедуры

контроля и управления устойчивостью расчета выбором шага интегри­ рующей процедуры и расстояния между узлами ортогонализации.

3.4.3. Схема алгоритма. Принципиально схему алгоритма можно разбить на пять блоков:

1)обработка входных данных и вычисление начальных векторов на левом крае интервала решения на основе граничных условий;

2)прямой ход метода: решение задач Коши и ортогонализации на­ бора векторов решений с автоматическим подбором шагов соот­ ветствующих сеток;

3)разрешение граничных условий на правом крае и вычисление век­ тора свободных коэффициентов для последнего интервала между узлами ортогонализации;

4)обратный ход метода: вычисление векторов свободных коэффици­ ентов на всех интервалах решения и восстановление там прибли­ женного решения краевой задачи;

5)подготовка выходных данных.

Вкачестве исходных данных алгоритму требуются:

—порядок системы уравнений;

—левая и правая граница интервала решения;

—количество граничных условий на левом и правом крае;

—функция, вычисляющая матрицу Якоби и вектор свободных эле­ ментов системы;

—функция, вычисляющая матрицы и векторы граничных условий;

—ряд вещественных параметров:

—константа, определяющая жесткость критерия (3.48),

—максимально и минимально допустимые расстояния между узлами ортогонализации,

—максимально и минимально допустимый шаг интегрирова­ ния.

На выходе алгоритм выдает следующую информацию о решении:

—узлы сетки интегрирующей процедуры,

—узлы ортогонализации,

—набор векторов — приближенное решение краевой задачи во всех узлах сетки интегрирующей процедуры.

На основе полученных данных можно также восстановить в тех же узлах векторы производных решения, которые можно использовать для построения интерполяционных сплайнов. Кроме того, в результате работы алгоритма на прямом ходе возникает служебная информация о структуре решения: наборы векторов-решений задач Коши и линейные операторы ортогонализации в соответствующих узлах, которые могут быть использованы для проведения уточняющих расчетов.

На первом этапе алгоритма на основе граничных условий на ле­ вом крае вычисляем начальные векторы по алгоритму, описанному в п. 3.4.1. Определяем исходные шаг интегрирования и расстояние до